- •1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.
- •2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.
- •3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
- •4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
- •5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •1 0. Экстремумы и точки перегиба
- •12. Опред-ный интеграл. Интегри-руемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбниц
- •-Ние первообразной. Формула Ньютона-Лейбница (н.-л.)
- •14. Вычисление s в декартовых и полярных координатах,
- •1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •2 3. О.Д.У. Первого порядка. Ур-я с разд-ся пер-ми. Линейные д.У.
- •2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
- •25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
Рассм-м неодн-е лин-е ур-е , (1) — пост-е д.ч. Будем искать реш-я в виде . Так как , то, подставив и разделив на , получим . (2) - хар-е ур-е для ур-я (1), оно имеет n корней.
Случай 1. Корни хар-го ур-я (2) действ-ны и разл-ны, . Получаем n частных реш-ий. . Покажем, что они составляют фундаментальную систему ур-я (1). составим определитель Вронского
.
(Последний опред-ль есть опред-ль Вандермонда, к-ый при ). Тогда общее реш-е ур-я (1) (3).
Случай 2. Если среди разл-ых корней ур-я (2) им-ся компл-ные, то повторяя приведенные рассуждения получим общ. реш-ие ур-я (1) снова в форме (3), но тогда у будет компл-ной ф-цией действ-й перем-ой х. Чтобы избежать использование комплексных выражений поступают след образом:
Если имеется компл-ый корень , то сопряженное число тоже явл-ся корнем ур-я (2). Паре компл. сопряженных корней соотв-ет пара действ-ых частных реш-ий: , .
Случай 3. Среди корней ур-я (2) им-ся кратные. Пусть k – действ-ый корень кратности r. Этим r одинаковым корням соотв-ют частные решения . Если корень кратности r явл-ся компл-ым , то тоже корень, той же кратности. Этим 2r корням соотв-ют 2r частных решений вида , ,…, ; , ,…, .
Неоднор-ные лин-ые ур-ния с пост-ми коэф-ми. Метод неопред-х коэффициентов
Расс-м ур-ние
, (1), где — постоянные действительные числа.
Т .к.ур-ние (1) яв-ся лин-ым, то его общее реш-ие можем искать методом вариации постоянных. Ур-ние (1) можно интегрировать и другим методом, если ф-ция v(x) имеет спец-ный вид. Если известно общее реш-ие соотв-щего однор-го ур-ния , то для нахождения общего реш-ия ур-ния (1) достаточно найти к-нибудь част. решение уравнения (1). Если v(x) имеет специальный вид, то частное решение можно найти методом неоднор-х коэффициентов.
, где — действ-ное число, — многочлен степени m.
Пусть не яв-ся корнем характер-кого ур-ния. Можно показать, что сущ-ет частное решение уравнения (1) вида , где Qm(х) — многочлен степени m .
Записав Qm(x) с неопред-ми коэф-ми, подставим Y в ур-ние (1) и найдем эти коэффициенты.
Если — корень характер-кого ур-ния кратности r, тогда част. реш-ие ищем в виде .
, где и v —действ-ные числа, Pj(х) и Rl(x) – мн-ны степени j и l соотв-но.
Обозн-м m=max{j,l}, k=μ+iv. Если k — корень характер-кого ур-ния кратности r, то част. реш-ие , где Qm(х) и Sm(х) – мн-ны степени m.
III. , где каждое слагаемое имеет тип II. Интегрируем m неоднор-х ур-ний , ( ). Для каждого из них находим част. решение Yi(х). Тогда — част-ое реш-е исход-го ур-ния.
25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
П усть ф-ция определена и однозначна на мн-ве Е, z0 - предельная точка мн-ва Е, . Пусть , - приращением ф-ции в точке z0.
О1. Если сущ-ет , то этот предел наз-ся производной по мн-ву Е в т. и обознач-ся или , а ф-ия f(z) наз-ся диффер-руемой по мн-ву E в т. z0.
Пусть ф-я w=f(z) диф-ма в т. z0, тогда , причем . Тогда (1): 1-й член линеен отн-но ∆z, а 2-й →0 при ∆z→0.
Обратно, если приращение ф-ии w=f(z) в т.z0, м. представить в виде ∆w=A∆z+ε(z0,∆z)∆z (1), где при ∆z→0, следует, что ф-ия им. произв-ю в т.z0, т.к. . A=const. Из (1) =>, если дифф-ма в т.z0, то она непрер-на на ней.
О2. Линейная отн-но часть приращения функции , т.е. произведение наз-ся диффер-лом ф-ции в точке и обозн-ся dw или df(z0). Приращение аргумента наз-ся дифф-лом аргумента и обозн-ют dz. Т.о., .
Из опр-ия производной и св-в пределов ф.к.п. =>, что правила дифф-ия, распр-ся и на ф.к.п.
с=const;
F – мн-во значений ф-ий f(z).
7) если - обратная ф-ия, то
Требование сущ-я предела отн-но незав-мо от сп-ба стремления ∆z→0 связ-ет действ. и мним. части ф.к.п. особыми усл-ми.
Т. Для того, чтобы ф-ия в т. z0=x0+iy0 была диф-емой, необх. и дост-но, чтобы:
1 ) ее д.часть и(х,у) и мнимая v(x,y) были диф-емыми ф-циями в т.(х0,у0),
2) в т.(х0,у0) вып-ись усл-ия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера): .
Тогда
Д-во: Необх. Пусть ф-ия диф-ма в т.z0, т.е. вып-ся усл-е ∆w=f′(z0)∆z+ε(z0,∆z)∆z (1). Положим , , , . Здесь , при , . Отделим в (1) действ. и мним. части: , .
Из этих формул следует: 1) ф-ии и(х,у) и v(x,y) диф-мы как ф-ии 2-х действ-х переем-х в т.(х0,у0);
2) в т.(х0,у0), откуда вытекает справедливость условий К-Р.
б ) Дост. Пусть ф-ии и(х,у) и v(x,y) диф-мы в т.(х0,у0) и выполнены усл-я К-Р: , , где при , . Кроме того . Тогда ∆w=∆u+i∆v=a(∆x+i∆y)+ib(∆x+i∆y)+(α1+iβ1)∆x+(α2+iβ2)∆y=(a+ib)∆z+ +((α1+iβ1)∆x/∆z+(α2+iβ2)∆y/∆z)∆z=A∆z+ε∆z. (2)
Т.к. ,
то при . Из (2) следует, что ф-ия диф-ма в т.z0. Причем, . •