- •1 . Мощность мн-ва. Счётность мн-ва рациональных чисел. Несчётность мн-ва дей-х чисел.
- •2. Предел и непрерывность функций в точке. Св-ва непрерывных функций на отрезке.
- •3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.
- •4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.
- •5. Степенная функция с иррациональным показателем. Степень в комплексной области.
- •7. Разложение функций sin X и cos X в степенной ряд. Синус и косинус в комплексной области
- •8. Дифференцируемые функции. Правила дифференцирования
- •9 . Теорема Лагранжа. Условия монотонности и выпуклости функции на промежутке
- •1 0. Экстремумы и точки перегиба
- •12. Опред-ный интеграл. Интегри-руемость непрерывной функции. Формула Ньютона-Лейбниц
- •-Ние первообразной. Формула Ньютона-Лейбница (н.-л.)
- •14. Вычисление s в декартовых и полярных координатах,
- •1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
- •17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
- •18.Функциональные послед-ти и ряды.
- •1 9. Степ-ые ряды в компл. Области.
- •20. Формула и ряд Тейлора.
- •2 1. Метрические пространства. Полные метрич. Пр-тва
- •2 3. О.Д.У. Первого порядка. Ур-я с разд-ся пер-ми. Линейные д.У.
- •2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами
- •25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции
1 6. Числовые ряды. Признаки сходимости: Даламбера и Коши.
О1: Символ u1+u2+…+un+… (1) или наз-ся числ. рядом, u1,u2,…un,… - его члены, а un – общий член р. (1). sn=u1+…+un,… наз-ся n-ой частичной суммой р. (1).
О2: Ряд (1) наз-ся сходящимся, если {}-cть его частичных сумм {sn} имеет конечный предел. Ряд наз-ся расх-ся, если посл-ть {sn} не имеет конеч.предела.
О3: Суммой S сх-ся ряда наз-ся предел {}-cти его частичных сумм, т.е. .
В этом случае пишут S= .
Согласно О2 вопрос о сходимости р. (1) сводится к вопросу о -нии конеч. lim-a для {sn}. Обратно, для {an} вопрос о -нии для нее конеч. lim-a можно свести к вопросу о сх-сти ряда a1+(a2-a1)+…+(an–an-1)+…. Частичные суммы этого р. яв-ся членами {an}.
Расх-ся р. можно : на 2 категории:
1). собственно расх-ся р., у к-ых {sn} имеет пределом ∞(+∞,-∞). Пишут
2). р., у к-ых {sn} ни имеет ни конеч., ни ∞-го lim-а.
Т1: (пр. Даламбера). Если для р. (1) с «+»-ми членами, начиная с некот. номера, вып-ся нер-во (α- const и α <1), то р. (1) сх-ся. Если же, начиная с некот. номера, , то р. (1) расх-ся.
Д-во: Т.к. конеч. число первых членов не влияет на сх-ть или расх-ть ряда, то без ограничения общности можно считать, что вып-ся для всех n=1,2,….
1) ] <1 , т.е. Перемножим эти нер-ва Так что все члены р. (1) не превышают соотв-х членов геометр. р. с «+»-ми чле-нами α<1, кот. сх-ся. Тогда по приз-наку сравнения сх-ся и р. (1)-сх-ся.
2) ] . След-но, ≥ , т.е. общий член р. (1) не → к 0 при n→∞, и поэтому ряд расх-ся. ЧТД.
Т2: (Пред-я форма пр-ка Д-ра). Если для ряда (1) с «+»-ми членами ,то при q<1 р. (1) сх-ся, при q>1 р. (1) расх-ся.
Д -во: 1)] и α- произв-е число q<α<1. Тогда начиная с некот-го номера будет и по Т1 р. сх-ся.
2) ] , начиная с некот-го номера будет , по Т1 ряд расх-ся. ЧТД.
Зам-е: Если , то пр-к Дал-ра не позволяет судить о поведении ряда.
Т3: Если для ряда с «+»-ми членами (1) начиная с некот. номера вып-ся нер-во (α-const, α<1), то р.(1) сх-ся; если же, начиная с некот. номера, , то р.(1) расх-ся.
Д-во: Без ограничения общности снова считаем, что ( ) вып-ся .
1). . Отсюда . Значит все члены р.(1) не превышают соотв.-щих членов геом. прогрессии с «+»-ми членами α<1, кот. сх-ся. Тогда по признаку срав-ния сх-ся и р. (1)-сх-ся.
2) ] . Тогда , т.е. общий член р. (1) не → к 0 и поэтому ряд расх-ся. ЧТД.
Т4: Если , то при q<1 р. сх-ся, при q>1- расх-ся.
Д-во: 1)] и α- произв-е число. q<α<1. Тогда и начиная с некот. номера будет и по Т1 р. сх-ся.
2) ] , начиная с некоторого номера будет , по Т1 ряд расх-ся. ЧТД.
Зам-е: Если , то пр-к Коши не позволяет судить о поведении ряда.
17. Абсолютно и условно сх-ся ряды.
Ряд (1) наз-ся абсолютно схо-дящимся, если сх-ся ряд (2).
Т1: Если ряд сх-ся абс-но, то он сх-ся.
Д-во: ] (1) абс. сх-ся, т.е. сх-ся р. (2), тогда такой, что
(кр-й Коши). Тогда при тех же n и k. Согл-но кр-ю Коши р. (1) сх-ся.ЧТД.
Т2: Сумма абс-но сх-ся ряда = разности м/у суммой ряда, составленного из одних «+»-ых членов исх-го ряда, и суммой ряда, сост-го из модулей «-»-ых членов.
Д-во:] р. (1) абс. сх-ся, sn – его частич-я сумма, и -суммы абсол-х величин «+»-ых и «-»-ых членов из sn, т.е. . Посл-ти { } и { } не убывают. По усл. р.(2) сх-ся, т.к. это р. с «+»-ми членами, то его частичные суммы ограничены сверху, а т.к. , то и { } и { } тоже огр-ны сверху и потому и . Получаем ■
Не всякий сх-ся ряд яв-ся абс-но сх-ся.
Для док-ва абс. сх-сти (1) к (2) следует применить признаки сх-сти, установленные для рядов с «+»-ми членами. В частности:
Если, начиная с некот. номера, , -сх-ся ряд с «+»-ми членами, то (1)-абс.сх-ся.
Если конечный или ∞-ый , то при q<1 р.(1) сх-ся абсолютно, а при q>1 – расх-ся.
О1: Если р. (1) сх-ся, а р. (2) расх-ся, то (1) наз-ся условно сх-ся.
Т3: Если р. (1) усл. сх-ся, то ряд, состав-й из одних «+»-ых его членов, и ряд, сост-й из одних его отриц-х членов, расх-ся. Д-во: По усл. р. (1)-сх-ся, р. (2) –расх-ся. Ч/з sn и обозначим частич. суммы этих рядов соотв-но.] и - суммы «+»-ых и абс-х величин «-»-ых членов в sn. Тогда (3),
(4)
] хотя бы одна из величин или имеет конечный lim при n→∞. Т.к. sn имеет lim при n→∞, то из (3) другая величина тоже имеет lim. Но тогда из (4) должна иметь lim при n→∞, а это противоречит расх-ти р. (2). Значит, и не могут иметь конеч-х lim при n→∞.■