3.5. Проективная группа плоскости.
Опр. 3.4.1. Группой преобразований некоторого множества X называется совокупность преобразований этого множества (не обязательно всех), которое образует группу относительно операции * – «композиция».
Теорема 3.4.1. Множество всех проективных преобразований плоскости (; ¯ образует группу преобразований, которая называется проективной группой плоскости.
Пусть G – множество всех проективных преобразований плоскости (; ¯ , f G , g G. Пусть f задается реперами R и R , g задается реперами R и R . Тогда g*f переводит M(x1, x2, x3)R в M (x1, x2, x3)R , а значит, g*f – проективное преобразование. Роль единичного (нейтрального) элемента выполняет тождественное преобразование, которое, очевидно, является проективным. Обратное преобразование f –1 действует по правилу:
M (x1, x2, x3)R M(x1, x2, x3)R , а значит, тоже является проективным. Так же легко показать, что операция * в G является ассоциативной.
Замечание. При выбранном репере каждому проективному преобразованию соответствует матрица. Поэтому алгебраически группа проективных преобразований сводится к группе невырожденных матриц, соответствующих этим преобразованиям. Композиции преобразований соответствует произведение их матриц, обратному преобразованию – обратная матрица.
Принцип Клейна. Любой группе преобразований соответствует своя геометрия, которая изучает те свойства фигур и те понятия, которые сохраняются при всех преобразованиях группы.
Геометрией, которая соответствует проективной группе преобразований, является проективная геометрия. Она изучает те свойства фигур, и те понятия, которые сохраняются при всех проективных преобразованиях плоскости. Такие свойства и понятия называются проективными. Напри-мер, «прямая» является проективным понятием, а «несобственная точка», «параллельность прямых» не являются проективными понятиями.
Вопросы и упражнения.
1. Проективное преобразование плоскости задано формулами:
x1
= x1
+ 2
x2
–
x3
,
x2 = x1 – x2 ,
x3 = 2x1 + x2 + x3 .
Во что переходят при этом преобразовании
а) точки A1(1, 0, 0), A2(0, 1, 0), A3(0, 0, 1), E(1, 1, 1), C(1,–2, 3), D(0,–3, 2);
б) прямые x1 – x2 + x3 = 0 , x1 – x2 = 0 , x1 + x2 = 0 , x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 ?
Какие прямые переходят в прямые x1 – x2 + x3 = 0 , x1 – x2 = 0 , x1 + x2 = 0 ,
x1 = 0 , x2 = 0 , x3 = 0 ?
2. Найдите проективное преобразование, которое переводит точки
A(1, 0, 1), B(1, 2, 0), C(3, 2, 1), D(1,–1, 1) соответственно в точки A(1, 0, 1), B (1, 2, 0), C (3, 2, 1), D (1,–1, 1) .
3. Почему понятия «несобственная точка», «параллельность прямых» не
являются проективными? Являются ли проективными понятия: прямая,
трехвершинник, параллелограмм?