§5. Кривые второго порядка.

5.1. Определение и типы кривых второго порядка.

Опр. 5.1.1. Кривой второго порядка на проективной плоскости называется множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

а₁₁х₁² + а₂₂ х₂² + a₃₃ х₃² + 2а₁₂ х₁х₂+ 2а₁₃ х₁х₃+ 2а₂₃ х₂х₃ = 0, (5.1.1)

где а₁₁, … , а₂₃ – действительные числа, не все из которых равны нулю.

Коротко это уравнение можно записать так:

(;\s\do10(j =1(;\s\do10(i =1а_ij х_i х_{j = 0 (}а_{ij =} а_{ji ) .} (5.1.1 )

_{Примеры (классы) кривых второго порядка:}

1. х₁² + х₂² – х₃² = 0; 2. х₁² – х₂² = 0; 3. х₁² + х₂² = 0;

4. х₁² = 0; 5. х₁² + х₂² + х₃² = 0 .

Первая кривая называется овальной кривой второго порядка (это эллипс, гипербола или парабола вместе с их несобственными точками). Вторая – пара прямых. Третья – пара мнимых прямых. Четвертая – двойная прямая. Пятая – мнимая кривая.

Можно доказать, что любая кривая второго порядка в соответствующей системе координат имеет одно из пяти уравнений, и, значит, является одной из пяти вышеупомянутых кривых.

Замечание. Уравнение (5.1.1) удобно записывать в матричном виде:

X^TAX = 0, A^T = A . (5.1.1 )

5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.

Пусть кривая второго порядка  задана уравнением (5.1.1) и A(a_i ), B(b_i ) – две точки. Найдем пересечение прямой AB с кривой . Уравнение прямой AB (п^о2.7):

х_i = a_i + b_i . (5.2.1)

Подставим (5.2.1) в (5.1.1 ):

(;\s\do10(iа_ij (a_i + b_i)(a_j + b_j) _{= 0,}

²(;\s\do10(iа_ij a_ia_j + 2(;\s\do10(iа_ij a_ib_j + ²(;\s\do10(iа_ij b_ib_j = 0, (5.2.2)

Это уравнение вида

² + 2 + ² = 0. (_*)

Возможны следующие случаи.

1.  =  =  = 0; тогда  и  любые, AB .

2.  =  = 0,   0; тогда  = 0 или  = 0 ; это значит AB   = {A, B}.

3.   0 или   0; пусть   0, тогда разделим (_*) на ²:

(/)² + 2(/) +  = 0; (5.2.3)

Это уравнение относительно неизвестного / имеет два корня (различные или совпадающие действительные, или комплексно-сопряженные). Под-ставляем ₁, ₁ и ₂, ₂ в (5.2.1) и получаем две точки пересечения (действительные или комплексные, а, может быть, совпадающие).

5.3. Касательная к кривой второго порядка.

Опр. 5.3.1. Касательной к кривой 2 порядка  называется прямая, которая имеет с  одну (двойную) общую точку.

Пусть  задана уравнением (5.1.1) и A(a_i ) . Составим уравнение касательной l к  в точке A . Поскольку A  , то

(;\s\do10(iа_ij a_ia_j= 0 . (5.3.1)

Пусть B(b_i ) l . Тогда уравнение прямой AB: х_i = a_i + b_i . Пересечение AB с  находится из уравнения (5.2.2). Поскольку AB – касательная, то это уравнение должно свестись до ² = 0. С учетом (5.3.1) остается потребовать

(;\s\do10(iа_ij a_ib_j = 0 .

Это условие принадлежности B касательной l . Обозначим, как обычно, координаты B через x_i ; тогда уравнение касательной к  в точке A(a_i ) :

(;\s\do10(i(а_ij a_i) x_j = 0 , (5.3.2)

или

(а₁₁а₁+ а₁₂a₂+ а₁₃a₃₎ х₁+ (а₁₂а₁₊ а₂₂а₂₊ а₂₃a₃₎х_{2 +} (а₁₃а₁₊ а₂₃а₂₊ а₃₃a₃₎ х₃= 0. (5.3.2)