2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.

К ак известно, аффинная система координат на обычной плоскости  определяется началом O и векторным базисом B = {e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( }. Аффинные координаты произвольной точки M совпадают с координатами ее радиус-вектора OM;\s\up10( –(, т.е. они равны коэффициентам разложения OM;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(–( + ye2;\s\up8(–( .

Таким образом, каждая точка M имеет две координаты (x, y). На проективной плоскости этих координат не хватает (для несобственных точек).

Опр.2.2.1. Однородными аффинными координатами собственной точки M(x, y) называются числа x₁, x₂, x₃ такие, что x = x₁/x₃ , y = x₂ / x₃ , или, что то же самое, x₁: x₂ : x₃ = x : y : 1.

Очевидно, что такие координаты определяются с точностью до пропорциональности.

Рассмотрим несобственную точку M_ . Она определяется прямой l . Пусть ее уравнение в аффинной системе координат ax + by + c = 0 . Пусть M(x, y) – произвольная собственная точка прямой. Тогда y = – (ax + с) / b, т.е. M(x, – (ax + с) / b). Значит, однородные координаты точки M будут (x, – (ax + с) / b, 1) или (b, – a – с / x, b / x). Несобственную точку прямой l; ¯можно рассматривать, как предел собственной точки, когда она бесконечно удаляется по прямой. Поэтому однородные координаты M_ получаем, как предел

lim;\s\do8(x ( ((b, – a – с / x, b / x) = (b, – a , 0)  M_(b: – a: 0).

Для решения многих задач удобнее пользоваться другими координатами.

2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.

Опр.2.3.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной плоскости (; ¯ называется произвольная упорядоченная четверка точек этой плоскости R = {A₁, A₂, A_3, E}, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Точки A₁, A₂, A₃ называются вершинами репера, а E – единичной точкой.

Выберем произвольную собственную точку O (; ¯ и будем откладывать от нее все векторы.

Опр.2.3.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M(; ¯, если x;\s\up8(( лежит на прямой OM. Пишем ( x;\s\up8(–( ) = M.

Очевидно, что R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ).

Опр.2.3.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( } в пространстве порождает репер R = {A₁, A₂, A₃, E}, если ( a1;\s\up8(( ) = A ₁ , ( a2;\s\up8(( ) = A₂ , ( a3;\s\up8(( ) = A₃, ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(–( + a3;\s\up8(( ) =E . Пишем: (B ) = R .

Теорема 2.3.1. Для любого репера R на плоскости (; ¯ существует единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает репер R .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 2.1.1.

Опр.2.3.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M(; ¯ в репере R называются координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .

Очевидно, что проективные координаты определяются с точностью до пропорциональности. Поэтому их часто записывают так: M(x₁: x₂ : x₃). В частности, A₁(1, 0, 0), A₂(0,1, 0), A₃(0, 0, 1), E(1, 1, 1). Позже мы докажем, что проективные координаты точки на (; ¯ не зависят от выбора точки O.