§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
1.1. Расширенная прямая.
П
усть
a
и a
– две пересекающиеся прямые, а S
– точка, лежащая вместе с ними в одной
плоскости, S
a,
S
a.
Рассмотрим проецирование прямой a
на прямую
a
из точки S.
Пусть A
a,
SA
a
. Тогда точка A
не имеет
проекции.
Договоримся считать, что на a добавляется новая точка A , которая одновременно принадлежит прямой SA . Назовем ее несобственной точкой прямых a и SA . Тогда A будет проекцией точки A . Обозначение A объясняется так: если точка M стремится по прямой a к точке A, то ее проекция M бесконечно удаляется по прямой a.
Аналогично, если B a и SB a , то на a не существует точки с проекцией B . Выход из этой ситуации такой же: добавим на прямой a несобственную точку B с условием, что она принадлежит также и прямой SB . Тогда B – проекция точки B .
Т
аким
образом:
1) на каждой прямой добавляется одна точка, которая называется несобственной и обозначается значком ;
2) все параллельные
друг другу прям
ые
имеют общую несобственную точку;
3) непараллельные прямые имеют разные несобственные точки.
Очевидно, что каждая несобственная точка задается прямой. Обычные точки будем называть собственными.
Опр.1.1.1. Прямая, пополненная несобственной точкой называется расширенной или проективной прямой.
Прямую a, расширенную несобственной точкой A , будем обозначать a; ¯ ; a; ¯ = a A . Центральное проецирование расширенной прямой на расширенную прямую – взаимнооднозначное отображение.
На следующем рисунке показано, что проекцией точки A будет A . Здесь же показано, что проекцией отрезка BC может оказаться пара лучей. Но бесконечно удаленные точки данных совпадают – это A . Т.е. с точки зрения проективной геометрии эти лучи смыкаются на бесконечности, и B C представляет собой «отрезок». Точно также центральной проекцией
э
ллипса
может оказаться неограниченное
множество – парабола или несвязное
множество – гипербола. С точки зрения
проективной геометрии эти кривые
относятся к одному типу кривых второго
порядка – овальная кривая.
1.2. Расширенные плоскость и пространство.
Опр.1.2.1. Плоскость пополненная несобственными точками всех прямых, которые лежат в плоскости , называется расширенной или проективной плоскостью. Обозначим ее (; ¯ .
Опр.1.2.2. Множество всех несобственных точек расширенной плоскости называется несобственной прямой (обозначается a ). Остальные (обычные) прямые называются собственными.
Несобственная прямая в пространстве задается плоскостью.
Центральное проецирование расширенной плоскости на расширенную плоскость – взаимнооднозначное отображение.
Опр.1.2.3. Пространство, пополненное несобственными точками всех прямых этого пространства, называется расширенным или проективным пространством.
Опр.1.2.4. Множество всех несобственных точек проективного пространства называется несобственной плоскостью (обозначается ). Обычные (нерасширенные) плоскости называются собственными плоскостями.
Обобщение. Проективной прямой, плоскостью, пространством называют также любое множество, которое можно взаимнооднозначно отобразить на расширенную прямую, плоскость, пространство.