1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.

Многие свойства принадлежности точек, прямых и плоскостей обычного евклидова пространства остаются и у расширенного пространства.

Например.

1 . Через две различные точки проходит, и притом, единственная прямая.

2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку.

3. Если две различные прямые и меют общую точку, то через них можно провести плоскость, и при этом, только одну.

4 . Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом, только одну.

5 . Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

6. Через три точки, которые не лежат на одной прямой, можно провести плоскость и, притом, только одну.

Для доказательства, например, свойства 1 необходимо рассмотреть 3 возможных случая: а) данные точки собственные; б) одна точка собствен-ная, а вторая – несобственная; в) обе точки несобственные.

В случае а) имеем совпадение с аналогичным свойством в обычном пространстве. В случае б) искомая прямая проходит через собственную точку параллельно прямой, которая задает несобственную точку. В случае в) искомая прямая – несобственная, которая задается плоскостью, проходящей через те прямые, которые задают данные несобственные точки или любой параллельной ей плоскостью.

Однако принадлежность точек, прямых и плоскостей в расширенном пространстве обладает и некоторыми новыми свойствами. Например:

7. Любые две различные прямые, лежащие в одной плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.

8. Любая плоскость и прямая, которая не лежит в этой плоскости, имеют общую точку и, притом, только одну.

9 . Любые две различные плоскости имеют общую прямую и, притом, только одну.

Д

а)

ля доказательства, например, свойства 8 необходимо рассмотреть следующие возможные случаи:

а

б)

) плоскость и прямая собственные, и прямая не параллельна плоскости; тогда имеем обычную точку пересечения.

б

в)

) плоскость и прямая собственные, и прямая параллельна плоскости;

в) плоскость несобственная, а прямая собственная; в обоих случаях б) и в) общей является несобственная точка прямой.

г

г)

) плоскость  собственная, а прямая a_ несобственная; тогда a_ задается плоскостью  и общей точкой a_ и  будет несобственная точка C_ прямой c =    .

Случай, когда плоскость и прямая несобственные, не удовлетворяет условию, так как прямая принадлежит плоскости.

Нетрудно заметить, что собственные и несобственные точки в проективном пространстве равноправны: все их свойства одинаковы, а при центральном проецировании собственная точка может перейти в несобственную, и наоборот. В том же смысле равноправны параллельные и пересекающиеся прямые в проективном пространстве.

1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.

Легко заметить, что свойства принадлежности на проективной плоскости обладают своеобразной симметрией. Например, свойства 1 и 7. Для того, чтобы эта симметрия стала более заметной, удобно ввести понятие инцидентности. Вместо выражения «точка принадлежит прямой» будем говорить «точка инцидентна прямой», а вместо «прямая проходит через точку» – «прямая инцидентна точке». Тогда свойства 1 и 7 можно переформулировать так:

1. Любые две различные точки инцидентны одной прямой и, притом, единственной.

7. Любые две различные прямые инцидентны одной точке и, притом, единственной.

Такая же симметрия наблюдается и относительно других свойств. Таким образом, имеет место следующий принцип двойственности.

Каждому утверждению на проективной плоскости относительно точек и прямых соответствует второе утверждение, которое получается из первого заменой слова «точка» на слово «прямая», а слова «прямая» на слово «точка». Второе утверждение называется двойственным первому и, если истинно первое утверждение, то и истинно и двойственное ему.

В соответствии с этим принципом каждой фигуре также соответствует двойственная фигура. Примеры:

1. фигуре «прямая и три точки на ней» соответствует фигура «точка и три прямые, проходящие через нее»;

2 . фигуре «три точки, не лежащие на одной прямой, и три прямые, которые проходят через эти точки» (она называется трехвершинником) соответствует двойственная

ей фигура «три прямые, не проходящие через одну точку, и три точки их пересечения» (она называется трехсторонником). Ясно, что это одна и та же фигура.

Замечание. В проективном пространстве выполняется аналогичный принцип – «большой принцип двойственности». В любом утверждении относительно точек, прямых и плоскостей в проективном пространстве можно слово «плоскость» заменить на слово «точка», и наоборот. Утверждение останется истинным (принцип двойственности на плоскости называется малым).