Вопросы и упражнения.

1. Что такое несобственные точки и для чего они нужны?

2. Что такое несобственная прямая, несобственная плоскость?

3. Что такое проективная прямая, плоскость, пространство?

4. Задать и обозначить 4 несобственных точки. Можно ли эти же точки задать другим образом?

5. Доказать свойства 1 – 9 (п^o 1.3).

6. Что понимается под равноправностью собственных и несобственных точек или параллельных и пересекающихся прямых в расширенном пространстве?

7. Переформулируйте свойства 1-9 (п^o 1.3), пользуясь термином «инцидентны».

8. Сформулируйте утверждения двойственные свойствам 1-9 согласно малому и большому принципу двойственности, и проверьте, верны ли они.

9. Какие свойства из 1-9 двойственны друг другу?

10. Что такое трехвершинник? Какая фигура ему двойственна?

11. Какие фигуры будут двойственны следующим фигурам:

а) прямая и все точки на ней;

б) две прямые и точка, которая им не принадлежит (рассмотреть различные случаи: прямые в одной плоскости или нет, точка в той же плоскости или нет;

в) четыре точки и все прямые, которые проходят через две из них (рассмотреть различные случаи: все точки лежат на одной прямой, три точки лежат на одной прямой или никакие три из этих точек не лежат на одной прямой).

§2. Проективные координаты.

2.1. Проективные координаты на проективной прямой.

Опр.2.1.1. Проективной системой координат (проективным репером) на проективной прямой a; ¯ называется произвольная упорядоченная тройка точек этой прямой.

Проективный репер обычно обозначается буквой R , а точки, из которых он состоит – A₁, A₂ , E . Причем E называется единичной точкой репера. В дальнейшем проективный репер часто будем называть просто репером.

П усть Oa; ¯ – произвольная точка, а (; ¯ – плоскость, которая проходит через O и a; ¯. Будем все векторы в плоскости , откладывать из точки O.

Опр. 2.1.2. Говорим, что вектор x;\s\up8(( порождает точку M на прямой a; ¯ , если x;\s\up8(( лежит на прямой OM.

Будем обозначать так: x;\s\up8(( ((;\s\up8(( M , или ( x;\s\up8(( ) = M. Очевидно, что

R \{0} ( x;\s\up8(( ) = (x;\s\up8(( ). (2.1)

Опр.2.1.3. Говорим, что базис B = {a1;\s\up8(–( , a2;\s\up8(–( } в плоскости (; ¯ порождает репер R = {A₁, A₂, E} , если ( a1;\s\up8(( ) = A₁ , ( a2;\s\up8(( ) = A₂ , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E . Пишем: (B ) = R .

Т еорема 2.1.1. Для любого репера R на прямой a; ¯ существует единственный с точностью до гомотетии с центром O базис B, который порождает репер R .

Пусть R = {A₁, A₂, E} – репер на a; ¯ , Oa; ¯ . Возьмем произвольный вектор e;\s\up8(–( на прямой OE и разложим его на составляющие, лежащие на прямых OA₁ и OA₂: e;\s\up8(( = a1;\s\up8(–( + a2;\s\up8(( . Базис B = {a1;\s\up8(( , a2;\s\up8(( } – искомый. Очевидно, подойдет и базис {a1;\s\up8(( ,a2;\s\up8(( },   0.

Опр. 2.1.4. Пусть базис B порождает репер R , а вектор x;\s\up8(( – точку M. Проективными координатами точки M на прямой a; ¯ в репере R называются координаты вектора x;\s\up8(–( относительно базиса B .

Из (2.1) и теоремы 2.1.1 вытекает, что эти координаты определяются с точностью до пропорциональности, т.е. данная точка в данном репере имеет не одну пару координат (x₁, x₂), а множество пар, пропорциональных друг другу. Поэтому проективные координаты точки часто записывают так: M(x₁: x₂).

Таким образом, для того, чтобы найти координаты (x₁, x₂) точки Ma; ¯ в репере R , необходимо:

1. выбрать собственную точку Oa; ¯;

2. выбрать базис B , который порождает R ;

3. выбрать вектор x;\s\up8(( на прямой OM ;

4. найти координаты (x₁, x₂) этого вектора в базисе B (они и будут

проективными координатами точки M, т.е. M(x₁: x₂)).

В частности, поскольку ( a1;\s\up8(( ) = A₁ , ( a2;\s\up8(( ) = A₂ , ( a1;\s\up8(( + a2;\s\up8(( ) = E , то A₁(1,0), A₂(0,1), E(1,1). Теперь понятно, почему точка E называется единичной.

Замечание. Позже будет показано, что координаты точки M в репере R не зависят от выбора точки O. Заметим также, что для любой точки M(x₁: x₂) числа x₁, x₂ не равны нулю одновременно: x₁² + x₂²  0.

Очень простой смысл имеют проективные координаты в репере, первая точка которого несобственная. Пусть R = {A_1 , A₂, E} – такой репер

и M – произвольная собственная точка на прямой a; ¯ . Тогда прямая OA_1 a; ¯ . Обозначим

e;\s\up8(( = OE;\s\up10( –(, e1;\s\up8(( = A2E;\s\up10( –( , e2;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( , x;\s\up8((= OM;\s\up10( –( .

Тогда A2M;\s\up10( –( e1;\s\up8(( , т.е. xR: A2M;\s\up10( –(= xe1;\s\up8(( .

Поэтому

x;\s\up8(( = OA2;\s\up10( –( + A2M;\s\up10( –( = xe1;\s\up8(( + e2;\s\up8(( .

Значит, проективные координаты x₁: x₂ точки M в таком репере будут x:1, где x – обычная координата точки M в аффинной системе координат на прямой a; ¯ с началом A₂ и единичной точкой E . На рисунке M(3:1).

Опр.2.1.5. Проективные координаты в репере, одна точка которого несобственная, называются однородными аффинными координатами на прямой.