- •Методические рекомендации
- •Введение
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство.
- •1.1. Расширенная прямая.
- •1.2. Расширенные плоскость и пространство.
- •1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства.
- •1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§2. Проективные координаты.
- •2.1. Проективные координаты на проективной прямой.
- •2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости.
- •2.3. Проективные координаты на проективной плоскости.
- •2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
- •2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
- •2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости.
- •2.7. Уравнение прямой на плоскости.
- •2.8. Теорема Дезарга.
- •Вопросы и упражнения.
- •§3. Проективные преобразования плоскости.
- •3.1. Определение проективного преобразования.
- •3.2. Формулы проективного преобразования.
- •3.3. Основное свойство проективных преобразований.
- •3.4. Гомология.
- •3.5. Проективная группа плоскости.
- •Вопросы и упражнения.
- •§4. Сложное отношение.
- •4 .1. Определения и свойства.
- •4.2. Формулы сложных отношений.
- •4.3. Гармоническая четверка точек.
- •Вопросы и упражнения.
- •§5. Кривые второго порядка.
- •5.1. Определение и типы кривых второго порядка.
- •5.2. Пересечение кривой второго порядка с прямой.
- •5.3. Касательная к кривой второго порядка.
- •5.4. Полюс и поляра.
- •5.5. Геометрический смысл поляры.
- •5.6. Принцип взаимности поляр.
- •5.7. Полярное соответствие.
- •5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
- •Вопросы и упражнения.
- •Литература.
- •§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4
- •§2. Проективные координаты. 11
- •§3. Проективные преобразования плоскости. 24
- •§4. Сложное отношение. 29
- •§5. Кривые второго порядка. 36
- •Учебное издание
- •Проективная геометрия
- •210038, Г.Витебск, Московский проспект, 33.
5.7. Полярное соответствие.
Поляра точки A(ai ), относительно кривой , заданной уравнением (5.1.1), определяется уравнением (5.4.1), которое расписывается в виде (5.3.2 ). Это будет прямая, если не все из следующих чисел равны нулю:
u1= а11 а1+ а12 a2+ а13 a3,
u2= а12 а1+ а22 а2+ а23 a3, (5.7.1)
u3= а13 а1+ а23 а2+ а33 a3
Теорема 5.7.1. Если
а11 а12 а13
= а12 а22 а23 0 ,
а13 а23 а33
то каждая точка A(ai ) имеет, и притом только одну поляру относительно кривой .
Из алгебры известно, что система (5.7.1) при u1= u2= u3= 0 и 0 имеет, и притом, только единственное решение a1= a2= a3= 0. Но проективные координаты точки не могут быть такими. Значит, числа u1, u2, u3 не могут быть все нулевыми, а значит, каждая точка A имеет определенную поляру.
Теорема 5.7.2. Если 0, то каждая прямая имеет, и притом, только один полюс относительно кривой .
Пусть прямая p имеет уравнение u1x1+ u2x2+ u3x3= 0 . Тогда при 0 система (5.7.1) имеет (и притом, только одно) решение a1, a2, a3.
Следствие. Если для кривой выполняется 0, то она порождает взаимнооднозначное соответствие между множеством всех точек и множеством всех прямых на проективной плоскости.
Это соответствие называется полярным соответствием. В частности, каждая овальная кривая (эллипс, гипербола, парабола) порождает полярное соответствие, т.к. для овальной кривой 0.
5.8. Теоремы Паскаля и Брианшона.
Опр. 5.8.1. Шестивершинником называется фигура на расширенной плоскости, которую образуют упорядоченная шестерка точек M1, M2, M3, M4, M5, M6 и шесть прямых M1M2, M2M3, M3M4, M4M5, M5M6, M6M1. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами шестивершинника. Стороны M1M2 и M4M5; M2M3 и M5M6; M3M4 и M6M1 называются противоположными.
Теорема 5.8.1. (Паскаля) Три точки пересечения противоположных сторон любого шестивершинника, вписанного в овальную кривую, лежат на одной прямой.
Теорема 5.8.2. (обратная). Если три точки пересечения противоположных сторон шестивершинника (у которого никакие три вершины не лежат на одной прямой) лежат на одной прямой, то данный шестивершинник вписан в овальную кривую второго порядка.
С ледствие 1. Овальная кривая определяется пятью своими точками.
Действительно, если задать произвольно 5 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, то опираясь на теорему 5.8.2. можно (и притом, одной линейкой) построить шестую точку этой кривой (а, затем, седьмую, и.т.д.).
Пусть даны M1, M2, M3, M4, M5. Находим точку P; затем через M1 проводим произвольно прямую, которая пересечет M3 M4 в точке Q; затем проводим PQ, которая в пересечении с M2M3 даст точку R; и, наконец, M5R M1Q = M6 .
З амечание 1. Из 6 букв (и точек) можно составить P6 = 720 перестановок. Различных же шестивершинников, составленных из данных шести точек, имеется только 60, т.к. каждый из них может считаться, начиная из любой своей вершины, причем, как в прямом, так и в обратном направлении.
Замечание 2. Теорема Паскаля имеет место и для предельных (частных) случаев: 5-ти, 4-х и 3-х вершинников. Если, например, M1= M2, то прямая M1M2 будет касательной к овальной кривой.
Опр. 5.8.2. Шестисторонником называется фигура, двойственная шестивершиннику.
Значит, это фигура, образованная шестеркой прямых m1, m2, m3, m4, m5, m6 и шестью точками N1= m1 m2, N2= m2 m3, N3= m3 m4, N4= m4 m5, N5= m5 m6, N6 = m6 m1. Прямые называются сторонами, а точки – вершинами. Вершины N1 и N4, N2 и N5, N3 и N6 называются противоположными.
Теорема 5.8.1. (Брианшона) Если шестисторонник описан вокруг овальной кривой второго порядка, то три прямые, которые проходят через противоположные вершины, проходят через одну точку.
Имеет место и обратная теорема. Теорема Брианшона и обратная ей теорема вытекают из теоремы Паскаля и обратной к ней теоремы по принципу двойственности.
Следствие 2. Теорема Брианшона позволяет по пяти касательным к произвольной кривой второго порядка строить сколько угодно новых касательных к кривой. Ход построения аналогичен тому, который рассматривался в следствии 1.
Доказательство теорем Паскаля и Брианшона можно найти в [1].