2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой.
П
усть
R
=
{A1,
A2,
A3,
E}
–произвольный проективный репер на
плоскости (; ¯ . Спроецируем E
из вершины A1
на прямую
A2A3;
получим точку E1.
Проецируя E
из A2
на A1A3,
получим E2
, а проецируя
E
из A3
на A1A2,
получим E3.
На прямых A2A3,
A1A3,
A1A2
получились проективные реперы
R
1={A2,
A3,E1},
R 2= {A1, A3, E2}, R 3= {A1, A2, E3}.
Пусть M(; ¯ – произвольная точка. Аналогичным образом получаем точки M1, M2, M3.
Теорема 2.4.1. M(x1, x2, x3)R { M1(x2, x3)R 1 & M2(x1, x3)R 2 & & M3(x1, x2)R 3}.
Эта теорема позволяет:
1. находить проективные координаты точки на плоскости (; ¯ ;
2. строить точку по ее координатам, не выходя за пределы плоскости.
Для решения первой задачи
а) строим точки E1, M1, E2, M2;
б) находим координаты x1, x2 точки M1 в репере R 1={A2, A3, E1};
в) находим координаты x1 , x3 точки M2 в репере R 2= {A1, A3, E2};
г) координаты x1 , x3 заменяем пропорционально на x1, x3: (x1: x3 = x1 : x3 ).
д) M(x1, x2, x3)R .
Задача 2 решается аналогично.
Пример. В репере R = {A1, A2, A3, E} построить точку M(3:2:1).
Построение.
1) Выбираем репер R = {A1, A2, A3, E};
2) строим реперы R 1={A2, A3, E1} и R 2= {A1, A3, E2} (см. рисунок);
3) в репере R 1 строим точку M1(2:1); для этого
а) выбираем точку O1 A2A3 и проводим прямые O1A2 , O1A3 , O1E1 ;
б) на прямой O1E1 откладываем вектор e1;\s\up8(( от точки O1;
в) раскладываем e1;\s\up8(( на составляющие, параллельные O1A2 и O1A3 :
e1;\s\up8(( = a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( и получаем базис {a2;\s\up8(( , a3;\s\up8(( };
г) в этом базисе строим вектор x;\s\up8(((2, 1) (т.е. x;\s\up8(( = 2a2;\s\up8(( + a3;\s\up8(( ), отложенный от точки O1;
д) проводим прямую l1 x;\s\up8(( через точку O1; тогда M1= l1 A2A3 ;
4) в репере R 2= {A1, A3, E2} аналогично пункту 3) строим точку M2(3:1);
5) M = A1M1 A2M2 – искомая точка.
Можно также воспользоваться репером R 3= {A1, A2, E3} и построить в нем точку M2(3: 2); и тогда M = A1M1 A3M3 или M = A2M2 A3M3.
Упражнение. Самостоятельно проделайте эти построения и убедитесь, что результат построения точки M будет один и тот же.
2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат.
Из пунктов 2.1 – 2.4 вытекает
Теорема 2.5.1. Если две вершины проективного репера на плоскости (; ¯ несобственные: R = {A1 , A2 , A3, E} , то проективные координаты произвольной точки в таком репере являются однородными аффинными координатами этой точки в аффинной системе координат {A3, e1;\s\up8(( , e2;\s\up8(( }, где e1;\s\up8(( = A3E1;\s\up10( –(, e2;\s\up8(( = A3E2;\s\up10( –( .
Э
то
означает, что x1:
x2
: x3
=
x
:
y:
1 , где
(x1,
x2,
x3)
– проективные координаты, а (x,
y)
– аффинные.
В соответствии с пунктом 2.4 EE1 A3A1, EE2 A3A2 .