Вопросы и упражнения.

1. Записать уравнения окружности, эллипса, гиперболы, параболы в однородных прямоугольных координатах.

2. Найти несобственные точки кривых 1 – 5 из п^о5.1, считая, что их уравнения записаны в однородных аффинных координатах.

3. Найти точки пересечения кривой х₁² – х₂² – х₃² = 0 с прямой а) x₁– 2x₂+ 3x₃= 0; б) 2x₁+ x₂– x₃= 0; в) x₁+ x₂+ x₃= 0; г) x₁– x₃= 0.

4. Найти уравнение касательной к кривой 2х₁² – 3x₁x₂– х₃² – x₂x₃= 0, которая проходит через точку а) A(2, 1, 1) ; б) B(1, 0, 1) .

5. Найти а) поляру точки A(–1, 3, 2) ; б) полюс прямой 2x₁+ x₂– x₃= 0 относительно кривой х₁² +2x₁x₂–3х₃² + х₃² – 2x₂x₃= 0.

6. На прямой 2x₁+ x₂– x₃= 0 найти точку, сопряженную с точкой M(2,–3, 1) относительно кривой х₁² –2x₁x₂+2х₃² –3x₁x₃= 0.

7. Доказать, что полярой центра окружности является несобственная прямая, используя а) определение поляры; б) геометрический смысл поляры. Какое определение центру можно дать, исходя из этого?

8. Начертить окружность . Взять точку а) внутри ; б) вне ; в) на . Построить поляру этой точки опираясь на 1) теорему 5.5.1.; 2) на принцип взаимности поляр (п^о5.6).

9. Начертить окружность  и прямую, которая а) пересекает ; б) не имеет с  общих точек; в) касается . Построить полюс этой прямой относительно .

10. Записать уравнения полярного соответствия относительно кривой х₁² – х₂² + х₃² –2x₁x₃= 0. Что соответствует а) точке K(1,–3, 0); б) прямой x₁– x₃= 0 ?

11. Задать пять точек и построить еще две точки кривой, которая проходит через эти точки. Попробовать (приблизительно) нарисовать эту кривую.

12. Задать пять прямых и построить еще одну касательную к кривой, которая касается данных прямых.

Литература.

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т., Геометрия, ч.2, М: Просвещение, 1987.

2. Погорелов А.В. Геометрия. М: Наука, 1983.

3. Атанасян Л.С. и др. Сборник задач по геометрии. ч.2, М: Просвещение, 1975.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3

§1. Проективная прямая, плоскость, пространство. 4

1.1. Расширенная прямая. 4

1.2. Расширенные плоскость и пространство. 5

1.3. Свойства расширенных плоскости и пространства. 6

1.4. Принцип двойственности на проективной плоскости. 9

Вопросы и упражнения. 10

§2. Проективные координаты. 11

2.1. Проективные координаты на проективной прямой. 11

2.2. Однородные аффинные координаты на плоскости. 15

2.3. Проективные координаты на проективной плоскости. 15

2.4. Связь между проективными координатами на плоскости и на прямой. 17

2.5. Однородные аффинные координаты на плоскости, как частный случай проективных координат. 19

2.6. Формулы замены проективных координат на плоскости. 19

2.7. Уравнение прямой на плоскости. 20

2.8. Теорема Дезарга. 21

Вопросы и упражнения. 22

§3. Проективные преобразования плоскости. 24

3.1. Определение проективного преобразования. 24

3.2. Формулы проективного преобразования. 24

3.3. Основное свойство проективных преобразований. 25

3.4. Гомология. 25

3.5. Проективная группа плоскости. 27

Вопросы и упражнения. 28