2.8. Теорема Дезарга.

Опр.2.8.1. Трехвершинником на плоскости (; ¯ называется фигура, которая состоит из трех точек, которые не лежат на одной прямой, и трех прямых, которые проходят через эти точки. Точки называются вершинами, а прямые – сторонами трехвершинника.

Пусть ABC и A B C  – два трехвершинника. Будем называть соответственными вершины A и A , B и B , C и C , а также стороны a = BC и a = B C , b = AC и b = A C  , c = AB и c = A B .

Теорема Дезарга. Если соответственные стороны трехвершинников ABC и A B C  пересекаются в точках M, N, P, лежащих на одной прямой, то прямые, соединяющие соответственные вершины, сходятся в одной точке.

Обратная теорема Дезарга. Если прямые, соединяющие соответственные вершины трехвершинников ABC и A B C , сходятся в одной

т очке, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Э

Рис. 2.1

ти теоремы двойственные друг другу. Согласно принципу двойственности достаточно доказать одну из них, и тогда другая тоже будет верна. Мы докажем вторую теорему.

Пусть прямые AA , BB , CC  имеют общую точку S . Пусть M = a  a, N = b  b, P = c  c. Необходимо доказать, что M, N, P лежат на одной прямой. Для этого выберем на плоскости (; ¯ проективную систему координат, и запишем координаты точек A(a_i ), B(b_i ), C(c_i ), A(a_i ), B (b_i ), C (c_i ), S(s_i ), i =1, 2, 3. Поскольку S лежит на AA , BB , CC , то

s_i = a_i + a_i , s_i =  b_i + b_i , s_i =  c_i + c_i , i =1, 2, 3. 

a_i –  b_i = b_i – a_i = p_i ,

  b_i –  c_i = c_i – a_i = m_i ,

 c_i –  a_i = a_i – c_i = n_i , i =1, 2, 3,

г де p_i , m_i , n_i – координаты точек P, M, N . Сложив эти равенства, получим p_i + m_i + n_i = 0. Это значит, что P, M, N лежат на одной прямой s.

Вопросы и упражнения.

1. Задайте на расширенной прямой проективную систему координат

{A₁, A₂, E}, где а) все точки A₁, A₂, E собственные; б) A_1 ; в) A_2 ^; г) E_

и постройте точки с координатами: C(1, 3), D(–2,1), L(0, 5), M(–3, 0), N(–2, 2).

Выберите на прямой произвольную точку и найдите ее координаты.

Найдите координаты несобственной точки прямой.

2. Найдите однородные аффинные координаты несобственной точки прямой.

3. Выберите на прямой проективный репер и постройте точку M(1: 2) дважды, по-разному выбирая точку O. Сравните результаты.

4. Задайте на плоскости аффинную систему координат и постройте точки с однородными аффинными координатами A(2, 3, 2), B(3,–2,1), C(2, 3,–2), D(0,–3, 2), M(2, 3, 0), N(–3, 0, 0), P(0, 2, 0), Q(0, 0, 5).

5. Докажите, что однородные аффинные координаты несобственной точки, заданной некоторой прямой, равны (x₁, x₂, 0), где x₁, x₂ – координаты некоторого вектора, параллельного этой прямой.

6. Найдите уравнение несобственной прямой в однородных аффинных координатах.

7. Задайте на расширенной плоскости проективную систему координат {A₁, A₂, A₃, E}, где

а) все точки A₁, A₂, A₃, E собственные; б) A_1 ; в) A_2 ; г) A_3 ; д) E_ ;

е) A_1 , A_2 ; ж) A_1 , E_ и постройте точки с координатами: (–1, 3, 2),

(2, 0, 1), (0, 3, –2), (3,–1, 0), (2, 2, –1), (0, 3, 3).

8. Даны координаты точек репера R = {A₁, A₂ , A₃ , E} в репере R : A₁(1, 2,–1), A₂ (1, 0, 2), A₃ (2, –1, 3), E(0, 1,–2). Найти формулы связи между координатами произвольной точки в реперах R и R  .

9. Составить в репере R = {A₁, A₂, A₃, E}, уравнение прямой p, которая проходит через точки:

а) A(1, 0, 2) и B(–1, 3, 2) ; б) A₁ и E ; в) A₂ и E ; г) A₃ и E ;

д) A₁ и A_2; е) A₁ и A_3; ж) A₂ и A_{3 .}

_{10. Лежат ли на одной прямой точки} M(1, 2, 0), N(2,–1, 3), P(0, 2,–1)?

11. На изображении пирамиды SABC даны точки M, N, P, лежащие на боковых ребрах SA, SB, SC . При построении следа секущей плоскости MNP на плоскости ABC достаточно построить следы любых двух из трех прямых MN, NP, MP. Почему результат построения не зависит от выбора этих двух прямых?

12. Построить чертеж к теореме Дезарга, если следующие точки несобственные:

а) S ; б) A ; в) B ; г) C ; д) A, A; е) B, B ; ж) C, C ; з) A, B ;

и) A, C ; к) B, C ; л) A, S ; л) B, S ; м) C, S .

13. Доказать, что если соответственные вершины двух треугольников лежат на трех параллельных прямых, то продолжения соответствующих сторон пересекаются на одной прямой. Справедливо ли обратное утверждение?