Глава 10 Евклидово и унитарное пространство

10.1 Определение евклидовых пространств

В линейном пространстве V кроме операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число введем еще одну операцию скалярное умножение векторов. Каждой упорядоченной паре векторов x, y V поставим в соответствие действительное число, которое назовем их скалярным

произведением и обозначим ( x, y ). Потребуем,	чтобы для любых x, y, z V и
любого числа α R выполнялись следующие условия, называемые аксиомами
скалярного произведения:
I ( x, y ) = ( y, x ).
II ( x + y, z ) = ( x, z ) +( y, z ).
III (αx, y)=α( x, y).
IV ( x, x ) > 0 для всех x ≠ 0, (x, x)= 0 для x = 0 .
Скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов
нулевой. Действительно:
(0, y)= (0x, y)= 0(x, y)= 0 .	(10.1)
Скалярное произведение ( x, x ) вектора x	на себя называется скалярным

квадратом этого вектора и обозначается x2 , т.е.

(x,x)= x2 .

Евклидовым пространством называется линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов,

удовлетворяющая аксиомам I – IV. Если n -мерное линейное пространство является евклидовым, будем называть его евклидовым n -мерным пространством, а базис этого линейного пространства – базисом евклидова пространства.

Примеры евклидовых пространств.
1) Пусть M 3	- пространство свободных векторов. Для свободных векторов
определена операция скалярного умножения, которая удовлетворяет аксиомам I –
IV. Следовательно, пространство M 3 с введенной операцией скалярного
умножения векторов является евклидовым.
2) Пусть Rn	- арифметическое пространство. Каждой	паре элементов
X =( x1 ; x2 ; ...; xn ),	Y =( y1 ; y2 ; ...; yn ) этого пространства	поставим в
соответствие число
(X , Y )= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .		(*)
Легко убедиться в том, что аксиомы I – IV выполняются, т.е. выражение

(*) является скалярным произведением. Следовательно, пространство Rn с введенной операцией (*) скалярного умножения есть евклидово пространство.

3) В линейном пространстве Rn×1 каждой паре матриц

X =[x1 x2 ...xn ]T ; Y =[y1 y2 ... yn ]T

поставим в соответствие число

247

n
( X , Y ) = ∑xi yi .	(**)
i=1

Выражение (**) является скалярным произведением, так как аксиомы I – IV выполнены. Следовательно, пространство Rn×1 с введенной операцией скалярного умножения есть евклидово пространство.

Поставим для себя следующий вопрос: можно ли в линейном пространстве матриц H22 , определенном над полем K , ввести скалярное произведение по формуле

	( A, B ) = a1a2 − b1b2 + c1c2 − d1d2 ,
где	a	b		,	a	2	b			?
	A = 1	1			B =		2
	c	d			c	2	d	2
	1	1

Нельзя, так как не выполняется аксиома IV Действительно, для матрицы

	1	1
A =
	0	0

имеем (A, A)=1 −1 = 0 , хотя A ≠ Θ.

Из II и III аксиом вытекает следующая

произведения линейных комбинаций систем векторов:

	n	i		n i
	∑αi ai ∑		β jb j	= ∑∑αi β j (aib j ).
i =1		j =1	i =1 j =1

скалярного произведения.

формула для скалярного

(10.2)

При любом n	в n -мерном линейном пространстве Vn можно определить
скалярное умножение, т.е. можно превратить это пространство в евклидово.
В самом деле, возьмем в пространстве Vn любой базис e1 , e2 , ..., en Если
n	n
a = ∑αiei ,	b = ∑βiei ,
i =1	i −1
то положим
n
(a, b)= ∑αi βi .	(10.3)
i =1
Легко проверяется, что условия I – IV будут выполнены, т.е. равенство

(10.3) определяет в пространстве Vn скалярное умножение.

В n -мерном линейном пространстве скалярное умножение можно задать, вообще говоря, многими различными способами. Очевидно, что (10.3) зависит от выбора базиса. Возникает вопрос – нельзя ли ввести скалярное умножение какимлибо принципиально иным способом? Нашей ближайшей целью является обозрение всех возможных способов превращения n -мерного линейного пространства в евклидово пространство и установление того, что в некотором смысле для всякого n существует одно единственное n -мерное евклидово пространство.

248

10.2 Ортогональные вектора. Система ортогональных векторов

Пусть дано произвольное n -мерное евклидово пространство En , т.е. в n -

мерном линейном пространстве произвольным способом введено скалярное умножение. Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю,

( a, b ) = 0 .

Очевидно, что нулевой вектор ортогонален любому вектору, т.е.

( 0, a ) =( 0, b ) = 0 .

Система векторов называется ортогональной системой, если все векторы этой системы попарно ортогональны между собой.

Теорема 10.1 Всякая ортогональная система ненулевых векторов

линейно-независима.
Доказательство. Пусть в En дана система векторов a1 , a2 , ..., ak ,	ai ≠ 0 ,
i =1,2, ..., k , причем все векторы этой системы ортогональны между собой, т.е.
( ai , ai ) = 0 при i ≠ j .	(10.4)
Допустим выполнено условие
α1a1 +α2a2 + ... +αk ak = 0 ,	(*)

Скалярно умножая обе части этого равенства на вектор ai , 1 ≤ i ≤ k , ввиду I, II и IV аксиом, получаем:

0= (0, ai ) = (α1a1 +α2a2 + ... +αk ak , ai )=α1(a1, ai ) +α2 (a2 , ai ) + ... +

+αk ( ak , ai ) =αi ( ai , ai ) .

Отсюда, так как ( ai , ai ) > 0 по IV, вытекает, что нулю может быть равен только коэффициент αi = 0 , i =1,2, ..., k . Таким образом, условие (*) выполняется

при αi = 0 . Следовательно система векторов a1 , a2 , ..., ak	- линейно независима.
Процесс ортогонализации
Процесс ортогонализации – способ перехода от любой линейно
независимой системы из k векторов
a1 , a2 , ..., ak	(10.5)

евклидова пространства En к ортогональной системе, также состоящей из k

ненулевых векторов b1 , b2 , ..., bk

Положим b1 = a1 , а вектор b2 отличен от нуля. Пусть b2 = α1b1 + a2 . Так как векторы a1 и a2 линейно независимы, то вектор b2 отличен от нуля при любом числе α1 . Подберем это число из условия, что вектор b2 должен быть ортогонален к вектору b1 :

0 = (b1 , b2 )= (b1 , α1b1 + a2 )=α1(b1 , b1 )+ (b1 , a2 ),

откуда,

249

(b , a		)
α1 = − (b1	, b2) .
1	1
Пусть уже		построена ортогональная система	ненулевых	векторов
b1 , b2 , ..., bl ; дополнительно предположим, что для всякого			i , 1 ≤ i ≤ l	, вектор bi

является линейной комбинацией векторов a1 , a2 , ..., ai . Это предположение будет выполняться тогда и для вектора bl +1 , если он будет выбран в виде

bl +1 =α1b1 +α2b2 + ... +αl bl + al +1 .

Вектор bl +1 будет при этом отличен от нуля, так как система (10.5) линейно независимая, а вектор al +1 не входит в записи векторов b1 , b2 , ..., bl . Коэффициенты αi , i =1, 2, ..., l , подберем из условия, что вектор bl +1 должен быть ортогонален ко всем векторам bi , i =1, 2, ..., l :

0= (bi , bl +1 )= (bi ,α1b1 +α2b2 + ... +αlbl + al +1 )=α1(bi , b1 )+α1(bi , b2 )+ ... +

+α1(bi , bl )+ (bi , al +1 );

отсюда, так как векторы b1 , b2 , ..., bl ортогональны между собой, следует
αi (bi , bi )+ (bi , al +1 )= 0 ,
т.е. αi = −	(bi , al +1 )	,	i =1, 2, ..., l .
	(bi , bi )

Продолжая этот процесс, мы построим искомую ортогональную систему b1 , b2 , ..., bk .

Применяя процесс ортогонализации к произвольному базису пространства En , мы получим ортогональную систему из n ненулевых векторов, т.е. ортогональный базис. При этом становится очевидным следующее утверждение.

Всякое евклидово пространство обладает ортогональными базисами, причем любой ненулевой вектор этого пространства входит в состав некоторого ортогонального базиса.

10.3 Норма вектора евклидова пространства

Нормой вектора евклидова пространства называется арифметическое

значение корня из скалярного квадрата

этого вектора. Норму вектора x

обозначим

x

, тогда по определению

x

=

(x, x)= x2 .

(10.6)

Норма вектора обладает следующими свойствами.

1 x = 0 тогда и только тогда, когда x = 0 .

2αx = α x , где α - действительное число.

3(x, y) ≤ x y .

4 x + y ≤ x + y .

Докажем эти свойства

250

1Из аксиомы IV скалярного произведения следует, что x > 0 для x ≠ 0

и x = 0 при x = 0 .

2

На основании аксиом

I и III скалярного произведения получаем

αx

= (αx,αx)= α2( x, x ) = α2

( x, x ) = α x . Следовательно, верно, что

αx

=

α

x

.

3 Так как x + y 2 ≥ 0 , то

0 ≤ x +αy 2 =( x +αy, x +αy ) =( y, y )α2 + 2( x, y )α +( x, x ).

Эту сумму рассматриваем как квадратный трехчлен относительно α . Поскольку указанный трехчлен сохраняет знак, его дискриминант неположителен, т.е.

(x, y)2 −( x, x )( y, y ) ≤ 0, ( x, y )2 ≤ ( x, x )( y, y ).

Так как

(x, y)2 = ( x, y ) и

( x, x )( y, y ) = ( x, x ) ×

( y,y ) = x y , из

последнего неравенства следует неравенство

(x, y)

≤

x

y

,

(10.7)

которое называют неравенством Коши-Буняковского. 4 Используя неравенство (10.7), получаем

x + y 2 =( x + y, x + y ) =( x,x )+2( x, y )+( y, y ) ≤ x 2 +2x y + y 2 =(x + y)2 ,

откуда

x + y

≤

x

+

y

.

(10.8)

Неравенство (10.8) называется неравенством треугольника.

Например, запишем норму и неравенства (10.7), (10.8) для векторов (элементов) евклидовых пространств.

1 В евклидовом пространстве V3 с обычным определением скалярного произведения норма вектора совпадает с его длиной, т.е. a = a ; это следует из формулы (10.6). Неравенства (10.7) и (10.8) принимают соответственно вид

( a, b ) ≤ a b , a + b ≤ a + b .

Отметим, что неравенство a + b ≤ a + b следует из определений суммы

векторов и длины вектора; оно имеет простой геометрический смысл (в треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны).

В евклидовом пространстве En со скалярным произведением норма элемента x =( x1 , x2 , ..., xn ) определяется формулой

x= x12 + x22 + ... + xn2 ,

анеравенства (10.7) и (10.8) принимают вид

x y + x

2

y

2

+ ... + x

n

y

n

≤ x2

+ x2

+ ... + x2

y2

+ y2

+ ... + y2

,

1 1

1

2

n

1

2

n

(x1 + y1 )2 + (x2 + y2 )2 + ... + (xn + yn )2 ≤

251

≤ x12 + x22 + ... + xn2 + y12 + y22 + ... + yn2 .

10.4 Угол между двумя векторами евклидова пространства

Из неравенства Коши-Буняковского получаем

( x, y )

≤1, или −1 ≤

( x, y )

≤1;

x

y

x

y

следовательно, отношение

( x,

y )

можно рассматривать как косинус некоторого

x

y

угла. Углом между двумя векторами x и y евклидова пространства называется угол ϕ, для которого

cosϕ =	( x, y )							(0 ≤ϕ ≤ 2π ).	(10.9)
		x				y

Отметим, что в пространстве V3 всех свободных векторов введенное понятие угла совпадает с понятием угла, рассматриваемого в векторной алгебре.

10.5 Ортонормированный базис

Вектор a называется нормированным, или единичным, если a =1 Если a - ненулевой вектор, то каждый из векторов

a0

=

a

,

a0

= −

a

(10.10)

1

a

2

a

будет нормированным. Нахождение для данного вектора нормированного вектора по формуле (10.10) называется нормированием данного вектора, а множитель

µ = ± 1a - нормирующим множителем.

Система векторов e1 , e2 , ..., en называется ортонормированной, если она

ортогональна и каждый ее вектор является нормированным, т.е.
(ei ek )= 0, приi ≠ k ,	(10.11)
1, приi = k ,

где i, k =1, 2, ..., n .

Базис n -мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если базисные векторы образуют ортонормированную систему. Рассмотрим теорему о возможности выбора ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

Теорема 10.2 Во всяком евклидовом n -мерном пространстве (n ≥ 2) существует ортонормированный базис.

Доказательство этой теоремы основано на, описанном выше, способе перехода от любой линейной независимой системы векторов евклидова пространства En к ортогональной системе.

252

Примеры ортонормированных базисов:

1

В пространстве V3

геометрических векторов любые три единичных

попарно

ортогональных

вектора i,

j, k

образуют ортонормированный базис

(i, j, k называют ортами);

2

В

евклидовом

пространстве

T

и

в унитарном пространстве

T*

столбцы

n

n

1

0

0

0

1

0

e

=

0

,

e

2

=

0

, …,

e

n

=

0

1

M

M

M

0

0

1

образуют ортонормированный базис.

базис n -мерного евклидова

Если

e1 , e2 , ..., en

-

ортогональный

пространства, то любой вектор x этого пространства можно представить в виде x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen ,

откуда	(x, ek )
		(k =1, 2, ..., n).
	xk = (ek , ek )

Последняя формула упрощается в случае ортонормированного базиса; при этом (ek , ek )=1.

10.6Выражение скалярного произведения через координаты векторов

вортонормированном базисе

Пусть в n -мерном евклидовом пространстве фиксирован ортонормированный базис e1 , e2 , ..., en и даны векторы этого пространства

x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen , y = y1e1 + y2e2 + ... + ynen .

Найдем скалярное произведение этих векторов. Принимая во внимание

аксиомы скалярного произведения и формулу (10.11), получаем
(x, y)= (x1e1 + x2e2 + ... + xnen ,					y1e1 + y2e2 + ... + ynen )=
	n			n			n
									=
= x1e1	, ∑yiei		+ x2e2	, ∑yiei		+ ... + xnen , ∑yiei
	i =1			i =1			i =1
= (x1e1 , y1e1 )+ (x2e2 , y2e2 )+ ... + (xnen , ynen )=

= x1 y1( e1 , e1 ) + x2 y2 ( e2 , e2 ) + ... + xn yn ( en , en ) = = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ,

Итак

( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .

т.е., скалярное произведение двух векторов, заданных координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений одноименных координат.

253

Очевидно,

x	= ( x, x ) = x2	+ x2	+ ... + x2 ,
	1	2	n
где x1 , x2 , ..., xn - координаты вектора x в ортонормированном базисе.
Разберем задачу:		пространстве дан базис f1 , f2 , f3 , f4 . С помощью
В	четырехмерном

векторов этого базиса нужно построить ортонормированный базис того же пространства.

Решение. Сначала построим в заданном пространстве какой-нибудь

ортогональный базис g1 , g2 , g3 , g4 .

Положим

g1 = f1, g2 = f2 +αg1 .

Подберем действительно число

α так,

чтобы выполнялось

условие

g2 g1 .

Умножив

скалярно

на

g1

обе

части

последнего равенства, получим

(g1 , g2 )=

(g1 , f

2 )+α

(g1 , g1 ).

Так как (g1 , g2 )= 0 , то α = −(g1 , f2 ) (g1 , g1 ).

Далее, в

равенстве

g3 = f3 + β1g1 + β2 g2

подберем

β1 , β2

так,

чтобы

выполнялись условия g3 g1, g3 g2 . Из равенств

(g1 , g3 )=

(g1 , f3 )+ β1(g1 , g1 )+ β2 (g1 , g2 ),

(g2 , g3 )= (g1 , f3 )+ β1(g1 , g2 )+ β2 (g2 , g3 )

получим β1 = −(g1 , f3 ) (g1 , g1 ),

β2 = −(g2 , f3 ) (g2 , g2 ).

Наконец, из равенства g4 = f4 + γ1g1 + γ2 g2 + γ3 g3 находим

γ1 = −(g1 , f4 ) (g1 , g1 ), γ2 = −(g2 , f4 ) (g2 , g2 ), γ3 = −(g3 , f4 ) (g3 , g3 ).

Итак, при сделанном выборе α, β1 , β2 , γ1 , γ2 , γ3 векторы

g1 , g2 , g3 , g4

попарно ортогональны. Значит, векторы

e =

g1

,

e

2

=

g2

,

e =

g3

,

e

4

=

g4

1

g1

g2

3

g3

g4

образуют ортонормированный базис.

10.7 Понятие унитарного пространства

Комплексное

линейное

пространство

R

называется

комплексным

евклидовым пространством или унитарным пространством, если в нем введено скалярное умножение элементов, т.е. указано правило, ставящее в соответствие любым двум элементам x и y комплексное число (будем обозначать его ( x, y ) и называть эрмитовым произведением элементов x и y ), причем это правило удовлетворяет для любых x, y, z из R и любого

комплексного числа α следующим требованиям (аксиомам эрмитового произведения):

1)( x, y ) = ( y, x ).

2)(x + y, z)=( x, z ) +( y, z ) .

3)(λx, y)= λ( x, y ).

254

4) ( x, x ) > 0 , если x ≠θ и (x, x)= 0 , если x =θ .

Отметим, что аксиома 1) отличается от соответствующей аксиомы I для вещественного евклидова пространства. Из аксиом 1) – 3) следует, что

(x, λy)= λ( x, y )

и ( x, y + z ) =( x, y ) +( x, z ) .

Докажем, что для скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве (т.е. для эрмитового произведения) нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в вещественном евклидовом пространстве.

Доказательство. Предположим, что в комплексном линейном пространстве введено скалярное произведение, удовлетворяющее аксиомам I – IV. Тогда из аксиом I и III следует, что для любого числа α и любого элемента x имеет место равенство

(αx, αx)=α(x,αx)=α(αx, x)=α2 (x, x).

Положив α =i , получим (ix, ix)= −( x, x ) < 0 , если x ≠θ .

Таким образом, пришли к противоречию с аксиомой IV, в силу которой скалярный квадрат любого элемента линейного пространства должен быть неотрицательным. Следовательно, в комплексном линейном пространстве нельзя сохранить без изменения аксиомы скалярного произведения, принятые в действительном евклидовом пространстве. Как уже отмечалось, при переходе от действительного к комплексному евклидову пространству видоизменяется

аксиома I.

Примеры унитарных пространств.

x = (x ; x

),

y = (y ; y

)

1) Пусть

в

пространстве

C 2 паре

векторов

2

2

1

1

поставлено в соответствие число

x1

+ x2

.

Данное пространство с введенной

y1

y2

таким образом операцией является унитарным.

Аксиома 1) справедлива. Действительно

( x, y ) = x1

y1

+ x2

y2

;

( y, x ) = y1

x1

+ y2

x2

;

Теперь распишем (y, x):

= y1

+ y2

= y1

+ y2

=

x1 +

x2 .

( y, x )

x1

x2

x1

x2

y1

y2

Следовательно, ( x, y ) =

.

( y, x )

Аксиома

2)

также выполняется. Действительно, для

трех векторов

x = (x1; x2 ), y = (y1 ; y2 ), z = (z1; z2 ) имеем:

(x + y, z)= (x1 + y1 )z1 + (x2 + y2 )z2 ;

(x, z)+( y, z ) = x1 z1 + x2 z2 + y1 z1 + y2 z2 = (x1 + y1 )z1 + (x2 + y2 )z2 . Следовательно, ( x + y, z ) = ( x, z ) +( y, z ).

Далее, так как

(λx, y)= λx1 y1 + λx2 y2 = λ(x1 y1 + x2 y2 )= λ( x, y ),

то аксиома 3) выполняется.

Теперь покажем выполнимость аксиомы 4):

255

( x, x ) = x		+ x					=		x		2 +		x			2	≥ 0 ,
	x			2	x	2								2
1	1								1
причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда x1 = x2 = 0 , т.е. x = 0 .
2) Пусть	в		пространстве											C 2			паре векторов	x = (x ; x	2	),	y = (y ; y	2	)
																		1			1

поставлено в соответствие число

( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 .

Данное пространство с введенной таким образом операцией не является унитарным, так как аксиома 1) не соблюдается.

Действительно

( x, y ) = x1 y1 + x2 y2 ;

( y,x ) = y1x1 + y2 x2 ;

( y,x ) = y1x1 + y2 x2 = y1x1 + y2 x2 = y1 x1 + y2 x2 .

Следовательно, ( x, y ) ≠ ( y, x ).

Понятия длины вектора и ортогональности векторов в унитарном пространстве вводятся так же как и соответствующие понятия в евклидовом

пространстве, причем обозначения сохраняются, т.е. x = (x, x)= x2 ; вектор x

ортогонален вектору y , если (x, y)= 0 .

Например, в пространстве C 2 , рассмотренном в примере 1), найдем дину вектора a =( 2; 2 −i ) и эрмитово произведение (a, b), если b =( 3 +i; 2 ).

Решение. Так как, согласно определению скалярного произведения,

(a, a)= a2 = 2 2 +( 2 −i )( 2 +i ) = 9 ,

то a = 3 .

Найдем теперь эрмитово произведение векторов a и b, имеем

( a, b ) = 2(3 +i)+( 2 −i )2 = 2( 3 −i ) + 4 −2i =10 −4i .

Теорема 10.3 Эрмитово произведение двух векторов в ортонормированном базисе унитарного пространства равно сумме произведений координат первого вектора на соответствующие сопряженные координаты второго вектора.

Доказательство.

Пусть

в

унитарном

пространстве

даны

ортонормированный базис e1 , e2 , ..., en

и векторы

x =α1e1 +α2e2 + ... +αnen ,

y = β1e1 + β2e2 + ... + βnen .

Тогда

( x, y ) = (α1e1 +α2e2 + ... +αnen , β1e1 + β2e2 + ... + βnen )=

n

n

n

, ∑βiei

+

= α1e1

+

α2e2

, ∑βiei

... + αnen , ∑

βiei =

i =1

i =1

i =1

n n

n

= ∑∑αk

(ek , ei )= ∑αk

.

βi

βi

k =1i =1

k =1

Если X = (α1 α2 ... αn )T ,

T

= (β1

β2 ... βn ), то

Y

256

X Y T = ∑n αk βk . k =1

Таким образом, ( x, y ) = X Y T .

Следствие. Длина вектора, заданного в ортонормированном базисе унитарного пространства, равна корню квадратному из суммы квадратов модулей его координат.

10.8 Изоморфизм евклидовых (унитарных) пространств

Евклидовы пространства E и E′ называются изоморфными, если между векторами этих пространств можно установить такое взаимно однозначное соответствие, что выполняются следующие требования:

1)это соответствие является изоморфным соответствием между E и E′, рассматриваемыми как линейные пространства;

2)при этом соответствии сохраняется скалярное произведение; иными

словами, если образами векторов a и b из E служат соответственно векторы a′ и b′ из E′, то

(a, b)= (a′, b′). (10.12)

Из условия 1) сразу следует, что изоморфные евклидовы пространства имеют одну и ту же размерность. Докажем обратное утверждение:

Любые евклидовы пространства E и			E′,	имеющие одну и ту же
размерность n , изоморфны между собой.			E	и E′ ортонормированные
В самом деле, выберем в пространствах
базисы
e1	, e2 , ..., en			(10.13)
и, соответственно
e′	, e′ , ...,	e′ .		(10.14)
1	2	n

Ставя в соответствие всякому вектору

n

a= ∑αiei

i=1

из E вектор

n

a′ = ∑αiei′

i =1

из E′, имеющий в базисе (10.14) те же координаты, что и вектор a в базисе (10.13), мы получим, очевидно, изоморфное соответствие между линейными пространствами E и E′. Покажем, что выполняется и равенство (10.12): если

n	n
b = ∑βiei ,	b′ = ∑βiei′ ,
i =1	i =1

257

n

то (a, b)= ∑αi βi = (a′, b′),

i =1

Естественно изоморфные евклидовы пространства не считать различными. Поэтому для всякого n существует единственное n -мерное евклидово пространство в том же смысле, в каком для всякого n существует единственное n -мерное действительное линейное пространство.

Примем без доказательства утверждение о том, что все сказанное выше об изоморфизме евклидовых пространств переносится и на изоморфизм унитарных пространств.

10.9 Унитарные матрицы

При рассмотрении комплексных евклидовых (т.е. унитарных) пространств аналогом ортогональных матриц выступают унитарные матрицы. Унитарная матрица U = (uij ) - это матрица перехода от одного ортонормированного базиса,

скажем e1 , ...,	en к другому ортонормированному базису f1, ..., fn в унитарном
пространстве En , т.е.					f = eU , где f и e - строки, составленные из базисных
элементов.
Свойства унитарных матриц
n
1) ∑uki				=δij	(символ Кронекера), т.е. скалярное произведение любых
		ukj
k =1
двух столбцов		Ui		и	U j унитарной матрицы, рассматриваемых как элементы

пространства Tn* , равно нулю при i ≠ j и равно 1 при i = j . Таким же свойством обладают строки унитарной матрицы.

2) U −1 =U T , где U T - матрица, которая получается из матрицы U путем транспонирования и замены всех элементов на комплексно сопряженные (индекс

Tозначает транспонирование, а черта – комплексное сопряжение). Матрица U T называется эрмитово сопряженной по отношению к матрице U и обозначается

U* . Таким образом, свойство 2) можно записать так:

U −1 =U * ,

или, в эквивалентных формах:

UU * = I					или	U*U = I ,
где I - единичная					матрица.	Матрица U −1 , т.е. матрица U* , также является
унитарной.
3)		detU		=1.

Аналогично ортогональным матрицам свойства 1) и 2) являются характеристическими свойствами унитарных матриц.

258

10.10 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение евклидового пространства.

2Перечислите аксиомы скалярного произведения (аксиомы евклидового пространства).

3Приведите пример евклидового пространства.

4Какие вектора называются ортогональными?

5Сформулируйте и докажите теорему о линейной независимости ортогональной системы векторов.

6Что означает процесс ортогонализации?

7Как преобразовать произвольный базис в ортогональный?

8Дайте определение нормы вектора евклидового пространства.

9Выведите неравенство Коши-Буняковского.

10Выведите неравенство треугольника.

11Как найти угол между векторами евклидового пространства?

12Какой базис называется ортонормированным?

13Запишите формулу скалярного произведения через коэффициенты векторов ортонормированного базиса.

14Какое пространство называется унитарным?

15Что означает эрмитово произведение элементов?

16Сформулируйте и докажите теорему о размерности изоморфных евклидовых пространств.

17Какие матрицы называются унитарными?

18Сформулируйте свойства унитарных матриц.

19Какая матрица называется сопряженной по отношению к данной?

20Перечислите характеристические свойства унитарных матриц.

259

Глава 11Линейные операторы

11.1 Линейный оператор. Основные определения

Пусть даны два линейных действительных (комплексных) пространства V

и W , размерности которых равны соответственно m и n .	Будем говорить, что
задано отображение f пространства V в W или оператор,	действующий из V в
W , если каждому x V поставлен в соответствие единственный y W .
Вектор y назовем образом вектора x , а x - прообразом вектора y .
Будем говорить, что оператор f переводит вектор x в	вектор y , и писать

y = f (x).

Из определения оператора следует, что каждый вектор имеет единственный образ, но не каждый вектор имеет прообраз, а если имеет, то этот прообраз, вообще говоря, может быть и не единственным.

Оператор называется взаимно однозначным (биективным), если каждый вектор имеет прообраз, и притом единственный.

Два оператора f :V →W и g :V →W называются равными, если f ( x ) = g( x ) , для любого x V .

Оператор называется линейным, если для любых векторов пространства и произвольного числа λ (действительного, если пространство действительное, и комплексного, если – комплексное), выполняются следующие условия:

1)f ( x1 + x2 ) = f (x1 )+ f (x2 );

2)f (λx)= λf ( x ) .

Из определения следует, что для линейного оператора справедливо

соотношение
f ( αx1 + βx2 ) = αf (x1 )+ βf (x2 ),	(11.1)

где α, β - любые числа (действительные или комплексные).

Справедливо и обратное: если имеет место равенство (11.1), то оператор f

является линейным.

Отметим, что линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой, так как согласно условию 2): f (0)= f ( 0x ) = 0 f ( x ) = θ, где θ - нулевой вектор.

Простейшим примером линейного оператора является тождественное

преобразование	f ( x ) = x , т.е.	преобразование, которое каждому вектору
линейного пространства ставит в соответствие тот же вектор.
Пусть линейный оператор		f n -мерного пространства переводит базисные
векторы e1 , e2 , ..., en соответственно в векторы e1′, e2′ , ..., en′ , т.е.
e1′ = f ( e1 ),	e2′ = f ( e2 ) ,…, en′ = f ( en ).

Образ любого вектора x данного линейного пространства можно выразить через образы базисных векторов e1 , e2 , ..., en , то есть через e1′, e2′ , ..., en′ .

260

Действительно, если

x = α1e1 + α2e2 + ... + αnen ,

то

f ( x ) = f (α1e1 + α2e2 + ...+ αnen )= α1 f ( e1 ) + α2 f ( e2 ) + ...+ αn f ( en ) =

= α1e1′ + α2e2′ + ... + αnen′ ,

т.е.

f ( x ) = α1e1′ + α2e2′ + ... + αnen′ .

Следовательно, линейный оператор будет вполне определен, если заданы образы базисных векторов рассматриваемого пространства.

Пусть	f	-	линейный оператор n -мерного линейного пространства,
переводящий базисные векторы e1 , e2 , ..., en в векторы						e1′, e2′ , ..., en′ . Каждый из
последних векторов разложим по базису e1 , e2 , ..., en :
e1′ = a11e1 + a21e2 + ... + an1en ,
e2′ = a12e1 + a22e2 + ... + an2en ,
......................................
en′ = a1ne1 + a2ne2 + ... + annen .
Матрица
a		a	...	a
	11	12		1n
a21		a22	...	a2n
A =			...	...	,
... ...
		an2	...
an1				ann		(k =1, 2, ..., n), называется
в которой k -й столбец состоит из координат вектора ek′
матрицей линейного				оператора f в базисе e1 , e2 , ..., en . Итак, каждому

линейному оператору n -мерного линейного пространства соответствует матрица порядка n в данном базисе; обратно, каждой матрице порядка n соответствует линейный оператор n -мерного пространства.

Например, в пространстве M 2 рассмотрим оператор вращения на угол ϕ и найдем матрицу этого оператора в базисе i, j .

Решение.

Рисунок 104

261

Из рисунка 104 очевидно следующее: f(i) = OM + MN =i cosϕ + j sinϕ ;

f(j) = OP + PS = −isinϕ + j cosϕ .

Следовательно, искомая матрица имеет вид

cosϕ	− sinϕ
		.
	cosϕ
sinϕ

Например, рассмотрим оператор f , переводящий всякий вектор r M 2 в

симметричный ему вектор относительно оси Ox (оператор симметрии относительно оси Ox ). Докажем, что этот оператор является линейным. Найдем его матрицу в базисе i, j .

Из рисунка 105 видим, что f ( i ) = i , f ( j ) = − j . Следовательно, искомая матрица имеет вид

	0	1
		.
	0
		−1

Рисунок 105

Отметим, что матрица тождественного преобразования в любом базисе будет единичной; обратно, любой единичной матрице n -го порядка соответствует тождественное преобразование линейного n -мерного пространства.

11.2 Связь между координатами вектора и его образа

Рассмотрим линейный оператор f n -мерного линейного пространства, заданный в некотором базисе e1 , e2 , ..., en матрицей

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		(11.2)
A =		...	...	.
... ...
	an2	...
an1			ann

Координаты вектора x и его образа y = f ( x ) известны:

262

	x = x1e1 + x2e2 + ... + xnen ,	(11.3)
	y = f (x)= y1e1 + y2e2 + ... + ynen.
	Найдем зависимость между координатами векторов x и y .
	Принимая во внимание определение линейного оператора, получаем
	f ( x ) = f (x1e1 + x2e2 + ... + xnen )= x1 f (e1 )+ x2 f (e2 )+ ... + xn f	(en )=

= x1(a11e1 + a21 e2 + ... + an1en )+ x2 (a12e1 + a22e2 + ... + an2en )+ ...

... + xn (a1ne1 + a2ne2 + ... + annen ),

или

f ( x ) = (a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn )e1 + (a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn )e2 + ...

... + (an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn )en .

Поскольку каждый вектор разлагается по базису единственным образом, то из этого равенства и второго равенства (11.3) следуют искомые формулы:

y

= a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

,

1

11

1

12

1n

y2 = a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn ,

......................................

y

n

= a

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

.

n1 1

Формулы (11.4) можно записать в матричном виде

Y = AX ,

где A определяется формулой (11.2), а X иY - формулами

	x					y
		1					1
X	x2			,	Y	y2
	=	M				=	M	.
	xn					yn

(11.4)

(11.5)

Если переменные y1, y2 , ..., yn связаны с переменными x1, x2 , ..., xn

формулами (11.4), будем говорить, что задан линейный однородный оператор с матрицей A, переводящий переменные x1, x2 , ..., xn в переменные y1, y2 , ..., yn .

Он обладает теми же свойствами, что и линейный оператор n -мерного линейного пространства.

Линейный однородный оператор переменных (11.4) или (11.5) называется

невырожденным, если det A ≠ 0 .

Например,			пусть линейный оператор f двумерного пространства в базисе
e1 , e2 задан матрицей
	3	2
A =			.
	−1	5

Найти f ( x ), если x = 4e1 − 3e2 . Решение. По формуле (11.5) имеем

y			3	2		4			6
1		=						=		.
			−1	5		− 3			−19
y2

263

Следовательно, f ( x ) = 6e1 −19e2 .

Замечание. При рассмотрении линейных операторов (линейных преобразований) пользуются и другими обозначениями. Если y = f (x) , где f -

линейный оператор с матрицей A в некотором базисе, то возможна запись

y = Ax . Условия 1) и 2), определяющие линейный оператор в этом случае

записывают в виде

A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 , A(λx)= λAx .

11.3 Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Рассмотрим несколько необходимых теорем:
Теорема 11.1 Если для любого столбца			X = (x1, x1, ..., xm )T			имеет место
равенство
AX = BX , где A = (aij ); B = (bij ) (i =		;	j =		) ,	(11.6)
	1, m			1, m

то A = B .

Доказательство. Так как равенство (11.6) имеет место для любого X , то оно будет справедливо для столбца X = (1 0 ... 0)T . Тогда

(a11 a21 ... am1 )T = (b11	b21 ... bm1 )T ,
откуда
a11 = b11 , a21 = b21 , …,	am1 = bm1 .

Аналогично доказывается равенство остальных элементов матрицы A соответствующих элементам матрицы B .

Теорема 11.2 Если для любой матрицы-строки X = (x1, x1, ..., xm ) имеет

место равенство XA = XB , где A = (aij ), B = (bij ) (i =1, m; j =1, m) , то A = B .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 11.1.

Теорема 11.3 Если

e1 , e2	, ..., en ;	(11.7)
e1′, e2′	, ..., en′	(11.8)

базисы некоторого линейного пространства и A - матрица линейного оператора f в базисе (11.7), то матрица B этого оператора в базисе (11.8) имеет вид

B =T −1 AT ,

где T - матрица перехода от базиса (11.7) к базису (11.8).

Доказательство. Пусть вектор x имеет координаты α1, α2 , ..., αn в базисе

(11.7) и α1′, α2′, ..., αn′ в базисе	(11.8), а	вектор y = f( x ) имеет координаты
β1, β2 , ..., βn в базисе (11.7) и β1′,	β2′, ..., βn′	в базисе (11.8). Тогда
X =TX ′;		(11.9)

264

Y =TY ′;		(11.10)
Y = AX ;		(11.11)
Y ′ = BX ′.		(11.12)
Умножив равенство (11.9) слева на матрицу A, получим
AX = ATX ′
или, учитывая выражения (11.10) и (11.11),
TY ′ = ATX ′.
Отсюда
Y ′ =T −1 ATX ′.
Сравнивая последнее равенство с (11.12), имеем
BX ′ =T −1 ATX ′.	B =T −1 AT -
Применяя теорему 11.1, окончательно получаем		что и
требовалось доказать.
Следствие 1. Если линейный оператор имеет	в некотором	базисе

невырожденную матрицу, то и в любом другом базисе матрица этого оператора является невырожденной.

Доказательство. Пусть A и B - матрицы данного оператора в двух различных базисах, причем det A ≠ 0 . Так как B =T −1AT , где T - невырожденная матрица, то det B = detT −1 det AdetT ≠ 0, т.е. матрица B также невырожденная.

Следствие 2. Если A и				B - матрицы линейного оператора в разных
базисах, то rA = rB .
Это равенство следует из того, что B =T −1AT и того, что ранг матрицы не
меняется при умножении матрицы на невырожденную матрицу.
Например, в базисе e1 , e2				оператор f имеет матрицу
	8	4
A =			.
	5	2

Найти матрицу оператора f							в базисе e1′					= 2e1 + e2 , e2′					= 6e1 + 4e2 .
Решение. Так как									4		− 6			2		− 3
T =		2 6			T −1 =		1
			,									=					,
		1					2		−1
то			4								2		− 0,5			1
				2 −	3	8 4					2 6		1 2			2 6		4 14
B =T −1 AT =													=					=		.
				− 0,5										0					6
					1	5		2			1 4		1			1	4	2
Введем понятие подобия матриц. Матрица B называется подобной
матрице	A,		если	существует				невырожденная							квадратная				матрица C ,
удовлетворяющая равенству
B = C −1 AC .
Из теоремы 11.3 следует, что матрица B линейного оператора f																				в базисе
e1′, e2′ , ..., en′		подобна матрице A того же оператора f												в другом базисе e1 , e2 , ..., en ,

265

так как эти матрицы связаны формулой B =T −1 AT , где T - невырожденная матрица перехода от базиса e1 , e2 , ..., en к базису e1′, e′2 , ..., e′n .

Можно доказать, что две квадратные матрицы A и B порядка n тогда и только тогда являются матрицами одного и того же линейного оператора пространства Vn в соответствующих базисах, когда матрица B подобна

матрице A.

11.4 Ядро и область значений линейного оператора

Ядром оператора f :V →W называется множество тех векторов

пространства V , каждый из которых данный оператор переводит в нулевой вектор.

Ядро оператора f будем обозначать ker f . Таким образом, kerf ={x V f( x ) = θ}, ( θ - нулевой вектор).

Областью

значений

или

образом

оператора

f :V →W

называется

множество векторов пространства W , каждый из которых является образом хотя

бы одного вектора из V . Образ оператора

f

будем обозначать Im f .

Таким образом,

Imf = {y W

y = f( x )}.

Справедливы следующие утверждения.

1

Ядро линейного оператора

f :V →V

является подпространством

пространства V .

f

f( θ) = θ.

Доказательство.

Так

как

-

линейный

оператор,

то

Следовательно, ker f ≠ .

f( x1 ) = f (x2 )= θ. Тогда

Пусть x1 , x2 kerf , т.е.

f (x1 + x2 )= f (x1 )+ f (x2 )= θ,

f (λx1 )= λ f( x1 ) = θ.

ker f

Поэтому

x1 + x2 kerf ,

λx1 kerf .

Следовательно,

есть

подпространство пространства V .

2

Область

значений

линейного

оператора

f :V →V

является

подпространством пространства V .

3

Ядро

оператора

f :V →V

состоит

только

из нулевого

вектора

тогда и только тогда, когда из условия x1 ≠ x2

следует, что f (x1 )≠ f (x2 ).

В справедливости утверждений 2, 3 предлагаем читателю убедиться

самостоятельно.

Рангом оператора f

называется

dim Im f ,

т.е. размерность образа

оператора.

Дефектом

оператора

f

называется

dim ker f ,

т.е. размерность ядра

оператора.

Теорема 11.4 Если f :V →V - линейный оператор, то:

266

1) dim Im f = rA ; 2) dim ker f = n − rA ,

где rA - ранг матрицы A оператора f , n = dimV - размерность пространства V .

Доказательство.

1) Пусть

y Im f , тогда существует

x V ,

такой, что

f (x) = y , или

AX =Y ,

x, y

(11.13)

где

X , Y

- столбцы из

координат векторов соответственно

в

базисе, в

котором задана матрица A оператора

f .

Так как система (11.13) совместна, то rA = rA = r . Следовательно, столбец

Y

является

линейной

комбинацией

базисных

столбцов

матрицы

r

A. Таким

образом,

любой

вектор

y Imf

является линейной

комбинацией

линейно

независимых векторов. Следовательно, dim Im f = r = rA .

2)

Пусть

x ker f , тогда

f( x ) =θ ,

или

AX = O .

Следовательно,

пространство

ker f

является

пространством

решений

системы

AX = O ,

размерность которого равна n − rA .

Из доказанной теоремы следует, что dim Im f + dim ker f = dimV (f :V →V ).

11.5 Характеристический многочлен, характеристическое уравнение линейного оператора

Теорема 11.5 Если линейный оператор				f в базисе e1 , e2 , ..., en	имеет
матрицу A и в базисе e1′, e2′ , ..., en′ матрицу B , то det(A − λE)= det(B − λE), где λ
- любое действительное число; E - единичная матрица n -го порядка.
Доказательство.	Обозначим через		T	матрицу перехода от	базиса
e1 , e2 , ..., en к базису e1′, e2′ , ..., en′ , тогда B =T −1 AT . Следовательно,
det(B − λE)= det(T −1 AT − λE)= det(T −1 AT − λT −1ET )=
= det(T −1 (A −λE)T )= detT −1 det(A −λE) detT = det(A −λE),
так как detT −1 detT =1	. Итак, доказано, что
det(A − λE)= det(B − λE).					(11.14)
Отметим, что det(A − λE) является многочленом степени n относительно
λ . Многочлен det(A − λE)		называется	характеристическим многочленом

матрицы A, или характеристическим многочленом линейного оператора f .

Равенство (11.14) означает, что характеристический многочлен линейного оператора остается неизменным при переходе к новому базису при том, что матрица линейного оператора меняется.

Характеристическим уравнением линейного оператора называется

уравнение
det(A − λE)= 0 ,	(11.15)

где A - матрица этого оператора в некотором базисе. Очевидно, характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса. Уравнение (11.15)

267

называют также характеристическим уравнением матрицы A. Корни уравнения (11.15) называются характеристическими числами линейного оператора f , или

характеристическими числами матрицы A.

Например, найдем характеристический многочлен и характеристические

числа матрицы		− 2	− 3
	0
	− 2	0	− 3
A =				.
	2	2	5

Решение. Характеристический многочлен данной матрицы имеет вид

− λ	− 2	− 3
ϕ(λ)= − 2	− λ	− 3 = λ2 (5 − λ)+12 +12 − (6λ + 4( 5 − λ ) + 6λ)=

22 5 − λ

=5λ2 − λ3 + 24 − 6λ − 20 + 4λ − 6λ = −λ3 + 5λ2 − 8λ + 4 .

Для нахождения характеристических чисел решим уравнение

− λ3 + 5λ2 − 8λ + 4 = 0 .

Его можно записать в виде

(λ3 − λ2 )− (4λ2 − 4λ)+ (4λ − 4)= 0

или

(λ −1)(λ2 − 4λ + 4)= 0 .

Корни этого уравнения, т.е. характеристические числа: λ1 =1, λ2 = λ3 = 2 .

Система всех характеристических чисел линейного оператора называется его спектром. Каждое характеристическое число входит в спектр столько раз, какова его кратность. Спектр оператора называется простым, если характеристический многочлен имеет только простые корни.

Итак, пусть характеристический многочлен матрицы A порядка n имеет

вид		p	λn + p λn−1		+... + p		,								(11.16)
						n
		0		1
где p	0	= (−1)n ,		p = (−1)n−1 (a				+ a	22	+... + a	nn	), ...,	p	n	=		A		.
				1		11

В соответствии с формулами Вьета коэффициенты характеристического многочлен связаны с характеристическими корнями следующим образом:

p1 = λ1 + λ2 +... + λn ,

p2 = λ1λ2 + λ1λ3 +... + λn−1λn ,

.......................................

pn = λ1λ2 ...λn

из этих формул, в частности, вытекают часто применяемые соотношения

λ1 + λ2 + ... + λn = a11 + a22 + ... + ann ,

λ1λ2 ...λn = A .

268

Согласно последнему равенству характеристический многочлен матрицы имеет нулевые характеристические корни тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е. матрица вырожденная.

Например, определим имеет ли матрица A нулевые характеристические

корни
1				2	0			0			0				0
	3			1	−1			0			0				0
	2			1	−1			0			0				0
A =				7	10			1			2				0	.
3
				12	7			2			4				0
11
	8			3	6			5			14				3
Решение.				Матрица							A -				клеточная. Найдем ее определитель. Согласно
теоремы Лапласа, имеем
det A =			1	2	0					1	2
			3	1	−1									3 = 0 ,
			2	1	−1					2	4

(второй сомножитель равен нулю, как определитель с пропорциональными строками). Следовательно, матрица A имеет нулевой характеристический корень.

Повторим, известные уже нам факты, если в произвольный многочлен

P(λ)= a

λn

+ a λn−1 +... + a

λ + a

n

0

1

n−1

A

n ,

вместо переменной λ

подставить

квадратную матрицу

порядка

то

в

результате получим

матрицу

P(A) = a

0

An + a An−1 +... + a

n−1

A + a

E ,

которую

называют значением многочлена P(λ)

1

n

при λ = A . Если для данной матрицы

A

верно равенство

P(A) = 0 (значением

многочлена P(λ)

при

λ = A

является

нулевая матрица),

то

A называют матричным корнем многочлена P( λ ) . Сам

многочлен P(λ) назовем при этом многочленом, аннулируемым матрицей A.

Теорема 11.6 Всякая квадратная матрица является корнем некоторого

ненулевого многочлена.

n

Доказательство.

Множество

всех

квадратных матриц

порядка

с

элементами из поля P есть линейное пространство над P размерности n2 . В этом линейном пространстве любая система, в которой не менее n2 +1 элементов,

является линейно зависимой. Следовательно,	система An2 , An2 −1 , …, A,	E из
n2 +1 матриц линейно зависима, т.е.	существует такой набор	чисел

α0 , α1 , ..., αn2 , одновременно не обращающихся в нуль, что выполняется

равенство

α0 An2 +α1 An2 −1 +... +αn2 −1 A +αn2 = 0 .

Это равенство означает, что матрица A является корнем многочлена

269

A −λE , имеющих

и ее минимальный

P(λ) = α0λn2 +α1λn2 −1 +... +αn2 −1λ +αn2 .

Примем без доказательства теорему Гамильтона-Кели.

Теорема 11.7 (Гамильтона-Кели) Любая квадратная матрица является корнем своего характеристического многочлена.

11.6 Минимальный многочлен матрицы

Многочлен ϕ(λ) минимальной степени, имеющий старший коэффициент,

равный единице, и аннулируемый матрицей A, называют минимальным многочленом этой матрицы.

Теорема 11.8 Любой многочлен, аннулируемый матрицей A, нацело делится на минимальный многочлен этой матрицы. В частности, характеристический многочлен матрицы делится на ее минимальный многочлен.

Доказательство. Разделим многочлен P(λ) на минимальный многочлен ϕ(λ) с остатком: P(λ)= ϕ(λ)q(λ)+ r(λ), где многочлен r(λ) имеет степень меньше степени ϕ(λ). Заменив переменную λ матрицей A, получим:

P(A)= ϕ(A)q(A)+ r(A).

Так как P(A)=ϕ(A)= 0 , то и r(A)= 0 . Но это равенство возможно только в том случае, когда многочлен r(λ) нулевой. Иначе возникает противоречие с определением минимального многочлена. Равенство r(λ)= 0 означает, что многочлен P( λ ) нацело делится на ϕ(λ).

Следствие Любой корень минимального многочлена матрицы является корнем ее характеристического многочлена.

Отметим еще несколько полезных фактов. Характеристический многочлен A − λE матрицы A

многочлен ϕ(λ) связаны соотношением

ϕ(λ)= (−1)n A − λE , (11.17)

Dn−1

где Dn−1 - наибольший общий делитель всех миноров матрицы (n −1)-й порядок.

Корнями минимального многочлена ϕ(λ) являются все различные корни характеристического многочлена A − λE , причем если

	A −λE		= (−1)n (λ −λ )m1 (λ − λ					)m2	...(λ − λ		)ms ,
				1				2		s
то
ϕ(λ)= (λ −λ )n1				(λ −λ	2	)n2	...(λ −λ		s	)ns ,	(11.18)
1

где 1 ≤ nk ≤ mk , k =1, 2, ..., s .

Формула (11.17) позволяет находить минимальный многочлен матрицы. Например, найдем минимальный многочлен матрицы

270

	1	2	0
	0	2	0
A =				.
	− 2	− 2
			−1

Решение.

Для

матрицы A

характеристический многочлен имеет вид

A −λE

= −λ3 + λ2 + λ − 2 . Общий наибольший делитель D2 всех миноров второго

порядка матрицы

1 − λ

2

0

0

2 − λ

0

A − λE =

− 2

− 2

−1 −

λ

равен единице, так как ее миноры

1 − λ

2

= 2(λ +1) ,

0

2 − λ

= 2(2 − λ)

− 2

− 2

− 2

− 2

взаимно простые. Поэтому

ϕ(λ)= (−1)3 A− λE = λ3 − λ2 − λ + 2 D2

- минимальный многочлен матрицы.

Рассмотренный пример показывает, что разные матрицы могут иметь одинаковые характеристические, но разные минимальные многочлены.

Учитывая, что матрицы данного линейного оператора в разных базисах подобны и имеют один и тот же характеристический многочлен, логично этот многочлен назвать характеристическим многочленом линейного оператора, а его корни – характеристическими корнями линейного оператора.

Отметим также, что транспонированная матрица AT имеет одинаковые с матрицей A характеристические многочлены и характеристические числа.

11.7 Собственные векторы линейного оператора

Ненулевой вектор x линейного пространства называется собственным вектором линейного оператора f этого пространства, если существует число k

такое, что
f ( x ) = kx ,	(11.19)

причем k - действительное число для действительного линейного пространства и k - комплексное число в случае комплексного пространства. Число k называется собственным значением вектора x относительно оператора f . Равенство (11.16)

можно записать в матричном виде
AX = kX ,	(11.20)
где A - матрица оператора f в некотором базисе; X	- матрица-столбец из
координат собственного вектора x в том же базисе.

271

Ненулевая матрица-столбец X , удовлетворяющая уравнению (11.20), называется собственным вектором-столбцом матрицы A с собственным значением k .

Собственные векторы и собственные значения обладают следующими

свойствами:

1. Собственный вектор линейного оператора имеет единственное значение k .

Доказательство. Пусть k и m - собственные значения собственного вектора x относительно линейного оператора f , тогда f ( x ) = kx , f ( x ) = mx ,

откуда kx = mx , (k − m)x = 0 . Поскольку x ≠ 0 , то k − m = 0, или k = m .

2.Если x - собственный вектор линейного оператора f с собственным

значением k и λ - любое отличное от нуля число, то λx - также собственный вектор оператора f с собственным значением k .

Доказательство. Если x - собственный вектор с собственным значением k , то f (λx)= λ f( x ) = λ(k x)= k(λx). Это равенство означает, что λx - собственный

вектор линейного оператора f с собственным значением k .

3. Если x и y - линейно независимые собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же собственным значением k , то x + y - также

собственный вектор этого оператора с собственным значением k .

Доказательство. Если векторы x и y линейно независимы, то x + y - ненулевой вектор и f( x + y ) = f( x ) + f( y ) = k x + k y = k( x + y ), то есть f( x + y ) = k( x + y ), а значит вектор (x + y) - собственный вектор с собственным

значением k .

4. Если x и y - собственные векторы линейного оператора f с собственными значениями k и m , причем k ≠ m , то x и y - линейно независимы.

Доказательство. Предположим противное, т.е. векторы x и y линейно зависимы, тогда y = λx , причем λ ≠ 0 , так как y ≠ 0 . Согласно свойству 2 вектор

λx является собственным вектором с собственным значением k . Учитывая свойство 1, из равенства y = λx заключаем, что k = m , а это противоречит

условию. Следовательно, векторы x и y - линейно независимы. Отметим, что

свойство 4 справедливо и для n ( n > 2) векторов, т.е. собственные векторы линейного оператора с попарно различными собственными значениями линейно независимы.

Следствие. Если x1 , x2 , ..., xm - линейно независимые собственные векторы линейного оператора f с одним и тем же собственным значением k ,

то любая нетривиальная комбинация этих векторов есть собственный вектор этого оператора с собственным значением k .

Это утверждение следует из свойств 2 и 3.

Например, найдем характеристические числа и собственные векторы линейного оператора, определяемого уравнениями x′ = 5x + 4 y , y′ = 8x + 9 y .

272

Решение. Матрица оператора запишется так:

	5	4
A =			.
	8	9

Характеристическое уравнение имеет вид

	5 −λ	4		= 0 , или	λ2 −14λ +13 = 0 ;
	8	9 −λ

характеристические числа λ1 =1, λ2 =13.

Для определения координат собственных векторов получаем две системы

линейных уравнений:
(5 − λ1 )x + 4 y = 0,	(5	− λ2 )x + 4 y = 0,
8x + ( 9 − λ1 )y = 0,	8x +( 9 − λ2 )y = 0.
При λ1 =1, первую систему можно записать следующим образом:
4x + 4 y = 0,
8x + 8y = 0.	и y	должны удовлетворять уравнению x + y = 0 , или
То есть, значения x

y = −x . Следовательно, решение этой системы имеет вид x = c1 , y = −c1 , где c1 -

произвольная величина. Поэтому характеристическому числу λ =1 соответствует семейство собственных векторов

	u = c1 e1 − c1 e2 ,			т.е.	u = c1(e1 − e2 ).
	Далее, значение λ2 =13 приводит к следующей системе уравнений:
	−8x + 4y = 0,
		− 4 y = 0,
	8x
т.е.	y = 2x .		Полагая	x = c2 ,	получаем	y = 2c2 .	Следовательно,
характеристическому числу λ =13					соответствует	семейство собственных
векторов		(e1 + 2e2 ).
	v = c2
	Итак,	придавая в равенствах u = c1(e1 − e2 ), v = c2 (e1 + 2e2 ) величинам c1 и

c2 всевозможные числовые значения, будем получать всевозможные собственные

векторы линейного оператора, определяемого заданными в условии задачи уравнениями.

11.8 Собственные значения и собственные векторы симметрической матрицы

Напомним, что симметрической называется матрица, элементы которой, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой.

Теорема 11.9 Корни характеристического уравнения действительной симметрической матрицы являются действительными числами.

273

Доказательство. Если A - действительная симметрическая матрица, то

AT = A и A = A. где A - матрица, сопряженная матрице A; AT - матрица, полученная транспонированием матрицы A. Пусть k - корень характеристического уравнения, x(x1 , x2 , ..., xn )- собственный вектор данной

квадратной матрицы порядка n . Найдем произведение X T AX , где X - матрицастолбец из координат вектора x(x1 , x2 , ..., xn ), которые могут быть и

комплексными числами; X - матрица, сопряженная матрице X , X T - матрицастрока, полученная транспонированием матрицы X .

Применяя свойства транспонированных и сопряженных матриц, получаем

X T AX = X T AX = X T AX = X T kX = X T k X = k(X T X ), X T AX = X T AT X = (AX )T X = (kX )T X = k(X T X ).

Из этих равенств следует, что

(X T

)= k(X T

),

или

(

− k )(X T

)= 0 .

k

X

X

k

X

Можно утверждать, что X T

≠ 0 . Действительно,

X

x1

= (x

),

X T

= (x

x

...

x

)

x2

+ x

+...+ x

X

2

n

x

2

x

2

n

x

n

1

1 1

M

или

xn

X T

=

x

2

+

x

2 +... +

x

2 ,

X

2

n

1

где

xi

- модуль числа

xi

(i =1, 2, ..., n) . Поскольку X

-

ненулевой столбец,

то

X T

≠ 0 . Из равенства (

− k )(X T

)= 0

получаем

− k = 0 , или

= k , т.е. k

-

X

k

X

k

k

действительное число.

Следствие. Действительная симметрическая матрица имеет только действительные собственные векторы.

Теорема 11.10 Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Доказательство. Пусть x(x1 , x2 , ..., xn ), y(y1 , y2 , ..., yn ) - собственные

векторы симметрической матрицы A порядка n , собственные значения которых k и m различны; X , Y - соответствующие векторы-столбцы из их координат.

Найдем произведение X T AY , пользуясь ассоциативным свойством умножения матриц:

X T AY = X T (AY )= X T (mY )= mX T Y ,

X T AY = (X T A)Y = (X T AT )Y = (XA)T Y = (kX )T Y = k(X T Y ).

Из этих двух равенств следует, что
mX T Y = k(X T Y ),	или	(m − k )X T Y = 0 .

274

Так как по условию k ≠ m , т.е. (m − k )≠ 0 , то X T Y = 0 , или

x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn = 0 .

Что и означает, что векторы x и y ортогональны.

11.9 Диагонализируемость линейного оператора

Линейный оператор называется оператором простой структуры, если существует базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Оператор называется диагонализируемым, если существует базис, в котором его матрица диагональная.

Теорема 11.11 Для того, чтобы линейный оператор f был

диагонализируемым, необходимо и достаточно, чтобы он был оператором простой структуры.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица A оператора f в базисе e1 , e2 , ..., en диагональная, т.е. имеет вид:

	λ	0	...	0
	1	λ2	...	0
	0
A =		...	...	...	.
...
	0	0	...
				λn
Тогда		f (ei )= λiei			(i =		). Таким образом, ненулевой вектор ei
						1, n

удовлетворяет условию (11.19) и, следовательно, является собственным вектором оператора f с собственным значением λi .

Достаточность. Пусть e1 , e2 , ..., en - базис пространства, состоящий из

собственных векторов оператора с собственными значениями λ1, λ2 , ..., λn , т.е.
f (ei )= λiei	(i =		). Следовательно, в рассматриваемом базисе оператор f имеет
		1, n
диагональную матрицу
	λ	0	...	0
	1	λ2	...	0
	0
A =			...	...	.
... ...
	0	0	...
				λn
Что и требовалось доказать.
Квадратная			матрица A называется диагонализируемой в комплексном

пространстве, если существует невырожденная комплексная матрица T , такая,

что матрица T −1 AT диагональная.

Квадратная матрица A называется диагонализируемой в действительном пространстве, если существует невырожденная действительная матрица T ,

275

такая, что матрица T −1 AT - действительная диагональная матрица. Матрицу T

будем называть матрицей, диагонализирующей матрицу A.

Характеристические многочлены матриц A и T −1 AT совпадают, и характеристические числа диагональной матрицы равны ее диагональным элементам. Поэтому если матрица A диагонализируема, то

λ

0 ...

0

1

λ

...

0

T −1 AT =

0

2

,

... ... ... ...

0

0 ...

λn

где λ1, λ2 , ..., λn

- характеристические числа матрицы A.

Теорема 11.12 Пусть

собственные значения λ1, λ2 , ..., λs матрицы A

порядка

n ,

кратности

которых

равны

соответственно

m1, m2 , ..., ms

(m1 + m2 + ... + ms = n), попарно различны. Если

m1 = n − r1 , m2 = n − r2 , …, ms = n − rs ,

где r1, r2 , ..., rs - ранги матриц A − λ1E ,

A − λ2 E , …, A − λs E соответственно, то

матрица A диагонализируема.

Доказательство. Рассмотрим линейный оператор f :V →V с матрицей A в

некотором базисе

e1 , e2 , ..., en .

(11.21)

В этом базисе координаты x1, x2 , ..., xn

собственного вектора оператора f

с собственными значениями λi

(i =

)находятся из матричного уравнения

1, n

(A − λi E)X = 0 ,

(11.22)

где X = (x1 x2 ... xn )T .

Так

как

ранг

A − λi E

равен ri , то фундаментальная система решений

уравнения (11.22) состоит из n − ri = mi

вектор-решений. Таким образом, имеется

mi линейно независимых

собственных векторов оператора f с

собственным

значением λi . Поскольку собственные векторы с различными собственными значениями линейно независимы, то имеется

	s
n = ∑mi
	i=1
линейно независимых собственных векторов
e1′, e2′ , ..., en′		(11.23)
оператора	f , которые и составляют базис пространства V .
Так	как матрица B оператора f в базисе (11.23)	диагональная и

B =T −1 AT (T - матрица перехода от базиса (11.21) к базису (11.23)), то матрица A диагонализируема. Что и требовалось доказать.

276

Следствие Если все характеристические числа действительной матрицы действительны и попарно различны, то матрица диагонализируема в

действительном пространстве.
Например, матрица
	1	− 4	−8
	− 4	7	− 4
A =
	−8	− 4	1

имеет характеристические числа λ1 = 9 , λ2 = −9 , кратность каждого из которых равна соответственно m1 = 2 , m2 =1. Ранг r1 матрицы A − λ1E равен единице, и

n − r1 = 3 −1 = 2 = m1 . Ранг r2 матрицы A − λ2 E равен двум, и n − r2 = 3 − 2 =1 = m2 .
Таким образом,			условие теоремы 11.12 выполнено, и матрица A приводится к
диагональному виду, например
	9	0	0
	0	9	0
B =				.
	0	0	− 9

Найдем

матрицу T , удовлетворяющую условию

T −1 AT = B .

Собственными векторами матрицы

A с собственным значением λ1 = 9 будут

x(s1, − 2s1 − 2s2 , s2 ),

а

с

собственным

значением λ2 = −9

векторы

y(2t, t, 2t).

Положив s1 = 0 , s2 =1

и

s1 =1, s2 = 0 , t =1,

получим собственные векторы

x1( 0, − 2,1), x2 (1, − 2, 0 ) , x3( 2,1, 2 ) , составляющие базис. Следовательно,

0

1

2

− 2

− 2

1

T =

1

0

2

- и есть матрица, удовлетворяющая условию T −1 AT = B .

11.10 Действия над линейными операторами

Сумма линейных операторов

Суммой операторов f

и g некоторого пространства называется оператор

h такой, что для любого вектора x этого пространства выполняется

h( x ) = f( x ) + g( x ).

(11.24)

Сумму

операторов

f

и

g

будем

обозначать

f + g .

Очевидно,

f + g = g + f .

Докажем, что сумма линейных операторов является линейным

оператором. Пусть f и g	- линейные операторы некоторого пространства, т.е.
для любых двух векторов x1	, x2 этого пространства верно
f (αx1 + βx2 )=α f (x1 )+ β f (x2 ),		g(αx1 + βx2 )=α g(x1 )+ β g(x2 ),
где α и β - любые числа. Для оператора		f + g имеем

277

(f + g )(αx1 + β x2 )= h(αx1 + β x2 )

f (αx1 + βx2 )+ g(αx1 + β x2 )=

=α f (x1 )+ β f (x2 )+α g(x1 )+ β g(x2 )=

=α(f (x1 )+ g(x2 ))+ β(f (x1 )+ g(x2 ))=α h(x1 )+ β h(x2 ),

или
h(αx1 + βx2 )=α h(x1 )+ βh(x2 ).
Последнее равенство означает, что h = f + g			- линейный оператор.
Теорема 11.13 Если линейные операторы			f и	g	в некотором базисе
имеют соответственно матрицы A и B , то оператор				f	+ g	в том же базисе
имеет матрицу A + B .
Доказательство.		y + z = (f + g )x = h( x ) ,
y = f( x ),	z = g( y ),
тогда
Y = AX ,	Z = BX ,	Y + Z = CX ,
где C - матрица преобразования h в данном базисе.						Y + Z = (A + B)X .
Из первых двух матричных уравнений следует,					что

Сравнивая это уравнение с третьим уравнением, получаем C = A + B .

Произведение оператора на число

Произведением αf линейного оператора f некоторого пространства на число α называется оператор g , такой, что для любого x из этого пространства

g(x) =α(f (x)).

Произведение оператора f на число α является линейным оператором, а

матрица этого оператора (в любом базисе) равна произведению матрицы оператора f на число α .

Произведение операторов

Рассмотрим линейный оператор f , переводящий вектор x в вектор y , т.е. y = f( x ). К вектору y применим оператор g , переводящий вектор y в вектор z , т.е. z = g( y ). Так как y = f( x ), то имеем оператор z = g(f( x )), переводящий вектор x в вектор z . Таким образом z получен в результате последовательного применения операторов f и g . Оператор, заключающийся в последовательном применении операторов f и g , называется произведением оператора f на

оператор g , или композицией этих операторов, и обозначается g o f	(или просто
g f ); отметим, что справа записывается первый оператор. Таким образом,
go f( x ) = g(f( x )).	(11.25)

Докажем, что произведение линейных операторов является линейным оператором.

278

Пусть f и g - линейные операторы некоторого линейного пространства. В соответствии с определением для любых векторов x1 , x2 этого пространства

f (αx1 + βx2 )=α f (x1 )+ β f (x2 ), g(αx1 + βx2 )=α g(x1 )+ β g(x2 ),

где α и β - любые числа. Принимая во внимание формулу (11.25), получаем

go f (αx1 + βx2 )= g(f (αx1 + βx2 ))= g(α f (x1 ))+ g(β f (x2 ))= =α g(f (x1 ))+ β g(f (x2 ))=α go f (x1 )+ β go f (x2 ),

а это означает, что g o f - линейный оператор.

Теорема 11.14 Если в некотором базисе линейные операторы f и g имеют соответственно матрицы A и B , то оператор произведения g o f в том

же базисе имеет матрицу BA.
Доказательство. Пусть
y = f( x ),	z = g( y ),	z = go f( x ),
тогда
Y = AX ,	Z = BY ,	Z = CX ,
где C - матрица оператора		g o f в рассматриваемом базисе; X , Y	-	матрицы-
столбцы соответственно из координат векторов x, y .
Уравнения	Z = BY , Y = AX приводят к уравнению Z = BAX .			Сравнивая
это уравнение с уравнением Z = CX , заключаем, что C = BA.
Свойства операции умножения операторов (для любого			числа α и
любых линейный операторов f , g , h ).

1.α(fg )= (αf )g .

2.f (gh)= (fg )h .

3.(f + g )h = fh + gh .

4.f (g + h)= fg + fh

5.Умножение операторов некоммутативно, т.е., вообще говоря, fg ≠ gf .

Коммутатором линейных операторов f и g называется оператор

(f , g )= fg − gf .
Например,			даны			два линейных				оператора f и g с матрицами
соответственно:
1 0			− 2			2		−1 4
	0	1	3		;		3	0	1
A =						B =
	0	−1 2					5 2		2

в некотором базисе. Найдем матрицы C и D операторов соответственно g o f и f o g в том же базисе.

Решение. Согласно доказанной теореме

279

2			−1 4			1	0 − 2				2			− 5	1
	3		0 1			0		1 3				3		−1 − 4			,
C = BA =											=
	5		2 2			0	−1 2					5		0	0
1 0 − 2							2	−1 4			−8			− 5 0
		0	1	3			3	0 1					18		6 7
D = AB =											=					.
		0	−1 2				5	2 2					7
															4 3

Линейный оператор называется невырожденным, если его матрица невырожденная. В противном случае оператор называется вырожденным.

Теорема 11.15 Невырожденный линейный оператор является взаимно однозначным. И, обратно, всякий взаимно однозначный оператор является невырожденным.

Доказательство. Пусть f - невырожденный линейный оператор. Докажем, что для каждого вектора y* (y*1 , y*2 , ..., y*n ) существует единственный вектор x , такой, что f( x ) = y * , или

AX =Y *,	(11.26)
где A - матрица данного оператора;	X , Y * - столбцы из координат векторов x и
y* .

Так как система (11.26) – невырожденная, то она имеет единственное решение: x1* , x*2 , ..., xn* . Следовательно, вектор y* имеет единственный прообраз

x* (x*1 , x*2 , ..., x*n ).

Докажем обратное. Пусть f - взаимно однозначный линейный оператор,

имеющий	в некотором		базисе матрицу A.	Так	как	каждый	вектор
y * (y* , y* , ..., y* )		имеет	единственный прообраз	x ,	то	система	(11.26)
1 2	n

определенная. Следовательно, det A ≠ 0 , и оператор f невырожденный.

Теорема 11.16 Для того, чтобы линейный оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы он переводил ненулевой вектор в ненулевой.

Доказательство. Необходимость. Пусть данный линейный оператор f

невырожденный. Всякий линейный оператор переводит нулевой вектор в нулевой, а так как невырожденный оператор взаимно однозначен, то он переводит ненулевой вектор в ненулевой.

	Достаточность. Пусть данный линейный оператор		f с матрицей		A
переводит любой ненулевой вектор в ненулевой. Предположим, что оператор					f
вырожденный, т.е. det A ≠ 0 .		Система AX = O имеет нетривиальное		решение
x* , x* , ..., x* . Следовательно,		оператор f переводит	ненулевой	вектор
1 2	n

x* (x*1 , x*2 , ..., x*n )в нулевой, что противоречит условию.

280

Теорема 11.17 Произведение двух невырожденных линейных операторов

есть невырожденный оператор.
Доказательство. Пусть даны линейные невырожденные операторы f		и g
соответственно с матрицами A и	B в некотором базисе. Произведение	f o g
данных операторов имеет в том же базисе матрицу AB. Так как произведение
невырожденных матриц A и B есть невырожденная матрица, то оператор		f o g
является невырожденным.
11.11 Оператор, обратный данному линейному оператору
Два линейных оператора f	и ϕ называются взаимно обратными,	если
для любого x имеют место равенства
f oϕ( x ) =ϕ o f( x ) = x ,	(11.27)

т.е. f oϕ и ϕ o f - тождественные операторы.

Если справедливы равенства (11.27), то оператор f называется обратным оператору ϕ , а ϕ - обратным оператору f .

Если операторы f и ϕ имеют в некотором базисе матрицы соответственно

A и B , то из равенств (11.27) следует, что AB = BA = E , т.е. A и B - взаимно обратные матрицы.

Из сказанного выше вытекают следующие утверждения.

1.Для того чтобы линейный оператор имел обратный оператор, необходимо и достаточно, чтобы он был невырожденным.

2.Для данного линейного невырожденного оператора с матрицей A в некотором базисе существует единственный обратный оператор, причем

матрица обратного оператора равна матрице A−1 в том же базисе.

11.12 Ортогональные матрицы*

Рассмотрим евклидово n -мерное пространство En . Для любых двух векторов

x = x1 e1 + x2 e2 + ... + xn en ,	y = y1 e1 + y2 e2 + ... + yn en
в ортонормированном базисе e1 , e2 , ..., en скалярное произведение		выражается
формулой
(x, y)= x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn .		(11.28)

Матрица

* Параграф «Ортогональные матрицы» не является обязательным к изучению. Он включен в качестве повторения, т.к. знание ортогональных матриц необходимо для следующего, обязательного к изучению, параграфа.

281

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
A =	...	...	...
...
	an 2	...
an1			ann

называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов

a1(a11 , a21 , ..., an 1 )

, a2

(a12 , a22 , ..., an 2 ), …, an (a1 n , a2 n , ..., ann )

является ортонормированной.

В соответствии с формулой (11.28) получаем

(ai , a j )= ∑n

aki akj .

k =1

Векторы (11.30) будут ортонормированными, если

n

1

при

i =

j,

∑aki akj =

при

i ≠ j

k=1

0

для любых i, j

(i =1, 2, ..., n,

j =1, 2, ..., n).

Примеры ортогональных матриц:

cosα

sinα

0,8

− 0,6

1

0

,

,

.

− sinα

− 0,6

− 0,8

0

1

cosα

(11.29)

(11.30)

(11.31)

(11.32)

Отметим, что единичная матрица любого порядка является ортогональной.

Теорема 11.18 Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A выражается равенством

A T A = E ,

(11.33)

где AT - матрица, полученная из матрицы A транспонированием; E - единичная

матрица того же порядка, что и A.

A,

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица

определяемая

формулой (11.29),

ортогональна, т.е.

выполнены

условия

(11.32). Для

транспонированной

матрицы

A

T

′

по

определению

′

= (aik )

aik = aki . Найдем

произведение AT A = C = (c ).

ij

n

n

1, i =

j,

1

0

...

0

1

...

0

′

= ∑akiakj =

0

,

cij = ∑aik akj

C = E =

k =1

k =1

0, i ≠

j,

...

...

... ...

0

...

1

0

AT A = E .

Достаточность. Пусть AT A = E , тогда

n

n

1, i = j,

′

∑akiakj =

∑aik akj =

≠ j.

k=1

k=1

0, i

Это означает, что A - ортогональная матрица.

282

Следствие 1 Модуль определителя ортогональной матрицы равен 1.

Действительно, из (11.33) получаем det(AT A)= det E , det AT det A = det E , det A det A = det E , (det A)2 =1, det A = ±1, det A =1.

Следствие 2 Ортогональная матрица является невырожденной матрицей. Это следует из предыдущего утверждения.

Следствие 3 Произведение двух ортогональных матриц есть

ортогональная матрица.
Пусть A	и B - ортогональные матрицы одного порядка. Так			как
( AB)T = BT AT ,	то ( AB)T (AB)= BT AT AB = BT (AT A)B = BT EB = BT B = E ,			т.е.
( AB)T (AB)= E .	На основании (11.33)	заключаем, что	AB - ортогональная
матрица.
Следствие 4 Равенство AT = A−1		выражает необходимое и достаточное
условие ортогональности матрицы A.			то AT A = E . С другой
В самом деле, если A - ортогональная матрица,
стороны, A−1 A = E . Из этих двух равенств следует, что AT			= A−1 .
Обратно,	пусть AT = A−1 , тогда отсюда и из равенства A−1 A = E следует

AT A = E , т.е. A - ортогональная матрица.

Следствие 5 Матрица, полученная транспонированием ортогональной

матрицы – ортогональна.

(AT )T AT = AAT = AA−1 = E , или

Если

A

-

ортогональная

матрица,

то

(AT )T AT = E . В силу (11.33) это означает, что AT

- ортогональная матрица.

Следствие 6 Матрица, обратная ортогональной матрице, -

ортогональна.

AT = A−1 ,

A−1 A = E .

Если

A

-

ортогональная

матрица,

то

Далее,

(A−1 )−1 A−1 = AA−1 = E ,

или (A−1 )−1 A−1 = E .

В

силу

(11.33)

и следствия

4 это

означает, что A−1

- ортогональная матрица.

A - ортогональная

Замечание 1.

Из условия det A = ±1

не следует, что

матрица. Например,

2

3

для которой

det A =1, не

будет

матрица A =

,

1

2

ортогональной, так как AT A ≠ E .

Замечание 2. Сумма ортогональных матриц не является ортогональной матрицей.

Замечание 3. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы A можно выразить равенством AT A = E .

Теорема 11.19 Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому ортонормированному базису является ортогональной.

283

Доказательство. Пусть e1 , e2 , ..., en и e1′, e2′ , ..., en′ - два ортонормированных базиса евклидова n -мерного пространства и T = (tij ) - матрица перехода от

первого базиса ко второму, т.е. e1′ = t11 e1 + t21 e2 + ... + tn1 en ,

e2′ = t12 e1 + t22 e2 + ... + tn2 en ,

......................................

en′ = t1n e1 + t2n e2 + ... + tnn en .

Так как e1′, e2′ , ..., en′ - ортонормированный базис, т.е.

(e′, e′ )=			1, i = j, i =1, 2, ..., n,
i	j		0, i ≠ j, i =1, 2, ..., n
и (ei′, e′j )= ∑n		tki tkj ,
	k =1		i = j,
n	1,
то ∑tkitkj =
k=1	0, i ≠ j.

Это означает, что T = (tij )- ортогональная матрица.

11.13 Ортогональные операторы

Линейный оператор f евклидова пространства Ε называется ортогональным, если для любых x, y Ε выполняется условие

(x, y)= (f( x ), f( y )).

Теорема 11.20 Для того чтобы оператор f : Ε → Ε был ортогональным,

необходимо и достаточно, чтобы его матрица в ортонормированном базисе была ортогональна.

Доказательство.	Пусть A	- матрица		оператора	f : Ε → Ε	в
ортонормированном базисе; X , Y		- матрицы-столбцы из координат
соответственно векторов x, y в этом базисе. Имеем:
(x, y)= X T Y ;					(11.34)
(f( x ), f( y ))= (AX )T AY
или
(f( x ), f( y ))= X T AT AY .					(11.35)
Необходимость.	Пусть	оператор	f	ортогональный,		т.е.

(x, y)= (f( x ), f( y )). Тогда из равенств (11.34) и (11.35) имеем X T Y = X T AT AY .

Из последнего равенства следует, что AT A = E , поэтому матрица A ортогональная.

284

Достаточность. Пусть матрица A ортогональная, т.е. AT A = E . Тогда из равенств (11.34) и (11.35) имеем

(f( x ), f( y ))= X T AT AY = X T EY = X T Y =( x, y ),

и, следовательно, оператор f ортогональный.

Теорема 11.21 Для того чтобы линейный оператор евклидова пространства был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы он ортонормированный базис переводил в ортонормированный.

Доказательство. Необходимость. Пусть f - ортогональный оператор евклидова пространства, имеющий в некотором ортонормированном базисе

e1 , e2 , ..., en матрицу		A. Тогда координаты вектора ei′ = f( ei ) (i =		)
			1, n
расположены в i -м столбце матрицы A. Так как матрица A ортогональная, то
(e′, e′ )= 1, если		i = j,
i j	0, если	i ≠ j .

	Следовательно, векторы e1′, e2′ , ..., en′ образуют ортонормированный базис.
	Достаточность. Пусть преобразование f переводит ортонормированный
базис	e1 , e2 , ..., en	в базис e1′, e2′ , ..., en′ .	Тогда матрица A преобразования f		в
базисе	e1 , e2 , ..., en	является матрицей перехода от базиса		e1 , e2 , ..., en к базису
e1′, e2′ , ..., en′ . Следовательно, матрица			A ортогональная,	и преобразование	f

является ортогональным.

Замечание: из доказательства теоремы следует, что если линейный оператор переводит некоторый ортонормированный базис в ортонормированный, то этот оператор всякий ортонормированный базис переводит в ортонормированный. При этом оператор является ортогональным.

Теорема 11.19 Для того чтобы линейный оператор был ортогональным, необходимо и достаточно, чтобы он не менял длину вектора.

Доказательство. Необходимость следует из определений линейного ортогонального оператора и длины вектора.

Достаточность. Пусть линейный оператор f не меняет длину вектора. Найдем x + y 2 и f( x + y ) 2 :

x + y 2 = (x + y, x + y)= x 2 + 2( x, y ) + y 2 ;

f (x + y)2 = (f (x + y), f (x + y))= (f( x ) + f( y ), f( x ) + f( y ))= = f (x)2 + f (y)2 + 2(f( x ), f( y )) .

Из этих равенств, учитывая, что оператор f не меняет длину вектора,

имеем (x, y)= (f(x), f(y)).

285

Для ортогонального оператора справедливы следующие утверждения.

1.Ортогональный оператор – невырожденный.

2.Для ортогонального оператора существует обратный оператор, который также является ортогональным.

3.Если A - матрица ортогонального оператора, то AT - матрица оператора, обратного данному.

4.Произведение ортогональных операторов также является ортогональным оператором.

11.14 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение линейного оператора.

2Какие два оператора называются равными?

3Какой оператор называется биективным?

4Какая матрица называется матрицей линейного оператора?

5Какой оператор называется линейным однородным оператором?

6Назовите условие при котором линейный однородный оператор называется невырожденным.

7Запишите и разъясните формулу, связывающую матрицы линейного оператора в разных базисах.

8Как связаны между собой ранги матриц одного и того же линейного оператора в разных базисах?

9При выполнении какого условия две квадратные матрицы будут являться матрицами одного и того же линейного оператора?

10Сформулируйте определение ядра линейного оператора, образа линейного оператора (обозначения).

11 Как характеризуется ядро оператора f :V →V , если из условия x1 ≠ x2 следует, что f (x1) ≠ f (x2 ) ?

12Сформулируйте определение ранга оператора, дефекта оператора (обозначение).

13Сформулируйте и докажите теорему о численном значении ранга и дефекта оператора.

14Дайте определение характеристического многочлена и характеристического уравнения линейного оператора.

15Какой вектор называется собственным вектором линейного

оператора?

16Что значит собственное значение вектора?

17Сформулируйте и докажите свойства собственных векторов и собственных значений.

18Какая матрица называется симметрической?

19Сформулируйте и докажите теорему о собственных векторах действительной симметрической матрицы соответствующих различным собственным значениям.

286

20 Какой линейный оператор называется оператором простой структуры?

21Что значит диагонализируемый оператор?

22Докажите необходимое и достаточное условия диагонализируемости линейного оператора.

23Какая матрица называется диагонализирующей заданную матрицу?

24Сформулируйте и докажите теорему-условие диагонализируемости

матрицы.

25Что называется произведением линейных операторов?

26Докажите, что произведение линейных операторов является линейным оператором.

27Сформулируйте и докажите теорему о матрице произведения линейных операторов.

28Сформулируйте определение суммы линейных операторов.

29Докажите, что сумма линейных операторов является линейным оператором.

30Сформулируйте и докажите теорему о матрице суммы линейных операторов.

31Какой линейный оператор называется невырожденным (вырожденным)?

32Докажите теорему о биективности невырожденного линейного

оператора.

33Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия невырожденности оператора.

34Сформулируйте и докажите теорему о произведении двух невырожденных операторов.

35Какие два линейных оператора называются взаимнообратными?

36Как найти матрицу оператора, обратного данному?

37Какой оператор называется ортогональным?

38Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия ортогональности линейного оператор (на основе матрицы).

39Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия ортогональности линейного оператор (на основе базиса).

40Сформулируйте и докажите необходимое и достаточное условия ортогональности линейного оператор (на основе длины вектора).

287