Глава 5 Системы линейных уравнений

5.1 Системы линейных уравнений. Основные понятия

Напомним, что уравнение называется линейным, если все входящие в него переменные в первой степени. Система, состоящая из линейных уравнений называется системой линейных уравнений.

Пусть дана система линейных уравнений

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= b ,

11

1

12

1n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn

= b2

,

(5.1)

........................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= b .

m1 1

m

Первый индекс у коэффициента aij

означает номер уравнения, второй – номер

неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты b1, b2 , ..., bm

называются свободными членами уравнений системы. Если свободные члены равны нулю, система называется однородной, в противном случае –

неоднородной.

Коэффициенты при неизвестных составляют прямоугольную таблицу

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		,	(5.2)
A =	...	...	...
...
	am2	...
am1			amn

называемую матрицей системы.

Матрица

a11

~ = a21

A ...

am1

a		...	a			b
	12			1n		1
a22		...	a2n			b2		(5.3)
...		... ...				...
a	m2	...	a	mn		b
						m

называется расширенной матрицей системы (5.1).

Решением системы (5.1) называется любой упорядоченный набор (x1, x2 , ..., xn ) из n чисел, при подстановке которых в уравнения системы вместо

соответствующих неизвестных каждое уравнение системы превращается в тождество. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной, или противоречивой. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется

совместной.

Совместные системы подразделяют на определенные, обладающие единственным решением, и неопределенные, обладающие множеством решений. Однородная система всегда совместна, так как имеет по крайней мере нулевое решение x1 =x2 = ... =xn = 0 .

110

Решить систему означает найти все ее решения или доказать, что таковых не имеется.

Выражения (формулы), содержащие неизвестные x1, x2 , ..., xn и некоторый

набор произвольных постоянных, из которых при соответствующем выборе значений произвольных постоянных можно получить любое конкретное решение системы, называют общим решением системы, а любое конкретное решение системы – ее частным решением. Две системы с одними и теми же неизвестными эквивалентны (равносильны), если каждое решение одной из них является решением другой или обе системы несовместны.

Элементарными преобразованиями системы будем считать следующие:

1)умножение обеих частей какого-либо уравнения на число, отличное от

нуля;

2)почленное сложение одного уравнения с другим, умноженным на некоторое число;

3)перестановка уравнений;

4) вычеркивание уравнений вида 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = 0 , т.е. тождеств 0 = 0

5)перестановка неизвестных в системе уравнений.

В результате элементарных преобразований система преобразуется в ей эквивалентную. Общий способ отыскания решений обычно основывается на последовательном переходе с помощью элементарных преобразований от данной системы к такой эквивалентной системе, для которой решение находится просто.

Поскольку при решении систем уравнений «работают» только с коэффициентами при неизвестных, то очевидно, что преобразование заданной системы к ей эквивалентной можно заменить переходом от расширенной матрицы системы к ей эквивалентной. При этом элементарные преобразования системы заменяются соответственно элементарными преобразованиями матрицы, с той лишь разницей, что в матрице элементарные преобразования уместны только для строк.

Особенно подчеркнем, каждое уравнение системы соответствует определенной строке ее расширенной матрицы, поэтому элементарные преобразования матрицы, приводящие ее к эквивалентной подразумевают преобразования только над ее строками (но ни в коем случае над столбцами). Таким образом, матрица системы линейных уравнений преобразуется в эквивалентную при следующих преобразованиях:

1)умножение строки на любое число;

2)прибавление к одной строке матрицы другой строки, умноженной на некоторое число;

3)перестановку любых строк местами;

4)вычеркивание строки, состоящей из одних нулей.

Систему линейных уравнений можно решить различными методами (способами).

Рассмотрим методом последовательного исключения неизвестных – метод Гаусса.

111

5.2 Метод Гаусса

Метод Гаусса заключается в том, что в результате преобразований система вида (5.1) преобразуется к виду

a′		x	+ a′	x	2	+... + a′	x	n	= b′	,
	11	1	12			1n			1
			′			′			′	,
			a22 x2		+... + a2n xn				= b2		(5.4)
						.................
						′			′
						ann xn	= bn ,

или, что все равно, (5.3) – расширенная матрица системы приводится к

треугольному виду

a′		a′	...	a′		b′
	11	12		1n		1
	0	′	...	′		′
		a21		a2n		b2		(5.5)
B =			... ...			...	.
... ...
	0	0	...	′		′
				amn		bn

Далее, используя (5.5) восстанавливают уравнения системы и, начиная с последней строки, последовательно находят неизвестные (из последней строки xn , из предпоследней xn −1 и т.д.).

Например, решим методом Гаусса систему линейных уравнений

x1 − 2x2 + 4x3 = 3,3x1 − x2 + 5x3 = 2,2x1 + x2 + x3 = −1,

2x1 − 4x2 + 3x3 = 1.

Решение. Оставляя в расширенной матрице системы

	1	− 2	4		3
	3	−1	5		2
	2	1	1		−1
	2	− 4	3		1

первую строку без изменения и вычитая утроенную первую строку из второй, удвоенную первую строку из третьей и четвертой, преобразуем матрицу к матрице ей эквивалентной:

	1	− 2	4		3
	0	5	− 7		− 7
	0	5	− 7		− 7	.
	0	0	− 5		− 5

Вычитая в этой матрице вторую строку из третьей и оставляя другие строки без изменения, получаем

112

	1	− 2	4		3
	0	5	− 7		− 7
	0	0	0		0	.
	0	0	− 5		− 5

Вычеркивая бесполезную (нулевую) третью строку, приходим к матрице

	1	− 2	4		3
	0	5	− 7		− 7		,
	0	0	− 5		− 5

которая соответствует следующей системе линейных уравнений

	x	− 2x	2	+ 4x = 3,
	1			3
		5x2 − 7x3 = −7,
				− 5x3 =− 5.

Из последнего уравнения системы находим x3 :

− 5x3 = −5,

x3 =1.

Теперь, используя второе уравнение, находим x2 :

5x2 − 7x3 = −7 , 5x2 = −7 + 7 1,

5x2 = 0 , x2 = 0 .

И, наконец, из первого уравнения имеем

x1 − 2x2 + 4x3 = 3, x1 = 3 + 2 0 − 4 1, x1 = −1.

Итак, исходная система совместна и определена, т.е. имеет единственное решение.

Ответ. {(−1; 0; 1)}.

Проверкой можно убедиться в верности найденного решения.

Если в результате преобразований расширенной матрицы системы количество строк стало меньше количества переменных, то говорят, что матрица приведена к трапециевидной форме. В этом случае система совместна и неопределенна, т.е. имеет бесконечное множество решений.

Например, методом Гаусса решим систему уравнений

x1 + 2x2 + 3x3 = 4,2x1 + x2 − x3 = 3,3x1 +3x2 − x3 = 7.

113

Решение. Элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы дают следующую цепочку эквивалентных матриц:

1			2 3					4					1	2 3		4			1		2	3		4		1 2 3				4
	2		1	−		1		3			~		0	−3 −7		−5		~		0	−3	−7		−5
																										~				.
																											0	−3 −7		−5
	3		3 2					7					0	−3 −7		−5				0	0 0			0
Последняя матрица этой цепочки соответствует системе
x			+ 2x		2	+ 3x				3	=		4,
		1
			− 3x2 − 7x3 = −5.

Таким образом, условий (т.е. уравнений) осталось меньше, чем переменных. В этом случае полагаем любую из переменных равной некоторому произвольному постоянному и находим общее решение исходной системы. Итак, пусть x3 = c , c − const , тогда из последнего (второго) уравнения, имеем

−3x2 − 7c = −5 ,

−3x2 = −5 + 7c ,

x2 = −73 c + 53 .

Аналогично, из первого уравнения находим x1 :

x1 + 2x2 + 3x3 = 4 ,
x1	= 4 −		7	c +	5	− 3	c ,
		2 −	3
					3
x = 4 + 14 c −10					− 3c ,
1		3		3
x	= 5 c − 2 .
1	3	3

Итак, вывод – система совместна и неопределенна.

1				1
			(5c − 2);		(− 7c + 5); c c − const		- общее решение.
				3
3

Для отыскания любого частного решения зададим с конкретное значение.

						2	;	5
Например, при с = 0 получаем −						3		3	; 0 - одно из частных решений.
Если в процессе преобразований в матрице системы появилась строчка
(0 0 ...	0		b), которая соответствует уравнению 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 xn = b не
имеющему решений, то очевидно, что система несовместна.
Например, методом Гаусса решим систему уравнений
	x + 2x			2	+ 3x = 4,
	1				3
2x1 +4x2 + 6x3 = 3,

3x1 + x2 − x3 =1.

114

Решение. Если в расширенной матрице системы

	1	2	3		4
	2	4	6		3
	3	1	−1		1

первую строку оставить без изменения, удвоенную первую строку вычесть из второй, утроенную первую строку вычесть из третьей, то получим матрицу

	1	2	3		4
	0	0	0		− 5
								.
	0	− 5	−10		−11
Строка			(0 0		0		− 5) соответствует уравнению 0 x1 + 0 x2 + 0 x3 = −5 .

Наличие такого уравнения указывает на несовместность рассматриваемой системы.

Ответ. Решений система не имеет.

Для повышения эффективности и устойчивости метода Гаусса его модифицируют различными способами. Например, часто применяют схему, в которой на каждом шаге прямого хода ведущий коэффициент выбирают наибольшим по модулю среди коэффициентов при неизвестных в выбранном уравнении или в подсистеме, с которой работают на данном этапе.

При решении систем «вручную» методом Гаусса, чтобы избежать сложных вычислений, иногда в промежутках между шагами прямого хода метода Гаусса или до его начала целесообразно проделывать дополнительные элементарные преобразования над некоторыми уравнениями системы. Например, при решении «вручную» системы

5x1 + 9x2 +13x3 =1,6x1 + 5x2 −10x3 = 3,

2x1 + 4x2 + 3x3 = 2

целесообразно сначала из первого уравнения системы вычесть удвоенное третье, а остальные оставить без изменения. Тогда получим систему

x1 + x2 + 7x3 = −3,

6x1 + 5x2 −10x3 = 3,

2x1 + 4x2 + 3x3 = 2,

в которой метод Гаусса проводится уже легко. Дальнейшие преобразования совершаются уже над матрицами.

В заключение отметим, что метод Гаусса и его модификации находят самое широкое применение в вычислительной практике. Для его реализации на ЭВМ можно использовать стандартные программы, которые включены практически в любой пакет программ для решения математических задач.

115

5.3 Решение невырожденных систем линейных уравнений. Формулы (теорема) Крамера

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

a x

+ a x

2

+... + a

x

n

= b ,

11 1

12

1n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2 ,

........................................

a

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

= b

n1 1

n

и числовыми коэффициентами.

Обозначим через ∆ - определитель матрицы этой системы. Предполагаем,

что

		a11	a12	...	a1n
	∆ =	a21	a22	...	a2n	≠ 0 .
		... ... ... ...
		an1	an2	...	ann
	Сначала		допустим, что уравнение имеет решение и, что x1, x2 , ..., xn

составляют решение, так что уравнения уже превратились в верные равенства. Обозначим через Aij алгебраические дополнения элементов aij в ∆.

Умножим первое из равенств системы на A11 , второе на A21 , …, n -е на An1 и сложим. Получим

(a11 A11 + a21 A21 + ... + an1 An1 )x1 + (a12 A11 + a22 A21 + ... + an2 An1 )x2 + ... + + (a1n A11 + a2n A21 + ... + ann An1 )xn = b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 .

Коэффициент при x1 есть определитель ∆, представленный в разложении по элементам первого столбца. Коэффициенты же при x2 , ..., xn все равны нулю,

так как они суть суммы произведений алгебраических дополнений элементов первого столбца на элементы других столбцов. Таким образом, мы пришли к равенству

∆ x1 = b1 A11 + b2 A21 + ... + bn An1 .

Аналогично, умножив исходные равенства на алгебраические дополнения второго столбца, получим

∆x2 = b1 A12 + b2 A22 + ... + bn An2

ит.д. Из этих равенств получаем

x1 = ∆1 (b1 A11 + b2 A21 +... + bn An1 ),

x2 = ∆1 (b1 A12 + b2 A22 +... + bn An2 ),

……………………………………

xn = ∆1 (b1 A1n + b2 A2n +... + bn Ann ).

116

Тем самым мы показали, что если решение существует, то оно единственно и задается формулами, которые мы установили.

Теперь нужно доказать, что решение существует, т.е. что формулы для x1, x2 , ..., xn действительно дают решение.

Имеем	+ ... + a1n xn = b1(a11 A11 + a12 A12 + ... + a1n A1n )+
a11x1 + a12 x2
+ b2 (a11 A21 + a12 A22	+ ... + a1n A2n )+ ... + bn (a11 An1 + a12 An2 + ... + a1n Ann ).

Здесь коэффициент при b1 равен ∆ в форме разложения по элементам первой строки, коэффициенты же при b2 ,..., bn равны нулю как суммы элементов

первой строки на алгебраические дополнения других строк.

Аналогичным образом, с использованием тех же свойств определителя, проверяется, что найденные x1, x2 , ..., xn удовлетворяют и всем остальным

уравнениям.

Тем самым мы доказали теорему о существовании и единственности решения системы n линейных уравнений с n неизвестными с ненулевым

определителем матрицы коэффициентов. Эта теорема носит название теоремы Крамера.

Формулы для решения можно преобразовать, учитывая, что

b1

a12 ...

a1n

b A

+ b A

+... + b A

=

b2

a22 ...

a2n

,

1

11

2 12

n

1n

... ... ... ...

bn

an2 ...

ann

и аналогично преобразовать остальные числители. Получим

x

=

∆1 ,

x

= ∆2 ,

…,

x

n

= ∆n ,

(5.6)

1

∆

2

∆

∆

где ∆i есть определитель, матрица которого отличается от матрицы определителя ∆ только i -ым столбцом, в который помещены b1, b2 ,..., bn . Эти формулы носят

название формул Крамера. В предыдущей главе мы их получили для n = 2 и n =3 .

Например, решить систему

x1 + x2 + x3 + x4 = 5,
	x	+ 2x		2	− x	+	4x	4		= −2,
	1				3
2x		− 3x		2	− x	−	5x	4		= −2,
	1				3
3x		+ x	2		+ 2x	+11x			4	= 0
	1				3

используя формулы Крамера.

Решение. Очевидно, что для этого нам необходимо вычислить пять определителей четвертого порядка:

117

	1	1	1	1
∆ =	1	2	−1	4	= −142 ≠ 0 ,
	2	− 3	−1	− 5
	3	1	2	11

		5				1	1		1													1	5	1			1
∆ =			− 2			2	−1		4				= −142			,	∆		=			1	− 2	−1			4			= −284 ,
1			− 2 − 3 −1 − 5															2				2	− 2 −1 − 5
		0				1	2		11													3	0	2		11
				1	1		5		1													1	1	1			5
∆3 =				1	2		− 2		4		= −426				,		∆4 =					1	2	−1	− 2					=142,
				2	− 3 − 2 − 5																	2	− 3 −1 − 2
				3	1		0		11													3	1	2			0
затем по формулам Крамера находим решение заданной системы
x =	∆1				=1,		x		= ∆2					= 2 ,			x =			∆3 = 3 ,					x		=			∆4 = −1.
1		∆						2			∆						3					∆				4				∆

Некоторые следствия из теоремы Крамера

Следствие 1 Если известно, что система n линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, то определитель матрицы системы равен нулю.

Действительно, если бы определитель был отличен от нуля, то система имела бы решение.

Следствие 2 Если система n линейных уравнений с n неизвестными имеет более чем одно решение, то определитель матрицы из ее коэффициентов равен нулю.

Действительно, иначе система имела бы единственное решение. Поскольку однородная система всегда имеет решение ( x1 =x2 = ... =xn = 0 ),

то для однородных систем представляет интерес вопрос о том, является ли нулевое решение единственным или кроме него существуют другие, нетривиальные, решения.

Следствие 3 Для того чтобы система n линейных однородных уравнений с n неизвестными имела нетривиальные решения, необходимо, чтобы определитель матрицы из ее коэффициентов был равен нулю.

Действительно, если хотя бы одно нетривиальное решение имеется, то система имеет более чем одно решение, так как нулевое всегда есть. Следовательно, определитель матрицы из коэффициентов системы равен нулю.

118

5.4 Решение систем линейных уравнений матричным способом

Для того чтобы решить систему n линейных уравнений с n неизвестными

a

x

+ a

x

2

+ ... + a

x

n

= b ,

11

1

12

1n

1

a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ,

(5.7)

........................................

a

n1

x

+ a

n2

x

2

+ ... + a

nn

x

n

= b

1

n

уравнением. Составим A -

матричным способом, представим ее матричным

квадратную матрицу системы,

X - матрицу-столбец,

состоящую из неизвестных

и B - матрицу-столбец из n свободных членов:

a

a

...

a

x

b

11

12

...

1n

1

1

a21

a22

a2n

,

x2

,

b2

A =

... ...

X =

B =

M

.

... ...

M

a

n1

a

n2

...

a

nn

x

n

b

n

Так как матрица A согласована с матрицей X , то можно найти произведение AX :

AX =

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn

........................................

an1x1 + an2 x2 + ... + ann xn

=b1

=b2 .

=bn

Элементами полученной матрицы-столбца являются левые части уравнений системы (5.7). Таким образом, на основании определения равенства

матриц систему (5.7) можно записать в виде матричного уравнения
AX = B .	(5.8)

Эта запись называется матричной.

Следовательно, задача решения системы линейных уравнений (5.7) сводится к решению матричного уравнения (5.8). О решении матричных уравнений мы с вами уже говорили в предыдущей главе. Здесь же разберем метод матричного решения систем линейных уравнений на примере.

Пусть требуется решить матричным способом систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными

3x		+ 5x	2	− 2x = 1,
	1			3
	x1 − 3x2 + 2x3 = 2,
		+ 7x2		− 3x3 = −1.
6x1

Решение. Матрица (квадратная) системы имеет вид

	3	5	− 2
	1	− 3	2
A =				.
	6	7	− 3

Она невырожденная, так как

119

det A =					3		5	− 2
					1		− 3		2		=10 ≠ 0 .
					6		7	− 3
Следовательно, матрица A имеет обратную. Обратная матрица
		1				− 5		1	4
A−1	=						15	3			−8
		10
							25	9	−14

(процесс нахождения обратной матрицы мы опускаем). Решим теперь матричное уравнение нашей системы в общем виде:

AX = B A−1 AX = A−1B X = A−1B .

Далее в полученное уравнение подставляем матрицы X , A−1 , B , имеем:

x		− 0,5		0,1	0,4			1
1			1,5	0,3	− 0,8			2
x2		=
x			2,5	0,9	−1,4			−1
3

откуда

x1 = −0,5 1 + 0,1 2 + 0,4 (−1) , x2 =1,5 1 + 0,3 2 − 0,8 (−1) , x3 = 2,5 1 + 0,9 2 −1,4 (−1) .

Следовательно, x1 = −0,7 , x2 = 2,9 , x3 = 5,7 .

5.5 Критерий совместности системы линейных уравнений

Теорема 5.1 (Кронекера-Капелли) Для совместности системы линейных уравнений необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы.

Доказательство. Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными

a x

+ a x

2

+... + a

x

n

= b ,

11 1

12

1n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn

= b2

,

(5.9)

........................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= b .

m1 1

m

Запишем исходную систему в виде

a11

aM21 x1am1

a12

+a22

amM2

x2

a1n

+... + a2namnM

xn

b1

=bM2bm

. (5.10)

Необходимость. Пусть система совместна. Докажем, что ранг матрицы

120

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
A =	...	...	...
...
	am2	...
am1			amn

равен рангу расширенной матрицы

	a		a		...	a			b
		11		12			1n		1
~	a21		a22		...	a2n			b2		,
A =			...		... ...				...
	...
	a	m1	a	m2	...	a	mn		b
									m

т.е. что rA = r~ .

A

Так как система совместна, то имеется совокупность чисел c1, c2 , ..., cn , такая, что

a

a

a

b

11

12

1n

1

a21

c

+

a22

c

2

+... +

a2n c

n

=

b2

,

M

1

M

M

M

a

m1

a

m2

a

b

mn

m

т.е. последний столбец матрицы					~		является линейной комбинацией остальных ее
						A
столбцов.	Вычитая из		последнего столбца матрицы					~	указанную линейную
								A
комбинацию остальных столбцов, получаем матрицу
	a	a	...	a		0
	11	12		1n
~	a21	a22	...	a2n		0
A1	=	...	... ...			...	.
	...
		am2	...	amn		0
	am1

Что и доказывает, что ранг матрицы

~

~

A1

равен рангу матрицы A и рангу

матрицы A.

= rA = r . Докажем, что система совместна. Так

Достаточность. Пусть rA

как rA = rA ,

то

существует

~

являющийся

базисным минором как

минор M ,

~

~

матрицы

A,

так

и

матрицы

A . На основании теоремы о базисном миноре

последний

столбец

матрицы

~

является

линейной

комбинацией базисных

A

столбцов, а, следовательно,

и всех столбцов

матрицы A. Это значит, что

существуют числа α1, α2 , ..., αn , такие, что

b

a

a

a

1

11

12

1n

b2

a21

a22

a2n

M

=

M

α1 +

M

α2 + ... +

M

αn .

b

a

m1

a

m2

a

m

mn

121

Сравнивая последнее равенство с равенством (5.10), заключаем, что (α1; α2 ; ...; αn ) является решением системы (5.9). Таким образом, система (5.9)

совместна, что и требовалось доказать.

Теорема 5.2 Если ранг матрицы совместной системы равен числу

неизвестных, то система имеет единственное решение.	rA = rA = n . Тогда
Доказательство. Пусть система (5.9) совместна и
	~

существует минор M , который является базисным как для матрицы A, так и для

~ ~

A . Так как каждая не базисная строка матрицы A - это линейная комбинация ее базисных строк, то система (5.9) эквивалентна системе, состоящей из тех n уравнений этой системы, коэффициенты при неизвестных в которых образуют базисный минор M . Последняя система есть невырожденная система n уравнений с n неизвестными и имеет единственное решение. Следовательно, и данная система имеет единственное решение.

Теорема 5.3 Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных, то множество решений системы бесконечно.

Доказательство. Пусть	система	(5.9)	совместна и	rA = rA = r < n .
			~	~
Обозначим через M базисный минор матриц A и
			A . Для простоты обозначений
предположим, что базисный	минор M	расположен в левом		верхнем углу

матрицы A. В противном случае можно изменить нумерацию неизвестных и

a11 ... a1r

порядок уравнений в системе. Таким образом, M = ... ... ... .

ar1 ... arr

~

Так как каждая небазисная строка матрицы A является линейной комбинацией ее базисных строк, то данная система эквивалентна системе

a x

+... + a

x

r

+ a

x

r+1

+... + a

x

n

= b ,

11 1

1r

1r+1

1n

1

..........................................................

a

x

+... + a

rr

x

r

+ a

rr+1

x

r+1

+... + a

rn

x

n

= b

r1 1

r

или

a x

+... + a

x

= b

− a

x

−... − a

x

,

11 1

1r

r

1

1r +1

r+1

1n

n

(5.11)

..........

....................

..........

..........

........

a

x

+... + a

rr

x

r

= b

− a

r r+1

x

r +1

−... − a

rn

x

n

,

r1 1

r

состоящей из первых r

уравнений системы (5.9). Придав неизвестным

системы

(5.11) произвольные значения соответственно cr +1, ..., cn ,

систему r уравнений с r неизвестными:

a x

+... + a

x

= b

− a

c

−... − a

c

,

11 1

1r

r

1

1r +1

r +1

1n

n

..........................................................

a

x

+... + a

rr

x

r

= b

− a

r r +1

c

r +1

−... − a

rn

c

n

.

r1 1

r

xr +1, ..., xr

получим

(5.12)

122

Определитель	этой	системы	∆ = M ≠ 0 ,		следовательно,		при
фиксированных cr +1, ..., cn система (5.12)			имеет	решение		x1 = c1 , x2 = c2 ,	…,
xr = cr . Очевидно, что	(c1; c2 ; ...; cr ; cr +1; ...; cn )			является		решением системы
(5.11). Так как числа cr +1, ..., cn		могут быть взяты произвольно, то множество

решений системы (5.10), а, следовательно, и системы (5.9) бесконечно. Следствия теорем 5.2 и 5.3:

1.Если система имеет единственное решение, то ранг матрицы системы равен числу неизвестных.

2.Если множество решений системы бесконечно, то ранг матрицы системы меньше числа неизвестных.

5.6 Базисные неизвестные системы линейных уравнений. Способ решения неопределенной системы

Базисными неизвестными совместной системы, ранг матрицы которой равен r , назовем r неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные назовем свободными.

Так как базисный минор может быть выбран не единственным образом, то и совокупность базисных неизвестных может быть выбрана не единственным образом.

В доказательстве теоремы 5.3 содержится способ нахождения решений

неопределенной системы ( rA = r~ = r < n ), состоящий в том, что систему (5.9)

A

заменяют эквивалентной системой (5.11). Решение системы находят, придавая свободным неизвестным произвольные значения и выражая значения базисных неизвестных из системы (5.11). Этим способом можно получить любое решение неопределенной системы. (Утверждение примем без доказательства.)

Итак, метод решения неопределенной системы линейных уравнений

состоит в следующем:		матрицы системы и rA	- ранг	расширенной
1.	Находят rA - ранг
		~
матрицы. Если rA ≠ rA , то система несовместна.
2.	~	то выделяют базисный	минор	и базисные
	Если rA = rA = r ,
	~

неизвестные.

3.Данную систему заменяют равносильной ей системой, состоящей из тех r уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.

4.Если число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера.

5.Если число базисных неизвестных меньше числа неизвестных системы, то из системы находят выражение базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечно много частных решений системы.

123

Например, решим систему линейных уравнений

3x1 − x2 + x3 = 6,
	x		− 5x			2	+	x	3		=12,
	1
				+ 4x2						= −6,
2x1
2x			+		x	2	+	3x		=				3,
	1							3
5x			+				4x		= 9.
	1							3
Решение. 1. Найдем ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы
		3 −1							1						3		−1 1		6
			1		− 5				1							1	− 5 1		12
														~
A =			2				4		0				;			2	4 0		− 6		.
														A =
							1										1 3
		2							3						2				3
			5				0	−	4							5	0 4		9
Получим rA								= rA =						3. Следовательно, система совместна.
									~
2. В качестве базисного минора можно взять, например, минор
M =				1	− 5			1
				2			4	0	,
				2			1	3
так как	M ≠ 0				и его порядок равен												rA = 3. Базисными неизвестными при этом

являются x1, x2 , x3 .

3. Таким образом, данная система равносильна системе

	x	− 5x	2	+	x	=12,
	1				3
2x1 + 4x2						= −6,
2x		+ x	2	+ 3x		= 3.
	1				3

4. Число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, и следовательно, система имеет единственное решение. Предлагаем читателю решить эту систему, используя метод Гаусса или правило Крамера, самостоятельно и получить решение системы: x1 =1, x2 = −2 , x3 =1.

Приведем еще пример решения неоднородной системы линейных уравнений

x1 + 2x2 − 3x3 + 4x4 = 7,2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2,

5x1 +10x2 + 7x3 + 2x4 =11.

124

Решение.
1. Найдем ранги матриц
1		2	− 3 4			~	1 2			− 3 4			7
	2 4		5		;			2	4	5	−1
A =				−1		A =							2 .
	5	10	7	2				5	10	7	2		11

Получим rA = r~ = 2 . Следовательно, система совместна.

A

2. В качестве базисного минора можно взять, например, минор

M = 24 −53 ,

так как

M ≠ 0

и

его

порядок

равен

rA = 2 .

При

таком

выборе минора M

базисными неизвестными являются x2 ,

x3 , свободными - x1 , x4 .

3. Данная система равносильна системе

x + 2x

− 3x

+ 4x

= 7,

или

2x

− 3x

= 7 − x − 4x

,

1

2

3

4

2

3

1

4

2x1 + 4x2 + 5x3 − x4 = 2

4x2 + 5x3 = 2 − 2x1 + x4 .

4.По формулам Крамера находим:

						7 − x1 − 4x2						− 3
						2	− 2x1			+ x4		5						41 −11x −	17x
x2 =																	=	1		4	,
									2	− 3								22
									4	5
				2			7 − x1 − 4x4
x		=		4 2 − 2x1							+ x4			= − 24 +18x4 .
3								2		− 3								22
								4		5

Следовательно, множество решений имеет вид

			41 −11c	−17c	2		9c	2	−12
c		;	1			;				; c	2		, c	, c	2	R		.
	1		22					11					1

При вычислении рангов rA и r~ удобно использовать метод окаймляющих

A

миноров, так как при этом сразу находится и базисный минор. Удобно использовать также элементарные преобразования только над строками матрицы

~

A , приводя ее к трапециевидной форме.

5.7 Системы линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений

Применим результаты предыдущего параграфа к случаю системы линейных однородных уравнений:

125

a

x

+ a

x

2

+ ...

+ a

x

n

11

1

12

1n

a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn

........................................

a

n1

x

+ a

n2

x

2

+ ...

+ a

nn

x

n

1

= 0,

= 0,

(5.13)

= 0.

Из теоремы Кронекера-Капелли вытекает, что эта система всегда совместна, так как добавление столбца из нулей не может изменить ранга матрицы. Это, впрочем, видно и непосредственно – система (5.13) заведомо обладает нулевым решением (0, 0, ...,0).

Пусть матрица А из коэффициентов системы (5.13) имеет ранг r .

Если r = n , то нулевое решение будет единственным решением системы (5.13); при r < n система обладает также решениями, отличными от нулевого,

и для разыскания всех этих решений применяется тот же прием, как выше в случае произвольной системы уравнений.

Вчастности, система п линейных однородных уравнений с п неизвестными тогда и только тогда обладает решениями, отличными от нулевого, если определитель этой системы равен нулю.

Всамом деле, равенство нулю этого определителя равносильно утверждению, что ранг матрицы А меньше п. С другой стороны, если в системе однородных уравнений число уравнений меньше числа неизвестных, то система обязательно обладает решениями, отличными от нулевого, так как ранг в этом

случае не может быть равным числу неизвестных.

Рассмотрим, в частности, случай системы, состоящей из n −1 однородных уравнений относительно п неизвестных, причем предположим, что левые части этих уравнений между собой линейно независимы. Пусть

	a		a		...	a
		11		12			1n
	a21		a22		...	a2n
A =		...		...	...		...
			a		...	a
a		n −11		n −12
							n −1n

- матрица из коэффициентов этой системы; через M i обозначим минор ( n −1)-го

порядка, получающийся после вычеркивания	из матрицы А ее i-гo столбца,
i =1,2, ..., n . Тогда одним из решений нашей системы будет система чисел
M1, − M 2 , M 3 , − M 4 , ..., (−1)n −1 M n	(5.14)

а всякое другое решение ему пропорционально.

Доказательство. Так как, по условию, ранг матрицы А равен n −1, то один из миноров M i должен быть отличным от нуля; пусть это будет Мп. Полагаем в

нашей системе неизвестное хп свободным и переносим его в правую часть каждого из уравнений, после чего получим

126

a x

+ a x

2

+ ... + a

x

n−1

= −a

x

n

,

11 1

12

1 n−1

1n

a21x1 + a22 x2 + ... + a2 n−1xn−1 = −a2n xn ,

,

............................................................

a

x

+ a

n

−1 2

x

2

+ ... + a

n−1 n

−1

x

n−1

= −a

n−1n

x

n

.

n−1 1 1

Применяя затем правило Крамера, мы получим общее решение заданной системы уравнений, которому после несложных преобразований можно придать вид

x = (−1)n −i

M i

x

n

, i =1,2, ..., n −1.

(5.15)

i

M n

Положив x

n

= (−1)n −1 M

n

мы получим:

x = (−1)2n −i −1 M

i

, i =1, 2, ..., n −1,

i

или, так как

разность

(2n − i −1) − (i −1) = 2n − 2i есть

четное число,

xi = (−1)i −1 M i , т. е. система чисел (5.15) действительно будет решением нашей

системы уравнений. Любое другое решение этой системы получается из формул (5.15) при другом числовом значении неизвестного xn и поэтому оно

пропорционально решению (5.15). Понятно, что рассматриваемое утверждение справедливо и в том случае, когда M n = 0 , но один из миноров M i , 1 ≤ i ≤ n −1

отличен от нуля.

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если вектор β = (b1, b2 , ..., bn ) является решением системы (5.13), то при любом числе k векторkβ = (kb1, kb2 , ..., kbn ) также будет решением этой

системы, что проверяется непосредственной подстановкой в любое из уравнений
(5.13).
2. Если вектор γ = (c1, c2 , ..., cn ) - еще одно решение системы (5.13), то
для этой системы служит решением и вектор β + γ = (b1 + c1, b2 + c2 , ..., bn + cn ):
Действительно:
n	n	n
∑aij (b j + c j )=	∑aijb j	+ ∑aij c j = 0 , i =1, 2, ..., s .
j =1	j =1	j =1

Поэтому вообще всякая линейная комбинация решений однородной системы (5.13) будет сама решением этой системы.

Заметим, что в случае неоднородной системы, т. е. системы линейных уравнений, свободные члены которых не все равны нулю, соответствующее утверждение не имеет места: ни сумма двух решений системы неоднородных уравнений, ни произведение решения этой системы на число не будут уже служить решениями для этой системы.

Мы знаем, что всякая система n -мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, будет линейно зависимой. Отсюда следует, что из числа решений однородной системы (5.13), являющихся, как мы знаем, n -мерными векторами, можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему, максимальную в том смысле, что всякое другое решение системы (5.13) будет

127

линейной комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему. Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (5.13) называется ее фундаментальной системой решений.

Еще раз подчеркнем, что п-мерный вектор тогда и только тогда будет решением системы (5.13), если он является линейной комбинацией векторов, составляющих данную фундаментальную систему.

Понятно, что фундаментальная система будет существовать лишь в том случае, если система (5.13) обладает ненулевыми решениями, т. е. если ранг ее матрицы из коэффициентов меньше числа неизвестных. При этом система (5.13) может обладать многими различными фундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны, между собой, так как каждый вектор всякой из этих систем линейно выражается через любую другую систему, и поэтому системы состоят из одного и того же числа решений.

Теорема 5.4 Если ранг r матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (5.13) меньше числа неизвестных п, то всякая

фундаментальная система решений системы (5.13) состоит из n − r			решений.
Для доказательства заметим, что	n − r является	числом	свободных
неизвестных в системе (5.13). Пусть	свободными	будут	неизвестные

xr +1, xr +2 ,..., xn . Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель d порядка n − r , который запишем в следующем виде:

		c1 r +1	c1 r +2	...	c1n
	d =	c2 r +1	c2 r +2	...	c2n	.
		...	...	...	...
		cn −r r +1	cn −r r +2	...	cn −r n

Беря элементы i -й строки этого определителя, 1 ≤ i ≤ n − r , в качестве значений для свободных неизвестных, мы, как известно, получим однозначно определенные значения для неизвестных x1, x2 , ..., xr т. е. придем к вполне

определенному решению системы уравнений (5.13); запишем это решение в виде вектора

αi = (ci1, ci2 , ..., cir , ci r +1, ci r +2 , ..., cin ).

Полученная нами система векторов α1, α2 , ..., αn −r служит для системы

уравнений (5.13) фундаментальной системой решений. Это утверждение верно, так как система векторов α1, α2 , ..., αn −r линейно независима (поскольку

матрица, составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный от нуля

минор	d	порядка	n − r ).		С	другой		стороны,	пусть
β = (b1, b2 , ..., br , br +1, br +2 , ..., bn )				будет	произвольным			решением	системы
уравнений (5.13). Докажем, что вектор					β линейно		выражается через		векторы
α1, α2 , ..., αn −r .			αi′, i =1, 2, ...,n − r ,			i -ю	строку определителя d,
	Обозначим	через

рассматриваемую как ( n − r ) -мерный вектор. Положим, далее,

β′ = (br +1, br +2 , ..., bn ).

128

Векторы αi′, i =1, 2, ...,n − r , линейно независимы, так как d ≠ 0 . Однако

система ( n − r )-мерных векторов

α1′, α2′ , ..., αn′−r , β′

линейно зависима, так как в ней число векторов больше их размерности. Существуют, следовательно, такие числа k1, k2 , ..., kn −r ,что

β′ = k1α1′ + k2α2′ + ... + kn −rαn′−r .

(5.16)

Рассмотрим теперь n -мерный вектор δ = k1α1 + k1α2 + ... + kn −rαn −r − β . Вектор δ , являясь линейной комбинацией решений системы однородных

уравнений (5.13), сам будет решением этой системы. Из (5.16) следует, что в решении δ значения для всех свободных неизвестных равны нулю. Однако то единственное решение системы уравнений (5.13), которое получается при равных нулю значениях для свободных неизвестных, будет нулевым решением. Таким образом, δ = 0 , т. е. β = k1α1 + k2α2 + ... + kn −rαn −r . Теорема доказана.

Заметим, что приведенное выше доказательство позволяет утверждать, что мы получим все фундаментальные системы решений системы однородных уравнений (5.13), беря в качестве d всевозможные отличные от нуля определители порядка n − r .

Например, пусть дана система линейных однородных уравнений

3x1 + x2 − 8x3 + 2x4 + x5 = 0,

2x

−

2x

2

−

3x

−

7x

4

+

2x

= 0,

1

3

5

x

+

11x

2

−

12x

+

34x

4

− 5x

= 0,

1

3

5

x

−

5x

2

+

2x

−

16x

4

+

3x

= 0.

1

3

5

Решение. Ранг матрицы из коэффициентов равен двум, число неизвестных равно пяти, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы уравнений состоит из трех решений. Решим систему, ограничиваясь первыми двумя линейно независимыми уравнениями и считая x3 , x4 , x5 свободными

неизвестными. Мы получим общее решение в виде

x1 =198 x3 + 83 x4 − 12 x5 , x2 = 78 x3 − 258 x4 + 12 x5 .

Берем, далее, следующие три линейно независимых трехмерных вектора (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) . Подставляя компоненты каждого из них в общее

решение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя значения для x1 и x2 мы получим следующую фундаментальную систему решений

заданной системы уравнений:

α1	19	,	7		3	, −	25			−	1	,	1
	=		8	, 1, 0, 0 , α2	=		8	, 0, 1, 0 , α3	=		2		2	, 0, 0, 1 .
	8				8

В заключении этого параграфа рассмотрим связь, существующую между решениями неоднородных и однородных систем.

Пусть дана система линейных неоднородных уравнений:

129

a x		+ a x			2	+... + a		x	n		= b ,
11 1		12				1n					1
a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2 ,
........................................
a	x	+ a	s2	x	2	+... + a	sn	x		n	= b .
	s1 1										s

и система линейных однородных уравнений:

a x		+ a x			2	+ ... + a		x	n		= 0,
11 1		12				1n
a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = 0,
........................................
a	x + a		s2	x	2	+ ... + a	sn	x		n	= 0,
	s1 1

(5.17)

(5.18)

полученная из системы (5.17) заменой свободных членов нулями. Система (5.18) называется приведенной системой для системы (5.17). Между решениями систем (5.17) и (5.18) существует тесная связь:

Теорема 5.5 Сумма любого решения системы (5.17) с любым решением приведенной системы (5.18) снова будет решением системы (5.17).

Доказательство. Пусть с1, с2 , ..., cn - решение системы (5.17), d1, d2 , ..., dn

- решение системы (5.18). Берем любое из уравнений системы (5.17), например k - е, и вставляем в него вместо неизвестных числа c1 + d1, c2 + d2 , ..., cn + dn . Мы

n	n	n
получим: ∑akj (c j + d j ) = ∑akj c j + ∑akj d j = bk + 0 = bk ,
j =1	j =1	j =1

что и доказывает теорему.

Теорема 5.6 Разность любых двух решений системы (5.17) служит решением для приведенной системы (5.18).

Доказательство. Пусть с1, c2 , ..., cn и с1′, c2′ , ..., cn′ - решения системы (5.17).

Берем любое из уравнений системы (5.18), например k -е, и подставляем в него вместо неизвестных числа c1 − c1′, c2 − c2′ , ..., cn − cn′ . Мы получим:

n	n	n
∑akj ( c j − c′j ) = ∑akj c j − ∑akj c′j = bk − bk = 0 .
j =1	j =1	j =1

Из этих теорем вытекает, что, найдя одно решение системы линейных уравнений (5.17) и складывая его с каждым из решений приведенной системы (5.18), мы получим все решения системы (5.17).

5.8 Вопросы для самоконтроля

1 Дайте определение системы линейных уравнений.

2Какая матрица называется матрицей (расширенной матрицей) системы линейных уравнений?

3Дайте определение однородной (неоднородной) системы линейных уравнений.

4Что называется решением системы линейных уравнений?

5Что означает решить систему линейных уравнений?

6Что значит система совместна, несовместна, определена, неопределена?

130

7 В чем заключается разница между общим и частным решениями системы линейных уравнений?

8 Какие две системы называются эквивалентными?

9 Какие пять преобразований системы приводят ее в эквивалентную?

10 Перечислите преобразования матрицы, преобразующие ее в эквивалентную.

11 В чем заключается суть метода Гаусса?

12 В каком случае при решении системы методом Гаусса мы можем заключить – система совместна и определена или система совместна и неопределенна?

13Теорема Крамера, ее формулировка и доказательство.

14Если система n линейных уравнений с n неизвестными не имеет решений, то что вы можете утверждать об определителе матрицы системы?

15Назовите необходимое условие наличия нетривиального решения системы линейных однородных уравнений.

16В чем заключается суть решения системы линейных уравнений матричным способом?

17Сформулируйте и докажите теорему Кронекера-Капелли.

18Сформулируйте и докажите теорему о единственности решения системы линейных уравнений.

19Если система линейных уравнений имеет единственное решение, то чему равен ранг матрицы системы?

20Что можно сказать о ранге матрицы системы линейных уравнений, если множество решений системы бесконечно?

21Какие неизвестные совместной системы называются базисными (свободными)?

22В чем заключается суть метода решения неопределенной системы?

23При каком значении ранга матрицы система линейных однородных уравнений имеет единственное нулевое решение (не только нулевое решение)?

24Если определитель системы линейных однородных уравнений равен нулю, то что вы можете сказать о количестве решений этой системы?

25В каком случае одним из решений системы линейных однородных

уравнений будет решение M1 , − M 2 ,..., (−1)n−1 M n и каким при этом будет всякое

другое решение?

26 Является ли линейная комбинация решений однородной системы линейных уравнений также решением этой системы? (тот же вопрос в случае неоднородной системы).

27 Дайте определение фундаментальной системы решений.

28 Сформулируйте теорему о зависимости числа решений системы линейных однородных уравнений и ранга матрицы системы. Докажите эту теорему.

29Что значит «приведенная система»?

30Какова связь между решениями неоднородных и однородных систем линейных уравнений?

131