Глава 14 Аналитическое изображение поверхностей и их образование

14.1 Способы аналитического изображения поверхностей

Поверхность относительно декартовой системы координат может быть

определена одним уравнением:
F (x, y, z)= 0	(14.1)

между декартовыми (прямоугольными) координатами произвольной ее точки. Уравнение (14.1) может быть дано в форме, разрешенной относительно одной из координат

z = f (x, y).	(14.2)
Если функция F	- алгебраическая, то поверхность, изображаемая

соответствующим уравнением вида (14.1), называется алгебраической; в этом случае степень ее левой части, приведенной к целому рациональному виду, называется порядком поверхности. Порядок поверхности указывает на число

точек пересечения поверхности с произвольной прямой. Алгебраическая
поверхность может быть изображена уравнением в однородных координатах
F (x, y, z, t)= 0 ,	(14.3)
где левая часть будет целой однородной функцией координат x ,	y , z , t .

Поверхности неалгебраические называются трансцендентными.

Любую поверхность можно определить и уравнениями в параметрической форме, задавая декартовы координаты произвольной ее точки

в функциях двух каких-либо параметров u и v :
x = x(u, v),
	(14.4)
y = y(u, v),
z = z(u, v);

такой способ задания поверхности равносилен ее заданию уравнением (14.1). В самом деле, пусть дано уравнение (14.1), если принять x и y соответственно

равными двум любым функциям x(u, v) и y(u, v) каких-либо параметров u и v ,

то уравнение (14.1) определит z как функцию тех же параметров, и поверхность изобразится уравнениями вида (14.4).

Наоборот, когда даны уравнения (14.4), то, исключая из них параметры u и v придем, вообще говоря, к одному соотношению между x , y , z вида (14.1).

Предыдущее рассуждение показывает, что для данной поверхности можно получить бесчисленное множество изображений уравнениями (14.4) в параметрической форме. Если одна и та же поверхность изображается уравнением

(14.1) и уравнениями (14.4), то функции		z(u, v)
x(u, v),	y(u, v),

должны удовлетворять тождественно (при всяких значениях u и v ) соотношению

F (x(u, v), y(u, v), z(u, v))≡ 0 .

Когда поверхность определена уравнениями (14.4), то можно считать, что

336

точка поверхности определяется связанным вектором OM = ρ , причем

ρ = ix(u, v) + jy(u, v) + kz(u, v) ,

т. е. вектор	ρ является функцией двух параметров u и v . Таким	образом
уравнение поверхности может быть дано и в векторной форме
ρ = ρ	(u, v),	(14.5)

где вектор ρ есть функция двух скалярных параметров u и v .

Если в уравнении (14.5) одному из параметров, например u , дать какоелибо определенное значение u = c1 , то вектор ρ , оставаясь зависящим от одного

параметра v , опишет своим концом некоторую линию на поверхности; эту линию (вдоль которой меняется v ) можем для краткости называть линией u = c1 . Меняя

значение c1 получим на поверхности различные линии семейства u = const ;

аналогичным образом получим второе семейство линий v = const .

Отдельная точка на поверхности будет отмечена, когда задано значение параметра u и значение параметра v . Эта точка может быть рассматриваема как пересечение некоторой линии семейства u = const с некоторой линией семейства v = const . Поэтому параметры u и v называются координатами точек на данной поверхности («криволинейные» или «гауссовы координаты»). Линии же семейства u = const и v = const называются координатными линиями на поверхности.

Когда даются параметрические уравнения поверхности (14.4) или (14.5), то это значит, что на поверхности выбрана определенная сеть двух координатных семейств линий. Какая-либо линия на данной поверхности получится, если к

уравнению (14.5) добавить некоторое соотношение
f (u, v)= 0	(14.6)
или же считать, что в уравнении (14.5) параметры u	и v являются заданными

функциями некоторого третьего переменного. Для линии v = const вектор

ддρu = ρ1

будет определять направление касательной к этой линии; равным образом вектор

ддρv = ρ2

будет определять направление касательной к линии u = const .

14.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Возьмем какую-нибудь линию на поверхности (14.5) и предположим, что вдоль нее параметры u и v являются заданными функциями ее дуги s ; тогда вектор, изображающий направление касательной к этой линии, выразится следующим образом

dρ	=	дρ du	+	дρ dv
ds		дu ds		дv ds
или

337

dρ	= ρ du	+ ρ	dv .	(14.7)
ds	1 ds		2 ds	[ρ1ρ2 ], ортогональный к касательным к двум
Возьмем	теперь	вектор

координатным линиям v = const и u = const . Очевидно, что

[ρ1ρ2 ]ddsρ = ρ1ρ2 ρ1 duds + ρ1ρ2 ρ2 duds = 0 ,

следовательно, [ρ1ρ2 ]ddsρ = 0 , каковы бы ни были функции u(s) и v(s).

Таким образом, вектор, нормальный к касательным к двум различным линиям на поверхности в их общей точке, будет нормален и к касательной к любой линии, лежащей на поверхности и проходящей через ту же точку. Отсюда мы заключаем, что касательные ко всем линиями, лежащим на поверхности и проходящим через выбранную точку на ней, все лежат в одной плоскости. Эта плоскость называется касательной плоскостью поверхности в выбранной ее точке; вектор, перпендикулярный к касательной плоскости в данной точке,

называется нормалью поверхности в этой точке.

Так как касательная к прямой есть сама прямая, то из указанного определения касательной плоскости к поверхности следует, что если поверхность содержит некоторую прямую, то касательная плоскость к поверхности в какойлибо точке ее прямой содержит целиком эту прямую. Так, например, касательная плоскость к поверхности цилиндра (или конуса) будет содержать целиком образующую, проходящую через выбранную точку. Аналогично, касательная плоскость к поверхности однополостного гиперболоида (или гиперболического параболоида) в какой-либо его точке содержит обе его образующие, проходящие через выбранную точку.

Обозначая через r связанный вектор, определяющий какую-либо точку касательной плоскости. Очевидно, что вектор r − ρ лежит в касательной плоскости и перпендикулярен к ее нормали, а потому касательная плоскость в точке ρ поверхности изобразится уравнением

		r − ρ)[ρ1ρ2 ]= 0
	(		(14.8)
или же уравнением
	(r − ρ)ρ1ρ2 = 0 .		(14.9)

Последнее уравнение в координатной форме можно написать следующим образом:

X − x			Y − y			Z − z
	дx			дy			дz		= 0	(14.10)
	дu			дu			дu
	дx			дy			дz
	дv			дv			дv

или

338

д(y, z)(X − x)+	д(z, x)(Y − y)+	д(x, y)(Z − z)= 0 .	(14.11)
д(u, v)	д(u, v)	д(u, v)
Если поверхность определяется уравнением (14.1), то можно			принять

x = u ,

y = v , а тогда z определится уравнением (14.2). В этом случае уравнение

(14.11) имеет вид

X − x Y − y

Z − z

дF

1

0

−

дx

дF

= 0 ,

дz

дF

0

1

−

дy

дF

дz

Упростив которое, имеем

дF

(X − x)+

дF

(Y − y)+

дF

(Z − z)= 0 .

(14.12)

дx

дy

дz

Если поверхность определена уравнением

z = f (x, y),

то, вводя обозначения

дz

дz

= p ,

= q ,

дx

дy

уравнение (13.34) касательной плоскости приведем к виду

− p(X − x)− q(Y − y)+ (Z − z)= 0 .

(14.13)

Во всех предыдущих уравнениях (14.10), (14.11), (14.12), (14.13) величины

X , Y ,

Z

являются

текущими координатами точек плоскости, а x ,

y , z -

координатами выбранной точки поверхности (точки касания). Эти же уравнения показывают, что в каждом из указанных случаев задания поверхности косинусы

углов,				образованных ее нормалью		с	осями		координат, соответственно
					д(y, z)		д(z, x)		д(x, y)	дF
пропорциональны или величинам					д(u, v),		д(u, v)	,	д(u, v), или величинам	дx ,
	дF	,	дF	, или, наконец, величинам	− p ,	− q , 1. Для получения самих косинусов
			дz
	дy

углов нормали с осями координат необходимо приведенные выше угловые коэффициенты нормировать. Например, в последнем случае косинусы углов нормали с осями определятся выражениями:

	− p			− q			1
α =	1 + p2 + q2	,	β =	1 + p2 + q2	,	γ =	1 + p2 + q2 .
Если поверхность определена уравнением (14.3) в однородных
координатах, тогда на			основании теоремы		Эйлера об		однородных функциях

339

измерения m имеем

x ддFx + y ддFy + z ддFz + t ддFt ≡ mF(x, y, z, t);

если точка (x, y, z, t) принадлежит поверхности, то F (x, y, z, t)= 0 , а потому x ддFx + y ддFy + z ддFz + t ддFt = 0 .

Разделим полученное соотношение на t и прибавим его почленно к уравнению (14.12), отнесенному к однородным координатам, т. е. к уравнению

X

x

дF

Y

Y

дF

Z

z

дF

−

+

−

+

−

= 0 ;

t

дy

дz

T

дx

T

t

T

t

тогда получим

дF

X +

дF

Y +

дF

Z +

дF

T = 0.

(14.14)

дx

дt

дy

дz

Это будет уравнение касательной плоскости в точке (x, y, z, t) для

поверхности, заданной своим уравнением (14.3) в однородных координатах.

Координатное уравнение (14.12) касательной плоскости мы получили из ее векторного уравнения (14.9), но его можно легко получить и непосредственно.

Рассмотрим какую-нибудь кривую		z = z(s),
x = x(s),	y = y(s),

лежащую на поверхности (14.3), так что

F (x(s), y(s), z(s))≡ 0 .

Чтобы определить зависимость между угловыми коэффициентами касательной

X − x			=	Y − y			=	Z − z
	dx								dz
					dy
	ds				ds				ds

к выбранной на поверхности линии, дифференцируем тождество (14.14), тогда

дF dx

+

дF

dy

+

дF dz

= 0 .

(14.15)

дx ds

дz ds

дy ds

Если

дF

,

дF

,

дF

для данной точки поверхности не обращаются в нули

дx

дy

дz

одновременно, то такая точка поверхности называется обыкновенной; угловые коэффициенты касательной к какой-либо линии на поверхности связаны

соотношением (14.15). Заменяя					dx		, dy ,	dz	пропорциональными им величинами
					ds		ds	ds
X − x , Y − y , Z − z , получим уравнение
	дF	(X − x)+	дF	(Y − y)+	дF		(Z − z)= 0 ,
					дz
	дx		дy

т. е. уравнение плоскости (касательной), содержащей касательную прямую к любой линии на поверхности в данной точке.

Предположим теперь, что для выбранной точки (x, y, z) поверхности

340

выполняются одновременно с уравнением (14.1) соотношения
	дF	= 0 ,	дF	= 0 ,	дF	= 0 ;	(14.16)
	дx		дy		дy

такая точка поверхности называется особой. В этом случае соотношение (14.15) исчезает и не дает уравнения плоскости, как геометрического места касательных к различным линиям, лежащим на поверхности и проходящим через выбранную точку.

Дифференцируя соотношение (14.15), получим

д2 F dx

2

д2 F dy

2

д2 F dz

2

д2 F dy dz

+

+

+ 2

+

дyдz ds ds

дx2 ds

дy2 ds

дz2 ds

+ 2

д2 F dz dx

+ 2

д2 F dx dy

+

дF d 2 x

+

дF d 2 y

+

дF d 2 y

= 0

дzдx ds ds

дxдy ds ds

дx ds2

дy ds2

дy

ds2

или для точки, удовлетворяющей условиям (14.16),

д2 F dx

2

д2 F

dy 2

д2 F

dz

2

д2 F dy dz

+

+

+ 2

+

дy2

дz2

дyдz ds ds

дx2 ds

ds

ds

+ 2

д2 F dz dx

+ 2

д2 F dx dy

= 0 .

дzдx ds ds

дxдy ds ds

Заменяя производные dx ,

dy ,

dz

пропорциональными им выражениями X − x ,

Y − y , Z − z , для

ds

ds

ds

геометрического

места касательных

прямых к различным

линиям на поверхности, проходящим через особую точку (x, y, z), получим уравнение

д2 F

2

д2 F

2

д2 F

2

д2 F

(X

− x)

+

(Y − y)

+

(Z − z)

+ 2

(Y − y)(Z − z)+

дx2

дy2

дz2

дzдy

+ 2

д2 F

(Z − z)(X − x)+ 2

д2 F

(X − x)(Y − y)= 0 .

(14.17)

дzдx

дxдy

Это будет уже уравнение некоторого конуса 2-го порядка. Таким образом, в этой особой точке поверхности все касательные к различным линиям, лежащим на поверхности и проходящим через выбранную ее точку, лежат на конусе 2-го порядка. Если все частные производные 2-го и высших порядков от функции F обращаются в нули, но производные некоторого порядка m существуют, конечны и не обращаются в нуль одновременно в данной точке, то геометрическое место касательных к разным линиям, лежащим на поверхности и проходящим через эту точку, будет конус порядка m . Вот почему такие особые точки поверхности называются также коническими точками поверхности. Нетрудно видеть, например, что вершина конуса порядка m будет как раз конической точкой.

Например, найдем для поверхности

	x3	+	y3	+	z3	−1 = 0 .
	a3		b3		c3

341

Касательные плоскости, проходящие через прямую

0x = 1y = z−−1c .

Касательная плоскость к данной поверхности в некоторой ее точке (x, y, z) изобразится уравнением

	x2 X	+	y2Y	+	z2 Z	−1 = 0 .
	a3		b3		c3

Эта плоскость проходит через заданную прямую, если она содержит ее точку (0, 0, c) и параллельна направленную (0 :1: −1), т.е. если выполняются условия

	z2	−1 = 0 ,	y2	−	z2	= 0 .
	c2		b3		c3

Присоединив сюда уравнение самой поверхности, найдем для точек касания плоскостей, проходящих через указанную прямую, следующие значения координат:

	x = a3 1 −	y2	−	z2	,	y = ±b	b	,	z = ±c ;
		b3		c3			с
			z
	здесь для y и			могут		быть	взяты		всевозможные комбинации знаков,

следовательно, задача имеет четыре (действительных) решения.

14.3 Первая квадратная форма поверхности

Пусть поверхность определяется параметрическими уравнениями:
x = x(u, v),	y = y(u, v),	z = z(u, v),	(14.18)
или, что то же самое, векторным уравнением
ρ = ρ(u, v)			(14.19)
Семейства линий v = const		или u = const образуют на данной поверхности

так называемые координатные семейства линий. Какая-нибудь произвольная линия на поверхности изобразится либо уравнением

f (u, v)= 0 ,

(14.20)

либо уравнениями, равносильными предыдущему,

u = u(t),

v = v(t).

(14.21)

Квадрат дифференциала дуги этой кривой будет

дρ

дρ

2

дρ

2

дρ дρ

дρ

2

ds2 = dρ2 =

du +

dv

=

du2 + 2

dudv +

dv2 ,

дv

дu дv

дu

дu

дv

причем в этом выражении мы должны использовать либо соотношение (14.20), либо соотношения (14.21).

Примем обозначения Гаусса:

	дρ 2		= E ,	дρ дρ	= F ,		дρ		2	(14.22)
				дu дv					= G
	дu						дv

или в координатах:

342

			дx 2
	E =
			дu
		дx дx
	P =
		дu дv
			дx 2
	G =
			дv

дy 2

дz

2

+

+

,

дu

дu

+

дy дy

+

дz

дz ,

(14.23)

дu дv

дu дv

дy

2

дz 2

+

+

;

дv

дv

тогда

ds2 = Edu2 + 2Fdudv + Gdv2 .

(14.24)

Квадратичная относительно дифференциалов du , dv форма (14.24) называется

линейным элементом поверхности или первой основной квадратичной формой поверхности. Коэффициенты B , F , G называются коэффициентами линейного элемента поверхности; они становятся известными, когда задана поверхность уравнениями (14.18) или векторным уравнением (14.19). Если поверхность действительна, то будут действительны и коэффициенты ее линейного элемента при этом дискриминант линейного элемента равен

EG − F

2

дρ 2

дρ

2

дρ дρ

2

дρ дρ

2

=

−

=

дu

дv

дu дv

дu дv

или в координатах:

2

2

2

EG − F 2

д( y, z)

д(z, x)

д(x, y)

=

+

+

,

д(u, v)

д(u, v)

д(u, v)

т.е. он может быть представлен в виде суммы квадратов некоторых действительных величин, а потому он будет существенно положительной

величиной; будем его обозначать через H 2 . Под корнями квадратными

H = EG − F 2 , E , G

будем всегда подразумевать их положительные значения.

На основании сказанного выше из линейного элемента поверхности получим, например, для линии v = const дифференциал ее дуги, полагая dv = 0 в квадратичной форме (14.24); итак, дифференциал дуги линии v = const будет

dsv = Edu ;

аналогично для линии u = const дифференциал дуги равен dsu = Gdv .

Отсюда, далее, следует, что единичный вектор касательной к линии v = const (в сторону возрастания параметра u ) будет

			дρ
	dρ	=		du		1 дρ		ρ1
			дu		=		=		;
	dsv					E дu
			Edu					E

единичный вектор касательной к другой координатной линии u = const (в сторону возрастания параметра v ) изобразится в виде

343

			дρ
	dρ			dv	1	дρ		ρ2
			дv						.
		=	=				=
	dsu				G дv			G
			Gdv

Скалярное произведение этих единичных векторов даст косинус угла, образованного касательной к координатным линиям, или косинус угла, под которым пересекаются координатные линии в рассматриваемой точке; назовем указанный угол w координатным углом на данной поверхности, тогда

w = ρ1		ρ2
E		G
или		F			H .
cos w =			,	sin w =		(14.25)
		EG			EG
Первая из этих формул показывает, что если F тождественно обращается в нуль
(для всяких	u	и	v ), то	в каждой точке поверхности		координатные линии

пересекаются под прямым углом; обратно, для того чтобы координатные линии в каждой точке поверхности пересекались под прямым углом, необходимо, чтобы коэффициент F тождественно был равен нулю. Следовательно, условие F = 0

есть условие ортогональности координатных линий на поверхности.

Пусть имеем на поверхности две какие-нибудь линии или два семейства линий, смещение по линии первого семейства будем обозначать знаком дифференциала d , смещение же по линии другого семейства знаком дифференциала δ . Тогда вектор dρ даст направление касательной к линии

первого семейства, вектор δρ даст направление касательной к линии второго семейства; если эти касательные ортогональны в каждой точке пересечения линии первого семейства с линией второго, то скалярное произведение векторов dρ и δρ должно обращаться в нуль:

dρδρ = 0.

Развертывая дифференциалы и перемножая их:

dρδρ = (ρ1du + ρ2dv)(ρ1δu + ρ2δv)= Eduδu + F (duδv + dvδu)+ Gdvδv

получим условие ортогональности двух семейств линий на поверхности в окончательном виде:

Eduδu + F(duδv + dvδu)+ Gdvδv = 0 .	(14.26)
По аналогии с алгебраическими	формами конечных переменных

(например x и y ) билинейная дифференциальная форма (14.26) по отношению к

квадратичной дифференциальной форме (14.24) называется ее полярной формой; поэтому мы можем сказать, что условие (14.26) ортогональности двух семейств линий на поверхности представляет собой равенство нулю полярной формы линейного элемента поверхности.

Если первое семейство линий определяется уравнением f (u, v)= 0 ,

тогда

344

	дf	du +	дf	dv = 0	или	du	= −	dv	;
	дu		дv			дf		дf

дv дu

подставив найденное отношение du : dv в условие (14.26), получим для определения второго семейства, ортогонального к первому, дифференциальное уравнение 1-го порядка:

	дf	− F	дf		дf	− G		дf		(14.27)
E	дv		δu + F		дv			дu	δu = 0 .
			дu
Полагая в соотношении (14.26)							dv = 0 и δu = 0 ,			получим для ортогональности
координатных линий прежнее условие
F = 0 .

Например, найдем семейство линий, ортогональных к прямолинейным образующим той или другой серии гиперболического параболоида

	x2	−	y2	= 2z .
	p		q
Решение. Данный гиперболический параболоид можно изобразить
параметрическими уравнениями:
	x = p(u + v),					y = q(u − v),	z = 2uv ,
причем линии v = const						будут его прямолинейными образующими одной серии,
линии u = const					- прямолинейными образующими другой серии. По формулам
(14.23) вычислим коэффициенты линейного элемента поверхности, они будут
	E = p + q + 4v2 ,					F = p − q + 4uv , G = p + q + 4u2 .
Полагая		δu = 0			в уравнении (14.26),		получим из него дифференциальное

уравнение ортогональной к образующим v = const в виде

(p + q + 4v2 )du + (p − q + 4uv)dv = 0 ;

это уравнение можно представить в виде линейного уравнения 1-го порядка

	du	+	4v	+	p − q	= 0 ;
	dv		p + q + 4v2		p + q + 4v2

его интеграл, т.е. уравнение искомого семейства линий, ортогональных к образующим v = const , будет

u p + q + 4v2 + p 2− q ln(2v + p + q + 4v2 )= C1 .

Аналогично, семейство линий, ортогональных к прямолинейным образующим u = const (δu = 0 ), определится дифференциальным уравнением

(p − q + 4uv)du + (p + q + 4u2 )dv = 0

или же уравнением	p − q ln(2u + p + q + 4u2 )= C2 .
v p + q + 4u2 +
	2

345

14.4 Вторая квадратичная форма поверхности

Нормаль, как мы знаем, изображается единичным вектором N , равным
N =	[ρ1ρ2 ]	или же	N =	[ρ1ρ2	]	,
причем	[ρ1ρ2 ]2			H
Nρ1 = 0 ,		Nρ2 = 0 .				(14.28)

Выражение

−dρdN = −(ρ1du + ρ2dv)(N1du + N2dv)= −ρ1N1du2 −

−(ρ1N2 + ρ2 N1 )dudv − ρ2 N2dv2

называется второй (гауссовой) квадратичной формой поверхности; ее

коэффициенты принято обозначать через D , D′,

D′′, так что

− dρdN = Ddu

2

′

′′

2

.

+ 2D dudv + D dv

Продифференцировав каждое из соотношений (14.28) один раз по u ,

другой раз по v , получим:

д2 ρ

дρ дN

+ N

д2 ρ

= 0 ,

дρ дN

+ N

= 0 ,

дu дu

дu2

дv дu

дuдv

дρ дN

+ N

д2

ρ

= 0 ,

дρ дN

+ N

д2 ρ

= 0 ,

дu дv

дuдv

дv дv

дv2

откуда прежде всего следует, что

− ρ

N

2

= −ρ N

= N

д2

ρ

;

1

1

1

дuдv

далее, для коэффициентов второй квадратичной формы получим выражения:

дρ дN

= N д

2

ρ ,

D = −

дu дu

дu2

дρ дN

дρ

дN

д

2 ρ

D′ = −

= − −

= N

,

(14.29)

дu дv

дv дu

дuдv

дρ дN

д

2

ρ

D′′

= −

= N

.

дv дv

дv2

значение N , то можно

получить для

них следующие

Если же подставить

выражения через тройные произведения:

д2 ρ дρ дρ

д2 ρ дρ дρ

д2 ρ дρ дρ

дu2

дu

дv

дv2

дu

дv

D =

,

D′

=

дuдv дu дv

,

D′′ =

,

H

H

H

(14.30)

с помощью которых легко вычислить D , D′, D′′, когда поверхность задана параметрическими уравнениями (14.18).

346

Обе квадратичные формы Гаусса играют существенную роль при исследовании поверхности, так как все элементы поверхности могут быть определены через коэффициенты ее основных форм.

14.5 Вопросы для самоконтроля

1Какая поверхность называется алгебраической?

2Как называются неалгебраические поверхности?

3Как определить поверхность в параметрической форме?

4Что значит: координатные линии на поверхности?

5Как задать поверхность в векторной форме?

6Что значит координатные линии на поверхности?

7Сформулируйте определение касательной плоскости заданной поверхности.

8Запишите уравнение касательной плоскости в точке поверхности в координатной форме.

9Запишите уравнение касательной в точке ) для поверхности(x, y, z, t

F (x, y, z, t)= 0 .

10 Сформулируйте определение нормали поверхности в точке.

11 Какая точка поверхности называется особой?

12 Какая точка поверхности называется обыкновенной?

13 Запишите уравнение конуса второго порядка.

14 Какие точки называются коническими точками?

15 Какие линии образуют на поверхности координатные семейства линий? 16 Что называется первой основной квадратной формой?

17 Запишите единичный вектор касательной к линии v = const . 18 Что означает координатный угол на данной поверхности?

19 Запишите условие ортогональности координатных линий на поверхности.

20 Что называется второй (гауссовой) квадратичной формой поверхности?

347