Глава 12 Квадратичные формы

12.1 Основные определения

Истоки теории квадратичных форм лежат в аналитической геометрии, а именно в теории кривых (и поверхностей) второго порядка. Мы уже знаем, что уравнение центральной кривой второго порядка на плоскости, после перенесения начала прямоугольных координат в центр этой кривой, имеет вид

Ax2 + 2Bxy + Cy 2 = D .

(12.1)

Далее, также из курса аналитической геометрии мы знаем, что можно совершить такой поворот осей координат на некоторый угол α , т. е. такой переход от координат х, у к координатам x′, y′:

x = x′cosα − y′sinα,	(12.2)
y = x′sinα + y′cosα,

что в новых координатах уравнение кривой будет иметь канонический вид

′	′2	′	′2	= D .	(12.3)
A x		+ C y

В уравнении (12.3) коэффициент при произведении неизвестных x′y′ равен

нулю. Преобразование координат (12.2) можно толковать, очевидно, как линейное, т.е. как линейный оператор. Этот оператор применяется к левой части уравнения (12.1), и поэтому можно сказать, что левая часть уравнения (12.1) невырожденным линейным оператором (12.2) превращается в левую часть уравнения (12.3).

Многочисленные приложения потребовали построения аналогичной теории для случая, когда число неизвестных вместо двух равно любому п, а коэффициенты являются или действительными, или же любыми комплексными числами.

Обобщая выражение, стоящее в левой части уравнения (12.1), мы приходим к следующему понятию.

Квадратичной формой f от n неизвестных x1, x2 , ..., xn , называется

сумма, каждый член которой является или квадратом одного из этих неизвестных, или произведением двух разных неизвестных.

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Мы в дальнейшем будем рассматривать только действительные квадратичные формы.

Считая, что в квадратичной форме f уже сделано приведение подобных членов, введем следующие обозначения для коэффициентов этой формы:

коэффициент при x2		обозначим через a	ii	, а коэффициент при произведении x x	j
для i ≠ j	i			i
	- через 2aij . Веденные нами обозначения предполагают справедливость
равенства
a ji	= aij .			(12.4)

288

Член 2aij xi x j можно записать, таким образом, в виде

2aij xi x j = aij xi x j + a ji x j xi ,

а всю квадратичную форму f - в виде суммы всевозможных членов aij xi x j , где i и j уже независимо друг от друга принимают значения от 1 до n . Таким образом,

квадратичную форму переменных xi	(i =		) можно записать следующим
		1, n
образом:
n n
f = ∑∑aij xi x j ;	(12.5)
i =1 j =1

в частности, при i = j		получается член aii xi2 .
Составим матрицу из коэффициентов квадратичной формы (12.5):
a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		,	(12.6)
A =		...	...
... ...
	an2	...
an1			ann

иназовем ее матрицей квадратичной формы (12.5).

Всилу условия (12.4) матрица A - симметрическая (ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, равны между собой).

Очевидно, квадратичной форме (12.5) n переменных x1, x2 , ..., xn

соответствует единственная симметрическая матрица (12.6).

Обратно, всякой симметрической матрице (12.6) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Например, составим матрицу квадратичной формы

Q(x , x		, x ) = 2x2 − 3x x			2	+ 4x x + 5x2			−8x x + x2
1	2	3	1	1		1	3	2	2	3	3

Решение. Чтобы составить матрицу A, нужно данную квадратичную форму записать в виде (12.1). Для этого смешанные члены – 3x1x2 , 4x1x3 , − 8x2 x3

представим в виде суммы двух равных слагаемых:

−1,5x1x2 −1,5x2 x1 , 2x1x3 + 2x3 x1 , − 4x2 x3 − 4x3 x2 .

Таким образом, заданной квадратичной форме соответствует

симметрическая матрица
	2	−1,5	2
	−1,5	5	− 4
A =				.
	2	− 4	1

Рангом квадратичной формы называется ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица – невырожденная, т.е. r = n , и вырожденной, если r < n .

Квадратичную форму (12.5) n переменных x1, x2 , ..., xn можно записать в матричном виде. Действительно, если X - матрица-столбец из переменных

289

x , x

2

, ..., x

n

,

а X T

-

матрица,

полученная транспонированием матрицы X , т.е.

1

строка из тех же переменных, то

a

a

...

a

x

11

12

1n

1

X T AX

= (x

, x

2

, ..., x

n

)

a21

a22

...

a2n

x2

=

1

...

...

...

...

M

an2

...

an1

ann

xn

= (a11x1 + a21x2 + ... + an1xn , a12 x1 + a22 x2 + ... + an2 xn , ..., a1n x1 +

x

1

+ a2n x2 +...

x2

n n

+ ann xn )

M

=

∑∑aij xi x j .

i =1 j =1

xn

Итак, мы получили, что

n

n

X T AX = ∑∑aij xi x j ,

i =1 j =1

т.е. выражение вида

) = X T AX

f (x ,

x

2

, ...,

x

n

(12.7)

1

представляет собой матричный вид квадратичной формы (12.5).

12.2 Преобразование квадратичной формы линейным однородным оператором

Рассмотрим квадратичную форму y1, y2 , ..., yn по формулам

x		= b y	+ b y		2		+... + b	y	n	,
1		11 1	12				1n
x2 = b21 y1 + b22 y2 +... + b2n yn ,
..........................................
x	n	= b y	+ b	y		2	+... + b y			n	,
		n1 1	n2				nn

или в матричном виде

X = BY ,

где

x					b	b	...	b
		1			11	12		1n
x2				,	b21	b22	...	b2n		,
X =	M				B =		...	...
					... ...
x		n			b	b	...	b
					n1	n2		nn

(12.7).

y1 Y = yM2yn

Перейдем к новым переменным

(12.8)

(12.9)

. (12.10)

В	квадратичной форме (12.7) вместо x1, x2 , ..., xn		подставим их выражения
через y1	, y2 , ..., yn , определяемые формулами	(12.8),	получим квадратичную
форму ϕ	(y1, y2 , ..., yn ) n переменных y1, y2 , ...,	yn с некоторой матрицей C . В

290

этом случае говорят, что квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) переводится в квадратичную форму ϕ(y1, y2 , ..., yn ) линейным однородным оператором (12.8).

Линейный однородный оператор (12.9) называется невырожденным, если det B ≠ 0 .

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует

невырожденный линейный однородный оператор, переводящий одну из них в
другую.	Если f (x1, x2 , ..., xn ) и		ϕ(y1, y2 , ..., yn ) конгруэнтны, будем		писать
f (x1, x2 , ..., xn )~ ϕ(y1, y2 , ..., yn ).
Отметим следующие свойства конгруэнтности квадратичных форм:
1	f (x1, x2 , ..., xn )~ f (x1, x2 , ..., xn ).			ϕ(y1, y2 , ..., yn )~
2	Если	f (x1, x2 , ..., xn )~ ϕ(y1, y2 , ..., yn ),
~ψ (z1, z2 , ..., zn ), то f (x1, x2 , ..., xn )~ψ (z1, z2 , ..., zn ).
Справедливость		первого	свойства очевидна:	квадратичная	форма

переводится в себя тождественным оператором (невырожденным). Второе свойство следует из того, что произведение двух невырожденных линейных однородных операторов являются невырожденным оператором.

Теорема 12.1

Квадратичная

форма

f (x1, x2 , ..., xn )

с

матрицей

A

линейным однородным оператором X = BY переводится в квадратичную форму

ϕ(y , y

2

, ...,

y

n

) с матрицей C = BT AB .

1

форму f (x ,

)= X T

Доказательство.

В квадратичную

x

2

, ..., x

n

AX

подставим X = BY , получаем

1

A(BY )= (Y T BT ABY )=Y T

(BT AB)Y ,

f (x , x

2

, ..., x

n

)= X T AX = (BY )T

или

1

f (x , x

)=Y T CY ,

2

, ..., x

n

1

где C = BT AB .

Поскольку

CT = (BT AB)T = (BT (AB))T = (AB)T (BT )T = (BT AT )B = BT AB = C ,

т. е. CT = C , то C - симметрическая матрица. Следовательно, C = BT AB является матрицей квадратичной формы ϕ(y1, y2 , ..., yn ).

Следствие 1 Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Действительно, поскольку матрицы A и C двух конгруэнтных

квадратичных форм связаны соотношением C = BT AB , где B - невырожденная матрица, то

det C = det(BT AB)= det BT det A det B = (det B)2 det A ,

или

det C = (det B)2 det A.

Следовательно, det C det A > 0 , т.к. (det B)2 > 0 .

Следствие 2 Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые

ранги.

291

Действительно, поскольку ранг матрицы не меняется при умножении ее слева или справа на невырожденную матрицу и C = BT AB , то rangC = rangA .

Рассмотрим теперь, по аналогии с указанной в начале параграфа геометрической задачей приведения уравнения центральной кривой второго порядка к каноническому виду (12.3), вопрос о приведении произвольной квадратичной формы некоторым невырожденным линейным оператором к виду суммы квадратов неизвестных, т.е. к такому виду, когда все коэффициенты при произведениях различных неизвестных равны нулю. Мы уже знаем этот специальный вид квадратичной формы называется каноническим.

Предположим сначала, что квадратичная форма f от n неизвестных x1, x2 , ..., xn уже приведена невырожденным линейным оператором к каноническому виду

f =b y2	+ b			y2	+ ... + b	y2	,	(12.11)
1 1		2		2	n	n
где y1, y2 , ..., yn		-	новые неизвестные. Некоторые из коэффициентов b1, b2 , ..., bn

могут, конечно, быть нулями. Докажем, что число отличных от нуля коэффициентов в (12.11) равно рангу r формы f .

В самом деле, так как мы пришли к (12.11) при помощи невырожденного оператора, то квадратичная форма, стоящая в правой части равенства (12.11), также должна быть ранга r . Однако матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

b		0
	1
	b2			,
	0	O
		b
		n

И требование, чтобы эта матрица имела ранг r , равносильно предположению, что на ее главной диагонали стоит ровно r отличных от нуля элементов.

Основная теорема о квадратичных формах

Теорема 12.2 Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным оператором может быть приведена к каноническому виду.

Доказательство проведем индукцией по числу переменных. При n =1 теорема верна, так как в этом случае квадратичная форма f (x1 )= a11x12 имеет

канонический вид. Докажем теорему для квадратичных форм от n переменных, считая ее уже доказанной для форм с меньшим числом переменных. Предположим, что среди коэффициентов aii (i =1, 2, ..., n) данной квадратичной

формы

n n

f (x1, x2 , ..., xn )= ∑∑aij xi x j

i =1 j =1

292

имеются отличные от нуля. Пусть a11 ≠ 0 , тогда выражение

a

−1

(a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

)2

,

11

11

1

12

1n

содержит такие же члены с переменной x1 ,

являющееся квадратичной формой,

что и форма f , поэтому разность

f − a−1(a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

)2

= f ,

11

11

1

12

1n

1

x1 , а только от

x2 , x3 , ..., xn , т.е.

будет квадратичной формой, не зависящей от

f

= f (x

2

,

x

3

, ...,

x

n

), откуда f = a−1(a x

+ a x

2

+... + a

x

n

)2 + f .

1

1

11 11 1

12

1n

1

Перейдя к новым переменным y1, y2 , ...,

yn

по формулам

y1 = a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn ,

yi = xi

( i = 2,3, ..., n ) ,

(12.12)

получим квадратичную форму

f = a−1 y12 + f

2

,

11

причем

f2 = f2 (y2 , y3 , ..., yn ).

f2

(12.13)

Так как квадратичная форма

зависит от меньшего числа переменных,

по предположению ее можно привести к каноническому виду. Следовательно, квадратичная форма f также приведена к каноническому виду (12.13). Отметим,

что линейный оператор (12.12) является невырожденным, так как его определитель равен a11 ≠ 0 . Оператор, обратный оператору (12.12), также будет

невырожденным, он приводит исходную форму f к виду (12.13).

Случай, когда все коэффициенты aii = 0 (i =1, 2, ..., n) , но, например, a12 ≠ 0 , с помощью оператора

x1 = z1 − z2 , x2 = z1 + z2 , xi = zi (i = 3, 4, ..., n)

сводится к предыдущему. Действительно, этот оператор является невырожденным, ибо его определитель отличен от нуля:

		1	−1		0 ...	0
		1	1		0 ...	0
		0	0		1 ...	0		= 2 ≠ 0 .
		... ... ... ... ...
		0	0		0 ...	1
В результате действия этого оператора член 2a12 x1x2 , принимает вид
2a x x				2	= 2a	(z − z			2	)(z + z	2	)= 2a z2			− 2a z2 ;
12			1		12	1				1			12	1	12	2
в конгруэнтной квадратичной форме ϕ(z1, z2 , ..., zn ) будут отличными от нуля
коэффициенты при квадратах переменных z1 и z2 .
Таким					образом,				квадратичная					форма		действием	нескольких

невырожденных операторов, которые можно заменить одним невырожденным оператором – их произведением, приводится к каноническому виду.

Доказательство основной теоремы закончено. Метод, использованный в этом доказательстве, может быть применен в конкретных примерах для

293

приведения квадратичной формы к каноническому виду. Нужно лишь вместо индукции, которую мы использовали в доказательстве, последовательно выделять

изложенным выше методом квадраты неизвестных.
Например, приведем к каноническому виду квадратичную форму
f = 2x1x2 − 6x2 x3 + 2x3 x1 .	(12.14)

Ввиду отсутствия в этой форме квадратов неизвестных мы применим сначала невырожденный линейный оператор

x1 = y1 − y2 , x2 = y1 + y2 , x3 = y3

с матрицей		1	−1	0
A =		1	1	0		,
		0	0	1

после чего получим:

f = 2 y12 −2 y22 −4 y1 y3 −8y2 y3 .

Теперь коэффициент при y12 отличен от нуля, и поэтому из нашей формы

можно выделить квадрат одного неизвестного. Полагая z1 = 2 y1 − 2 y3 , z2 = y2 , z3 = y3 ,

т.е. действуя линейным оператором, для которого обратный будет иметь матрицу

	1	0	1
	2
		1	0		,
B =	0
	0	0	1

мы приведем f к виду

f =	1	z2	− 2z2	− 2z2	−8z		z		.	(12.15)
	2
		1	2	3		2		3

Пока выделился лишь квадрат неизвестного z1 , так как форма еще содержит произведение двух других неизвестных. Используя неравенство нулю коэффициентов при z22 , еще раз применим изложенный выше метод.

Совершая линейный оператор t1 = z1 , t2 = −2z2 − 4z3 , t3 = z3 ,

для которого обратный имеет матрицу

		1		0		0
					1
	C =	0	−			− 2		,
				2
		0		0		1

мы приведем, наконец, форму f к каноническому виду

f =	1	t 2	−	1	t 2	+ 6t 2 .	(12.16)
	2 1			2 2		3

294

Линейный оператор, приводящий (12.14) сразу к виду (12.16), будет иметь своей матрицей произведение

		1		1			3
		2		2
	ABC =	1	−		1		−1 .
		2		2
		0		0			1

Можно подстановкой проверить, что невырожденный (так как определитель равен −12 ) линейный оператор

x1 = 12 t1 + 12 t2 + 3t3 , x2 = 12 t1 − 12 t2 − t3 ,

x3 =

t3

превращает (12.14) в (12.16).

12.3 Нормальный вид квадратичной формы

Каноническая квадратичная форма называется нормальной (или имеет нормальный вид), если αii =1 (i =1, 2, ..., r), т.е. отличные от нуля коэффициенты

при квадратах переменных равны +1 или −1.

)

Например, квадратичная

форма

f (x , x

2

, x , x

4

= 6x2

+ 4x2

− 3x2 ,

для

1

3

1

3

4

которой α11 = 6 ,

α22 = 0 ,

α33 = 4 ,

α44 = −3,

имеет

канонический

вид;

квадратичная форма

f

(x , x

2

,

x

3

, x

4

)= x2

− x2 + x2

является нормальной, так как

1

1

3

4

α11 =1, α22 = 0 , α33 = −1, α44 =1.

Теорема 12.3 Любую действительную квадратичную форму линейным

невырожденным оператором можно привести к нормальному виду.

Доказательство.

Мы

уже

знаем,

что

любую

квадратичную форму

f (x1, x2 , ..., xn )

можно привести к каноническому виду. Представим этот

канонический вид следующим образом:

y2 (0 ≤ k ≤ r),

ϕ(y , y

2

, ..., y

n

)= с y2

+ с

2

y2

+ ... + с

k

y2 − с

k +1

y

2

−... − с

r

1

1 1

2

k

k +1

r

где все

числа

ci

(i =1, 2, ..., k, k +1, ..., r)

положительны.

Применяя

невырожденный

линейный

оператор

zi

=

ci yi

(i =1, 2, ..., r),

z j = y j

(j = r +1, ..., n), получаем квадратичную форму

ψ(z1, z2 , ..., zn )= z12 + z22 +... + zk2 − zk2+1 −... − zr2

внормальном виде. Очевидно, что число входящих сюда квадратов равно рангу

формы.

295

12.4 Закон инерции квадратичных форм

Канонический вид, к которому приводится данная квадратичная форма, не является для нее однозначно определенным, так как любая квадратичная форма может быть приведена к этому виду различными способами.

Однако, несмотря на то, что к нормальному виду квадратичная форма также может быть приведена различными преобразованиями, оказывается, нормальный вид может быть только один. Об этом свидетельствует теорема,

выражающая закон инерции квадратичных форм:

Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным оператором, не зависит от выбора оператора.

Доказательство. Предположим, что квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) ранга r двумя способами приведена к нормальному виду

y2	+ y2	+ ... + y2	− y2	+1	−... − y2	= z2	+ z2	+ ... + z2	− z2	−... − z2 .	(12.17)
1	2	k	k		r	1	2	l	l +1	r

Поскольку переход от переменных x1, x2 , ..., xn к переменным y1, y2 , ..., yn

осуществлен действительным линейным невырожденным оператором, то и обратный оператор

n	(i =1, 2, ..., n)
yi = ∑bis xs		(12.18)
s =1

также является действительным невырожденным. Точно так же будет действительным невырожденным и линейный оператор

n		(j =1, 2, ..., n).
z j = ∑c ji xi			(12.19)
i =1
Предположим, что k < l , и напишем систему равенств
y1 = 0,	y2 = 0, ..., yk = 0,
zl +1 = 0, ..., zr		= 0, ..., zn = 0. ,	(12.20)
Если левые части этих равенств заменить соответственно их выражениями
(12.18) и (12.19), получим систему n − l + k			линейных однородных уравнений с n
неизвестными	x1, x2 , ..., xn . Поскольку		n − l + k < n (т.к k < l ), т.е. число

уравнений однородной системы меньше числа неизвестных, система имеет

ненулевое действительное решение α1, α2 , ..., αn .
В равенство (12.17) вместо yi , z j			подставим соответственно их выражения
(12.18) и (12.19), а вместо неизвестных x1, x2 , ..., xn - числа α1, α2 , ..., αn .
Принимая во внимание (12.20), получаем
− y2	(α)−... − y2	(α)= z2 (α)+ ... + z2 (α).		(12.21)
k +1	r	1	l
Поскольку все коэффициенты линейных операторов (12.18)				и (12.19) –

действительные числа, то все квадраты в равенстве (12.21) – неотрицательны, что влечет за собой равенство их нулю, в частности,

z1(α)= 0 , z2 (α)= 0 , …, zl (α)= 0 .

(12.22)

296

С другой стороны, по самому выбору чисел α1, α2 , ..., αn
zl +1(α)= 0 , …, zn (α)= 0 .	(12.23)

Следовательно, система n линейных уравнений zi (x)= 0(i =1, 2, ..., n) с n

неизвестными x1, x2 , ..., xn имеет ненулевое решение α1, α2 , ..., αn . Определитель

такой системы должен быть равен нулю. Это противоречит тому, что преобразование (12.19) является невырожденным. Предположение, что l < k , приводит к такому же противоречию. Отсюда следует равенство k = l , которое и доказывает теорему.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов – отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции – сигнатурой формы f .

Очевидно, если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 12.4 Две действительные квадратичные формы от n переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Доказательство. Пусть форма f переводится в форму ϕ невырожденным

линейным действительным оператором. При этом, как известно, ранг не меняется. Этот оператор не меняет и сигнатуры, поскольку в противном случае формы f и

ϕприводились бы к различным нормальным видам, а тогда форма f

приводилась бы к обоим этим нормальным видам, что противоречит закону инерции квадратичных форм.

Обратно, если квадратичные формы имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры, они приводятся к одному и тому же нормальному виду и поэтому могут быть переведены одна в другую.

Если дана квадратичная форма g в каноническом виде,

g = b y2	+ b y2	+ ... + b y2	,	(12.24)
1 1	2 2	r r

с не равными нулю действительными коэффициентами, то ранг этой формы равен, очевидно, r . Легко видеть, далее, употребляя уже применявшийся выше способ приведения такой формы к нормальному виду, что положительный индекс инерции формы g равен числу положительных коэффициентов в правой части

равенства (12.24). Отсюда и из предшествующей теоремы вытекает такой результат:

Квадратичная форма f тогда и только тогда будет иметь форму (12.24) своим каноническим видом, если ранг формы f равен r , а

положительный индекс инерции этой формы совпадает с числом положительных коэффициентов в (12.24).

12.5 Знакоопределенные квадратичные формы

297

Действительная квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) называется

положительно определенной, если она приводится к нормальному виду,

состоящему из n положительных квадратов;

f (x1, x2 , ..., xn )

~ ϕ(y1, y2 , ...,

yn ), где

ϕ(y , y

2

, ...,

y

n

)= y2

+ y2

+ ... + y2

,

(12.25)

1

1

2

n

т.е. если ранг и положительный индекс инерции равен числу неизвестных.

Система

значений

x1, x2 , ..., xn

называется

нулевой,

если

x1 = x2 =... = xn = 0

, и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.

Теорема 12.5

Действительная

квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn )

является положительно определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений x1, x2 , ..., xn .

Доказательство. Пусть f (x1, x2 , ..., xn ) - положительно определенная форма, т.е. преобразуется к виду (12.25) невырожденным линейным оператором

n	(i =1, 2, ..., n)
yi = ∑bij x j				(12.26)
s =1
(с матрицей B = (bij ), для которой det B ≠ 0 ). Фиксируем			любую	ненулевую
систему значений	x1, x2 , ..., xn . Подставляя	эту систему	значений	в (12.26),
получаем соответствующую систему значений		y1, y2 , ..., yn ,	которая также будет

ненулевой. Действительно, в противном случае имели бы линейную однородную систему с отличным от нуля определителем, обладающую ненулевым решением, что противоречит следствию из теоремы Крамера. При подстановке ненулевой системы значений y1, y2 , ..., yn в (12.25) получим ϕ(y1, y2 , ..., yn )> 0 .

Обратно, пусть квадратичная форма f не является положительно

определенной, т.е. ее ранг или положительный индекс инерции меньше n ; линейным невырожденным оператором (12.26) эта форма приводится, в частности, к одному из видов:

ϕ(y1, y2 , ..., yn )= y12 + y22 + ... + yn2−1,

ϕ(y1, y2 , ..., yn )= y12 + y22 +... + yn2−1 − yn2 .

В этом случае существует ненулевая система значений x1, x2 , ..., xn , при

которой ϕ(x1, x2 , ..., xn )= 0 или ϕ(x1, x2 , ..., xn )< 0 ; такими значениями будут значения, полученные из системы (12.26) при y1 = 0 , y2 = 0 , …, yn −1 = 0 , yn =1.

Познакомимся с теоремой, которая позволит по коэффициентам квадратичной формы установить, будет ли эта форма положительно определенной. Предварительно введем вспомогательное понятие.

Пусть дана квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) с матрицей A = (aij ). Главными минорами квадратичной формы f называются миноры порядка 1, 2

…, n матрицы A, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.

Итак, теорема 12.6:

298

Квадратичная форма f (x1, x2 , ..., xn ) с действительной матрицей

является положительно определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Например: 1) Квадратичная форма

f = 5x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 −8x1x3 − 4x2 x3

положительно определена, так как ее главные миноры

5,		5	2		=1,		5	2	− 4
							2	1	− 2		=1
		2	1				− 4	− 2	5

положительны.

2) Квадратичная форма

f = 3x12 + x22 + 5x32 + 4x1x2 −8x1x3 − 4x2 x3

не будет положительно определенной, так как ее второй главный минор отрицателен:

3 2 = −1.

2 1

Заметим, что по аналогии с положительно определенными квадратичными формами можно ввести отрицательно определенные формы, т.е. такие невырожденные квадратичные формы с действительными коэффициентами, нормальный вид которых содержит лишь отрицательные квадраты неизвестных.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются иногда полуопределенными. Наконец, неопределенными будут такие квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты неизвестных.

Приведем также без доказательства теорему о необходимом и достаточном условии того, что квадратичная форма является отрицательно определенной.

Теорема 12.7 Квадратичная форма является отрицательно определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного – отрицательны.

12.6 Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Докажем, что действительную квадратичную форму можно привести к каноническому виду с помощью ортогонального оператора.

299

Теорема 12.8 Если существует ортогональный оператор с матрицей С,
приводящий	действительную						квадратичную форму			f = f (x1, x2 , ..., xn )	к
каноническому виду
ϕ(y , y	2	, ..., y		n	)= λ y2 + λ	2	y2 + ... + λ	n	y2 ,	(12.27)
1					1 1		2		n	A квадратичной формы
то λ1, λ2 , ..., λn			- характеристические числа матрицы

f , причем столбцами матрицы С являются собственные векторы-столбцы

матрицы A с собственными числами λ1, λ2 , ..., λn .

X = CY , где

C = (cij ),

Доказательство. Пусть

ортогональный оператор

приводит квадратичную форму

f к каноническому виду (12.27), тогда матрица

квадратичной формы ϕ имеет вид

λ1

0 ...

0

D =

0

λ2 ...

0

.

(12.28)

... ... ...

...

0

0 ...

λn

Поскольку

D = CT AC

и C - ортогональная матрица, то

СT = С−1 ;

следовательно, D = C −1 AC , откуда получаем, что λi

- характеристические числа

матрицы A.

D = CT AC, CCT = E и умножая обе

Принимая во внимание выражения

части равенства (12.28) на C слева, получаем (так как CD = CC −1 AC = AC )

λ1

0

...

0

AC = С

0

λ2

...

0

.

(12.29)

... ...

...

...

0

0

...

λn

Для

элементов

bij

(i

=1, 2, ..., n)

матрицы

B = AC согласно

правилу

умножения матриц имеем

bij = ai1c1 j + ai2c2 j +... + aincnj .

С другой стороны, из

равенства (12.29) следует, что bij = cij λj , поэтому

ai1c1 j

+ ai2c2 j +... + aincnj

= λj cij (i =1, 2, ..., n),

или

c

c

1 j

1 j

c2 j

c2 j

A M

= λj

M

.

c

c

nj

nj

(j =1, 2, ..., n)

Итак,

j -й

столбец

матрицы

C

является собственным

вектором-столбцом матрицы A с собственным числом λj .

Теорема 12.9 Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональный оператор, приводящий ее к каноническому виду.

300

Теорема 12.10 Для любой действительной симметрической матрицы A

существует такая ортогональная матрица T , что T −1 AT - диагональная матрица.

Доказательство. Пусть A - действительная симметрическая матрица порядка n , f (x1, x2 , ..., xn ) - квадратичная форма с матрицей A. По предыдущей

теореме существует ортогональное преобразование, приводящее эту форму к каноническому виду. Матрицу этого преобразования обозначим через Т , тогда

T T AT = D , где D - диагональная матрица. Поскольку Т - ортогональная матрица,

т.е. T T =T −1 , то T −1 AT = D - диагональная матрица.

Следствие Любая действительная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду.

Теорема 12.11 Если линейный оператор действительного линейного пространства имеет действительную симметрическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого оператора.

Доказательство. Пусть A - действительная симметрическая матрица линейного преобразования f в ортонормированном базисе e1, e2 , ..., en , Согласно

теореме 12.10 существует такая ортонормированная матрица Т , что T −1 AT - диагональная матрица. Как известно, ортогональное преобразование Т переводит ортонормированный базис e1, e2 , ..., en в ортонормированный базис e1′, e2′ , ..., en′ , в

котором матрица f является диагональной. Это означает, что e1′, e2′ , ..., en′ - собственные векторы оператора f .

Из доказанных теорем получаем алгоритм нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму n переменных к каноническому виду:

1)записываем матрицу данной квадратичной формы, находим ее собственные значения и n попарно ортогональных собственных векторов, нормируем их;

2)составляем матрицу из ортонормированных собственных векторов-

столбцов;

3)записываем искомый ортогональный оператор с помощью последней

матрицы.

Критерий Сильвестра

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений.

Квадратичную форму f(x) = xT Ax , x = (x1 ... xn )T , будем называть:

- положительно (отрицательно) определенной, если для любого ненулевого столбца x выполняется неравенство f ( x ) > 0 ( f ( x ) < 0 );

301

- неотрицательно (неположительно) определенной, если f ( x ) ≥ 0 ( f ( x ) ≤ 0 ) для любого столбца x , для которого f ( x ) = 0 ;

-знакопеременной (неопределенной), если существуют такие столбцы x

иy , что f ( x ) > 0 и f ( y ) < 0 .

Как следует из определения, тип квадратичной формы зависит только от множества значений, которые она принимает, но не зависит от переменных, в которых она записана. Поэтому, представив квадратичную форму в каноническом виде, получаем следующие критерии для типа квадратичной формы в зависимости от множества собственных значений ее матрицы.

	Тип	квадратичной	Множество собственных значений
	формы
	Положительно		Все	собственные					значения
	определенная		положительны (λi > 0, i =					)
						1, n
	( x ≠ 0 : f ( x ) > 0)		Все	собственные					значения
	Отрицательно		отрицательны (λi < 0, i =				)
					1, n
	определенная		Есть	собственные значения					разных
	( x ≠ 0 : f ( x < 0 ))
			знаков ( λi	> 0, λj > 0)
	Знакопеременная		Есть	нулевое собственное					значение
	( x : f ( x ) > 0, y : f ( y ) < 0)
			( λ = 0).
	Вырожденная		i
	( x : x ≠ 0, f ( x ) = 0),

Хотя эта таблица дает удобную характеристику типам квадратичных форм, ее использование для определения типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением собственных значений матрицы. А это достаточно трудоемкая операция. На самом деле во многих случаях тип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы. Метод состоит в вычислении и проверке знаков некоторых миноров матрицы квадратичной формы. Введем следующие обозначения.

Пусть матрица квадратичной формы f ( x ) = xT Ax имеет вид

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		,
A =	...	...	...
...
	an2	...
an1			ann

где aij = a ji , i, j =1, n . Рассмотрим угловые миноры этой матрицы (которые также называют главными минорами):

a11

a12

a11

...

an

∆

1

= a ,

∆

2

=

, …, ∆

n

=

... ... ...

.

11

a21

a22

an1

...

ann

302

Как видим, угловой минор порядка k расположен на пересечении первых k строк и первых k столбцов матрицы. Угловой минор максимального, n -го порядка представляет собой определитель матрицы.

Теорема 12.12 (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма от n переменных была положительно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства ∆1 > 0 , ∆2 > 0 , ∆3 > 0 , …, ∆n > 0 .

Следствие 1 Для того чтобы квадратичная форма n переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись

неравенства − ∆1 > 0 , ∆2 > 0 , − ∆3 > 0 , …, ( −1)n ∆n > 0 (знаки угловых миноров

чередуются начиная с минуса).

Доказательство. Если квадратичная форма f ( x ) отрицательно определена, то квадратичная форма − f ( x ) положительно определена, и наоборот. Матрицей квадратичной формы − f ( x ) является матрица − A , противоположная матрице A квадратичной формы f ( x ). Согласной критерию Сильвестра, для положительной определенности квадратичной формы − f ( x ) необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ∆′r , r =1, n , матрицы − A были положительны. Но при умножении матрицы A на число −1 все ее элементы умножаются на это число и поэтому ∆′r =( −1)r ∆r , где ∆r - угловой минор порядка r матрицы A. Таким образом, квадратичная форма − f ( x ) положительно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства ( −1)r ∆r > 0 , r =1, n , и это условие эквивалентно тому, что квадратичная форма f ( x ) отрицательно определена.

Следствие 2 Невырожденная квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено хотя бы одно из условий:

-один из угловых миноров равен нулю;

-один из угловых миноров четного порядка отрицателен;

-два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.

Доказательство. Невырожденная квадратичная форма может либо

положительно определенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной – в зависимости от знаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если имеется нулевой угловой минор или один из угловых миноров четного порядка отрицателен, то, согласно теореме 12.12 и следствию 1, эта квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной. То же можно утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с разными знаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременная.

Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадратичной формы полностью определяется свойствами ее матрицы. Поэтому термины, введенные определением, можно перенести на симметрические матрицы. В частности, симметрическую матрицу A называют положительно

303

(отрицательно) определенной и пишут A > 0 ( A < 0 ), если положительно

(отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма. Согласно теореме 12.12 и ее следствиям, симметрическая матрица положительно определена, если все ее угловые миноры положительны. Симметрическая матрица отрицательно определена, если у ее угловых миноров знаки чередуются начиная со знака минус.

Следствие 3 Если симметрическая матрица положительно определена, то все ее диагональные элементы положительны.

Доказательство. Если A = (aij ) - симметрическая положительно

определенная матрица порядка n , то ее первый угловой минор положителен, т.е. a11 = ∆1 > 0 . Воспользовавшись тем, что утверждение следствия верно для

диагонального элемента a11 , докажем что и aii > 0 при i > 0 . В квадратичной форме xT Ax , x = (x1 , ..., xn )T сделаем замену переменных

x1 = yi ,

xi = y1 ,

x j = y j при j ≠1, i .

В новых переменных матрица A′ = (aij′ ) квадратичной формы такова, что

aii = a11′ > 0 .

Рассмотрим примеры на применение критерия Сильвестра. 1) Квадратичная форма xT Ax от трех переменных с матрицей

	1	0	−1
	0	1	1
A =
	−1	1	3
Положительно определена, так как ∆1 = ∆2 = ∆3 =1 > 0 .

2) Квадратичная форма xT Ax от трех переменных с матрицей

	1	− 3	1
	− 3	1
A =			−1
	1	−1	5

является знакопеременной, так как она невырождена ( ∆3 ≠ 0 ) и ∆1 =1 > 0 , а

∆2 = −8 < 0 .

3)Квадратичная форма 2x1x2 от двух переменных является знакопеременной, так как она невырождена ( ∆2 = −1 ≠ 0 ), а ∆1 = 0 .

4)Квадратичная форма f (x1 , x2 , x3 , x4 )= 4x1x3 + 2x2 x4 + x42 имеет угловые

миноры ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0 , ∆4 = 4 и, согласно следствию 2, является

знакопеременной. В этом можно убедиться, используя несложное преобразование вида квадратичной формы:

f (x1 , x2 , x3 , x4 )= (x1 + x3 )2 − x22 − (x1 − x3 )2 + (x2 + x4 )2 .

304

12.7 Применение теории квадратичных форм в задачах о приведении к каноническому виду уравнения кривой второго порядка и уравнения поверхности второго порядка

1 Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Дано уравнение кривой второго порядка в прямоугольной системе координат Oxy

a	x2 + 2a	xy + a	22	y2 + 2b x + 2b y + c = 0 .		(12.30)
11	12			1	2

Требуется с помощью поворота и параллельного переноса осей координат перейти к такой прямоугольной системе координат, в которой уравнение кривой имеет канонический вид.

Рассмотрим квадратичную форму, связанную с уравнением (12.30),

a11x2 + 2a12 xy + a22 y2 .

Ее матрица имеет вид

A =		a		a
			11	12		.
		a		a	22
			12						λ1(x′)2 + λ1(y′)2
Приведем				квадратичную форму			к каноническому	виду
ортогональным оператором
x			x′						(12.31)
		= P		.
y			y′						A, а столбцами
Напомним, что λ1, λ2 - собственные значения матрицы
матрицы		P	являются ортогональные				нормированные	собственные векторы

(столбцы) матрицы A. Их всегда можно выбрать так, что det P =1. Матрица P в силу свойства ортогональных матриц второго порядка имеет вид

cosϕ	− sinϕ	,
P =
sinϕ	cosϕ

т.е. P - матрица оператора поворота на угол ϕ в пространстве V2 векторов на плоскости. При таком повороте прямоугольная система координат Oxy с координатными векторами i, j (базис в пространстве V2 ) переходит в прямоугольную систему координат Ox′y′ с координатными векторами i′, j′ (другой базис в пространстве V2 ), причем (i′ j′)= (i j)P .

Пользуясь формулами (12.31), выразим, линейные члены 2b1x + 2b2 x уравнения (12.30) через координаты x′, y′. В результате в системе Ox′y′ уравнение кривой примет вид

λ1(x′)2 + λ1(y′)2 + 2b1′x′ + 2b2′ y′ + c = 0 ,

т.е. в уравнении отсутствует смешанный член (с произведением x′y′).

Далее, выделив полные квадраты по обеим переменным (или по одной переменной, если одно из чисел λi равно нулю), с помощью параллельного

305

переноса осей координат системы Ox′y′ переходим к системе O′x′′y′′, в которой

уравнение кривой имеет канонический вид.

Напомним известные вам сведения из аналитической геометрии. Уравнение кривой второго порядка может быть приведено к одному из следующих канонических видов:

x2

+

y2

=1

или

x2

+

y2

= −1

или

x2

+

y2

= 0 ,

если

кривая

a2

b2

a2

b2

a2

b2

эллиптического типа;

x2

−

y2

=1

или

x2

−

y2

= −1

или

x2

−

y2

= 0 ,

если

кривая

a2

b2

a2

b2

a2

b2

гиперболического типа;

x2 = 2 py или

y2 = 2 px (p ≠ 0) или

y2 = a

или

x2 = a ,

если

кривая

параболического типа.

Например, приведем уравнение кривой второго порядка

11x2 − 20xy − 4 y2 − 20x − 8y +1 = 0

(12.32)

к каноническому виду с помощью поворота осей координат системы Oxy и последующего параллельного переноса.

Решение. Приведем квадратичную форму 11x2 − 20xy − 4 y2 , связанную с

уравнением (12.32), ортогональным оператором к каноническому виду. С этой целью составим матрицу квадратичной формы:

			11		−10			,
	A =
		−10			− 4
и запишем характеристическое уравнение:
	11 − λ			−10			= λ2 − 7λ −144 = 0 .
	−10		− 4 − λ
Оно имеет корни λ1 = −9 ,												λ2 =16 . Далее находим взаимно ортогональные
нормированные				собственные векторы (столбцы)											F1 и F2 матрицы A: если
λ = −9 , то F				1	5			; если λ			=16 , то F			− 2	5
			=							2			=			.
1		1		2	5							2		1	5
Следовательно, искомое ортогональное преобразование имеет матрицу
		1	5		− 2			5
	P =								,
		2	5		1			5

у которой det P =1. Матрица P является матрицей оператора поворота на угол ϕ

такой, что cosϕ =			1	, sinϕ =	2	. Повернув оси координат системы Oxy на угол
	1		5		5
ϕ = arccos		(против часовой стрелки), получим прямоугольную систему					′ ′	.
	5						Ox y

При этом координаты точек преобразуются по формуле

306

x		=	x′
			P
y			y′
или		15 (x′ − 2 y′),			y = 15 (2x′ + y′).
x =						(12.33)

При ортогональном преобразовании (12.33) квадратичная форма переходит в форму

λ1(x′)2 + λ1(y′)2 = −9(x′)2 +16(y′)2 .

Запишем в новых координатах линейные члены уравнения (12.32):

−20x −8y = − 365 x′ + 325 y′.

Всистеме координат Ox′y′ уравнение кривой принимает вид

−9(x′)2 +16(y′)2 − 365 x′ + 325 y′ +1 = 0 .

Выделяя полные квадраты по обеим переменным, получаем

				+	2	2		1		2		+ 5 = 0 .
− 9 x′					5		+16 y′ +		5
Полагая					2								1
x	′′	= x	′	+		,	y	′′	= y		′	+		,
					5								5

т.е. производя параллельный перенос осей координат так, что начало координат

				−	2	, −	1
переходит в точку O′					5		5	приходим к каноническому уравнению данной
кривой
(x′′)2	−	(y′′)2	=1.
5 9		5 16

Это – каноническое уравнение гиперболы в системе координат O′x′′y′′.

2 Приведение уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду

Фигурой второго порядка в пространстве называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

a x2	+ a	22	y2 + a	33	z2 +	2a xy + 2a xz + 2a		23	yz + a x +
11						12	13		14
+ a24 y + a34 z + a44					= 0 ,				(12.34)

307

где a112 + a222 + a332 + 2 a122 + 2 a213 a232 ≠ 0 .

Сумма первых шести членов левой части уравнения (12.34) представляет собой квадратичную форму трех переменных x, y, z :

f (x, y, z) = a

x2 + a

22

y2

+ a

33

z2

+ 2a

xy + 2a xz

+ 2a

23

yz

(12.35)

11

12

13

с симметрической матрицей

a

a

a

11

12

13

A =

a12

a22

a23

.

(12.36)

a

a

23

a

33

13

центральной,

если det A ≠ 0 , и

Фигура

второго

порядка

называется

нецентральной, если det A = 0 .

С помощью ортогонального преобразования квадратичная форма (12.35)

приводится к каноническому виду

ϕ(x′, y′, z′)

= λ1 x′2 + λ2 y′2 + λ3 z′2 ,

уравнения det(A − λE)= 0 .

где

λ1 , λ2 , λ3

-

корни

характеристического

Матрица квадратичной формы ϕ =ϕ(x

′

′

′

) имеет вид

,

y , z

λ

0

0

C =

1

λ2

0

(12.37)

0

.

0

0

λ

3

Указанный ортогональный оператор уравнение (12.34) приводит к

уравнению

λ1x

′2

+ λ2 y

′2

+λ3 z

′2

′

′

′

′

′

′

′

(12.38)

+ a14 x

+ a24 y

+ a34 z

+ a44 = 0 .

Например, перейдем к такой прямоугольной системе координат, в которой

уравнение поверхности

3y2 + 3z2 + 4xy + 4xz − 2 yz −12

30x −14

30 y + 2 30z + 506 = 0

(12.39)

имеет канонический вид, и определим тип поверхности.

Решение. Квадратичная форма

3y2 + 3z2 + 4xy + 4xz − 2 yz ,

связанная с уравнением (12.39), имеет матрицу

0

2

2

2

3

−

1 .

2

−1

3

этой матрицы есть λ1 = −2 ,

λ2,3 = 4 ,

а столбцы

Собственные

значения

(векторы)

− 2 6

1 5

2 30

, F

=

F

F = 1 6

2 5

,

= −1 30

1

1 6

2

0

3

5 30

являются попарно ортогональными нормированными ее собственными векторами. Определитель матрицы, составленной из этих столбцов, равен −1,

308

Поменяв местами первый и второй							столбцы в матрице (F1 F2 F3 ), получим
ортогональную матрицу
			1	5	− 2	6	2	30
P =					1 6
	(F F F )= 2 5						−1 30 ,
	1 2	3		0	1	6	5	30
определитель которой равен единице.
Ортогональный оператор
x	x′
									(12.40)
y	= P y′
z	z′

приводит квадратичную форму к следующему каноническому виду:

4(x′)2 − 2(y′)2 + 4(z′)2 .

С помощью формулы (12.40) вычислим в новых координатах линейные члены уравнения (12.39):

−12 30x −14 30 y + 2 30z = −40 6x′ +12 5y′.

Итак, в системе координат Ox′y′z′ с координатными векторами i′, j′, k′ уравнение поверхности имеет вид

4(x′)2 − 40 6x′ − 2(y′)2 +12 5y′ + 4(z′)2 + 506 = 0 .

Выделив полные квадраты по переменным x′ и y′, получим уравнение

4(x′ − 5 6 )2 − 2(y′ − 3 5)2 + 4(z′)2 − 4 = 0 .

Положим x′′ = x′ −5 6 , y′′ = y′ − 3 5 , z′′ = z′, т.е. произведем параллельный перенос осей координат системы Ox′y′z′ так, что начало координат перейдет в точку O′(5 6, 3 5, 0). В новой системе координат O′x′′y′′z′′ уравнение поверхности имеет канонический вид:

′′ 2

(y

′′

2

′′ 2

(x

−

)

+ (z

)

2

) =1.

Это – уравнение однополостного гиперболоида.

В заключении данной главы приведем канонические уравнения основных

поверхностей второго порядка

эллипсоид

x2

+

y2

+

z

2

=1;

a2

b2

c

2

однополостный гиперболоид

x2

+

y2

−

z

2

=1;

a2

b2

c

2

двуполостный гиперболоид

309

	x2	+		y2		−	z2		= −1;
	a2			b2			c2
конус
	x2		+	y2		−	z2		= 0 ;
	a2			b2			c2

эллиптический параболоид

x2 + y2 = 2z ; a2 b2

гиперболический параболоид

x2 − y2 = 2z ; a2 b2

эллиптический цилиндр

	x2	+	y2	=1;
	a2		b2

гиперболический цилиндр

	x2	−	y2	=1;
	a2		b2

параболический цилиндр

x2 = 2z . a2

12.8 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение квадратичной формы.

2Какая матрица называется матрицей квадратичной формы?

3Запишите квадратичную форму в матричном виде.

4Какой линейный оператор называется невырожденным?

5Какие две квадратичные формы называются конгруэнтными?

6Перечислите свойства конгруэнтности квадратичных форм.

7Сформулируйте и докажите теорему о преобразовании квадратичной

формы f линейным однородным оператором X = BY .

8Сформулируйте и докажите основную теорему о квадратичных

формах.

9Какой вид квадратичной формы называется нормальным?

10Сформулируйте и докажите теорему о приведении действительной квадратичной формы к нормальному виду.

11Сформулируйте и докажите теорему – закон инерции квадратичных

форм.

12Что значит положительный индекс инерции квадратичной формы (отрицательный индекс)?

13Дайте определение сигнатуры квадратичной формы.

310

14Сформулируйте и докажите теорему – необходимое и достаточное условия конгруэнтности двух действительных квадратичных форм.

15Что вы можете сказать об определителях матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм?

16Что значит знакоопределенные квадратичные формы?

17Сформулируйте и докажите условие существования положительно определенной квадратичной формы.

18Какие миноры называются главными минорами квадратичной формы f и как они влияют на знакоопределенность последней?

19Что значит отрицательно определенные, полуопределенные, неопределенные квадратичные формы?

20Сформулируйте и докажите теорему о приведении действительной квадратичной формы к каноническому виду с помощью ортогонального оператора.

21Сформулируйте и докажите теорему о существовании ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов оператора.

22Сформулируйте правило нахождения ортогонального оператора, приводящего квадратичную форму n переменных к каноническому виду.

23Как привести уравнение кривой второго порядка к каноническому

виду?

24Сформулируйте правило приведения уравнения поверхностей второго порядка к каноническому виду.

25Сформулируйте необходимое и достаточное условия существования отрицательно определенной квадратичной формы.

311