Глава 4 Матрицы и определители

4.1 Матрицы. Основные понятия и определения

Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами. По большей части мы будем рассматривать матрицы с элементами из некоторого поля, хотя многие предложения сохраняют силу, если в качестве элементов матриц рассматривать элементы ассоциативного (не обязательно коммутативного) кольца.

Чаще всего элементы матрицы обозначаются прописной буквой с двумя индексами, указывающими «адрес» элемента – первый индекс дает номер строки, второй – номер столбца, а сама матрица обозначается заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, ..., X , Y , .... Размеры матрицы – количество ее строк

и столбцов. Таким образом, матрица, содержащая записывается в форме

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n		,
	...	...	...
...
am1	am2	...	amn

a11

a21

...

am1

a	...	a			a
12		1n			11
a22	...	a2n		,	a21
...	...	...			...
am2	...				am1
		amn

m строк и n столбцов

	a12	...	a1n
	a22	...	a2n	,	(4.1)
	... ... ...
	am2	...	amn

или короче: A = aij mn , если же интересует только размерность матрицы, то

возможна еще более короткая запись A(m × n).

Матрица, в которой число строк совпадает с числом столбцов, называется квадратной; если число строк не совпадает с числом столбцов – прямоугольной. Прямоугольная матрица размера (m ×1) - одностолбцовая или просто столбец, а

размера (1× m) - однострочная или просто строка.

Квадратная матрица имеет две диагонали. Диагональ, идущая от левого верхнего к правому нижнему углу матрицы – главная, вторая диагональ – второстепенная (или побочная). Если же все элементы квадратной матрицы, расположенные выше (или наоборот ниже) диагонали, равны нулю, матрица называется треугольной.

								1	0		3
НапримерU	,U	матрица						−1	2		4		- квадратная третьего порядка;
						A =
								6	7		− 5
элементы 1, 2 и (– 5) составляют ее главную диагональ, а 6, 2, 4 – побочную.
		1	2	7			2	0	0
Матрицы		0	3	5			1	4	0		- треугольные.
						и
		0	0	1			−1 1 6

Матрицы, составленные из чисел, естественно возникают при рассмотрении систем линейных уравнений

68

a

x

+ a

x

2

+... + a

x

n

= b ,

11

1

12

1n

1

.......................................

(4.2)

a

n1

x

+ a

n2

x

2

+... + a

nn

x

n

= b .

1

n

Входные данные для этой задачи – это множество коэффициентов,

естественно составляющих матрицу
a	a	21	...	a
11			...	1n		,	(4.3)
... ...				...
	an2		...
an1				ann

b1

и совокупность свободных членов, образующих матрицу M , (4.4)

bn

имеющую лишь один столбец. Искомым является набор значений неизвестных,

x1

который, как оказывается, удобно представлять тоже в виде матрицы x2 , (4.5)

xMn

состоящей из одного столбца.
НапримерU				,U пусть дана система линейных уравнений
2x + 3y − z = 0,
	− y				= 2,
x
		−	4z = 3,
2x
тогда матрицей системы будем называть таблицу
		2		3	−1
A =		1	−	1	0		(4.6)
						.
		2		0	− 4

Важную роль играют так называемые диагональные матрицы. Под этим названием подразумеваются квадратные матрицы, имеющие все элементы равными нулю, кроме элементов главной диагонали.

Диагональная матрица D с диагональными элементами d1, d2 , ..., dn обозначается diag(d1, d2 , ..., dn ) , в частности d(1, 1, ..., 1) - единичная матрица. Т.е

единичной называется матрица, главная диагональ которой занята единицами, а остальные элементы равны нулю, например

E2 = 1 0 - единичная матрица второго порядка.

0 1

Матрица, составленная из элементов, находящихся на пересечениях нескольких выбранных строк матрицы А и нескольких выбранных столбцов, называется субматрицей матрицы А.

69

Субматрицами матрицы (4.6), например, будут следующие таблицы

2		3	1		−1	0		1	−1		и т.д.
			,					,
	1			2	0	− 4			0
		−1						1

Матрицы одного и того же порядка считаются равными, если у них совпадают элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы нули.

Матрица называется симметричной (симметрической), если все ее элементы симметричные относительно главной диагонали равны между собой.

НапримерU ,U матрица

	1	1	0
	1				- симметрическая матрица третьего порядка.
A =		3 −1
	0	−1	4

Основными матричными операциями являются умножение числа на матрицу или матрицы на число, сложение и перемножение матриц.

4.2 Линейные операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Чтобы умножить число α на матрицу А или матрицу А на число α ,

нужно умножить на α все элементы матрицы А. НапримерU ,U

a	a				α a		α a		,
α 11	12			=		11	12
					α a21
a21	a22						α a22
a	a		α =			α a	α a
11	12					11	12		.
						α a21
a21	a22						α a22

Если рассматриваются матрицы над коммутативным кольцом К, то для любой матрицы А и любого α K справедливо равенство αА= Aα . В случае некоммутативного кольца K может оказаться, что αА≠ Aα . Беря в качестве K

кольцо всех целых чисел, получим, напримерU											,U
2		3	2		3	5	10 15
5			=				=			.
	7			7				35	− 5
		−1			−1

Для каждой матрицы А над K	и	каждых α, β K имеют	место
соотношения:
1. 1 A = A 1 = A.
2. 0 A = A 0 = O , α O = O α = O	(0	– нулевой элемент, О –	нуль-
матрица).
3. α(βA)= (αβ )A; (Aα)β = A(αβ).

70

Сумма матриц

Суммой двух матриц A и B одинаковой размерности, называется матрица, имеющая ту же размерность; элементы полученной матрицы равны суммам соответствующих элементов слагаемых матриц.

НапримерU			,U					− 2
2		1 3			0		2			2		3 1
					+					=			.
	1	− 3 5				1	2	− 5			2	−1 0

Из этого определения непосредственно вытекают соотношения:

4.A + (B + C)= (A + B)+ C .

5.A + B = B + A .

6.(α + β)A =αA + βA ; A(α + β)= Aα + Aβ .

7.α(A + B)=αA +αB ; (A + B)α = Aα + Bα .

8.A + O = O + A = A .

Вводя обозначение (−1) A = −A , будем иметь

A + (− A)= O , (−α)A = −αA , − (A + B)= −A − B , − (− A)= A .

Для краткости вместо A + (− B) обыкновенно пишут A − B и называют

разностью матриц A и B .

Линейная комбинация матриц

Пусть A1, ..., Am - несколько матриц одной размерности. Матрица с1 A1 + ... + сm Am при сi K , называется линейной комбинацией матриц A1, ..., Am . Нам придется применять этот термин преимущественно к строкам и

столбцам.

Рассмотрим в свете этого понятия систему линейных уравнений общего

вида

a x

+ a x

2

+... + a

x

n

= b ,

11 1

12

1n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn = b2 ,

.......................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

n

= b

,

m1 1

m

введем в рассмотрение столбцы из коэффициентов

a11 A1 = aM21 ,am1

a12 A2 = aM22am2

, …,

a1n An = aM2n

amn

71

b1

и столбец из свободных членов B = b2 .

bMm

Очевидно, что при этих обозначениях, систему можно записать в виде x1 A1 + x2 A2 + ... + xn An = B .

Тогда задача решения системы уравнений превращается в задачу: даны п столбцов A1, A2 , ..., An и столбец B ; требуется представить столбец B в виде

линейной комбинации A1, A2 , ..., An .

4.3 Умножение матриц

Введем теперь действие умножения матрицы на матрицу.

Предварительно рассмотрим частный случай:

Произведением строки А на столбец В одной и той же длины,

b1 A = (a1, a2 ,..., an ), B = bM2 ,bn

называется число a1b1 + a2b2 + ... + anbn .

Для прямоугольных матриц

A и B произведение определено в случае,

если длины строк первого сомножителя

A

равны

длинам столбцов второго

сомножителя B , т.е.

если число столбцов

A равно числу строк B . Именно,

произведение AB матриц A и B составляется из произведений строк A на

столбцы

B ,

при

их естественном расположении в матрице. Точнее:

произведением AB матрицы A на матрицу B , где

a

a

...

a

b

b

...

b

11

12

1k

11

12

1n

A =

a21

a22

...

a2k

b21

b22

...

b2n

,

...

...

...

, B =

...

...

...

... ...

a

m1

a

m2

...

a

b

b

...

b

mk

k1

k 2

kn

j -го столбец столбца,

называется матрица

C ,

элемент

cij , i -ой строки и

которой равен произведению i -ой строки A на				j -й столбец B (т.е. равен сумме
произведений элементов i -ой строки матрицы				A на элементы	j -го столбца
матрицы B ). То есть			k
сij = ai1b1 j + ai2b2 j +... + aik bkj = ∑aiαbαj .
Повторимся,		произведениеU	α =1
			матриц определено при условии, еслиU
количествоU	столбцов	первой матрицы совпадает с количеством			строк второй

матрицы.U В результате же произведения получится матрица, число строк которой

72

свойства:

2.

3.

будет таким же как у первой из перемножаемых матриц, а число столбцов – как у второй, т.е. A(m× p) B(p×k ) = C(m×k ).

Рассмотрим примерыU :U

1)(1 2) 3 =1 3 + 2 4 =11.

4

2)		1	2 1			2			1 1 + 2 5	1 2 + 2 3	11 8
								=			=		.
		3	4		5	3						23 18
									3 1 + 4 5 3 2 + 4 3
3)		1	2 1			2			1 1 + 2 3 1 2 + 2 4			7 10
								=			=		.
		5	3		3	4			5 1 + 3 3
										5 2 + 3 4	14 22

Последние два примера поучительны тем, что в них рассматриваются произведения одинаковых сомножителей, но в разных порядках. Результаты получились различными. Следовательно, свойство коммутативности при умножении даже квадратных матриц не имеет места.

	Матрицы A и B , для которых							AB = BA, называются коммутирующими
	или перестановочными.						1	2				0	4
	НапримерU			,U	матрицы					и					коммутируют, т.к.
						A =					B =
							3	4				6	6
		12	16
	AB = BA =				.
		24	36

Основные свойства умножения матриц

Рассмотрим теперь основные свойства умножения матриц.

1. α(AB)= (αA)B ; A(αB)= (Aα)B ; (AB)α = A(Bα).

Пусть A = aij mn , B = bjk np . Пользуясь правилом умножения матриц, мы

получим для элемента, находящегося в i -ой строке и k -ом столбце матрицы α(AB) (i =1, ..., m; k =1,..., p ) следующее выражение:

α(ai1b1k +K+ ainbnk ).

Аналогично, для элемента, находящегося в той же i -ой строке и k -ом столбце матрицы (αA)B , получим выражение:

(α ai1 )b1k +K+ (α ain )bnk .

Так как оба выражения равны, то первое из равенств 1 доказано.

Таким же способом доказываются и остальные два равенства из 1, а также

(A + B)C = AC + BC .

C( A + B) = CA + CB .

Из свойств 2, 3 непосредственно вытекает общее правило:

чтобы умножить сумму матриц на сумму матриц, нужно каждую матрицу первой суммы умножить на каждую матрицу второй и полученные произведения сложить.

73

Мы видели, что закон коммутативности для произведения матриц не выполняется: AB может отличаться от BA. Однако второй арифметический закон

–ассоциативность умножения – для матричного умножения выполняется.

4.A(BC) = (AB)C .

Для доказательства положим AB = M , BC = N и обозначим элементы матриц M , N через mik , d jl . По правилу умножения матриц имеем

mik = аi1b1k + ai2b2k +K+ ainbnk , d jt = bj1c1l + bj2c2l +K+ bjpcpl ,

где aij , bjk , ckl - элементы матриц A, B , C . Выполняя умножение M на C , мы в i -ой строке и l -ом столбце матрицы (AB)C получим сумму:

mi1c1l + mi2c2l +K+ mipcpl = ∑∑aijbjk ckl ,

k	j
Аналогично, выполняя умножение A на N , мы в i -ой строке и l -ом
столбце произведения A(BC) получим сумму:
ai1d1l + ai2d2l +K+ aindnl = ∑∑aijbjk ckl .
j	k

Так как обе эти суммы отличаются лишь порядком слагаемых, то свойство

4 доказано.

Из свойства 4 следует, что произведение нескольких матриц A, B , C , …, F , записанных в определенном порядке, от способа расстановки скобок не зависит. Поэтому можно говорить не только о произведении двух, но и о произведении большего числа матриц. Например, можно говорить просто о произведении четырех матриц A, B, C, D , так как все пять возможных способов

вычисления этого произведения

((AB)C)D , (A(BC)D), A((BC)D), A(B(CD)), (AB)(CD)

дают один и тот же результат. Действительно, каждое следующее произведение получается из предшествующего непосредственным применением закона ассоциативности 4.

Выше уже отмечалось, что не всякие две матрицы можно сложить или перемножить, так как для осуществимости таких действий необходимы известные соотношения между числами строк и столбцов. Это неудобство исчезает, если рассматривать только квадратные матрицы некоторого фиксированного порядка n . Любые две такие матрицы можно сложить или перемножить, также помножить на любые числа из K , и в результате снова получатся квадратные матрицы одного и того же порядка n . Свойства действий над матрицами показывают, что

совокупность всех квадратных матриц данного порядка n над произвольным ассоциативным кольцом K является снова ассоциативным кольцом относительно матричных операций сложения и умножения.

Отметим еще, что представляют собой субматрицы произведения двух

матриц. Пусть
c	K c
11	1n
C = K	K K	= AB .
cm1	K cmn

74

Субматрица, образованная строками с номерами a1, a2 , ..., ak и столбцами b1, b2 ,..., bl равна произведению субматрицы матрицы A, составленную из строк a1, a2 , ..., ak на субматрицу матрицы B составленную из столбцов b1, b2 ,..., bl . Это непосредственно следует из того, что Cai b j есть

произведение ai -ой строки матрицы A на bj -й столбец матрицы B .

Итак, мы изучили действие над матрицами – умножение матрицы на число, сложение и перемножение матриц. Теперь, обладая этими знаниями, для нас становится очевидным, что любую систему линейных уравнений, например, систему

y

= a x

+ a x

2

+K+ a

x

k

,

1

11 1

12

1k

y2 = a21x1 + a22 x2 +K+ a2k xk ,

........................................

y

m

= a

x

+ a

m2

x

2

+K+ a

mk

x

k

m1 1

можно записать в матричных обозначениях

Y = AX ,

y

a

a

...

a

x

1

11

12

1k

1

y2

,

a21

a22

K a2k

,

x2

где Y =

M

A =

K

K

K

K

X =

M

.

am2

ym

am1

L amk

xk

(4.7)

(4.8)

При этом уравнение (4.8) будем называть матричным уравнением системы линейных уравнений (4.7). Таким образом, решить систему (4.7) означает решить матричное уравнение (4.8). Вопросами решений матричных уравнений мы займемся позднее. Отметим еще, что особую роль при умножении матриц играют единичные матрицы. Повторимся, единичными матрицами называются квадратные матрицы, элементы главной диагонали которых равны 1, остальные элементы нули. Обозначать единичные матрицы будем En (если нужно указать

порядок) или просто E . Таким образом,

		1	0	K 0
		0	1	K 0
	E =	K K		K K	.
		0	0	K 1

Непосредственным вычислением для любой квадратной матрицы A получим равенство AE = EA = A , выражающее основное свойство матрицы E . Таким образом, единичная матрица при умножении матриц играет роль единицы. Мы уже знаем, что матрицы, имеющие вид

α		0	K 0
	0	β	K 0
					,
		...	K ...
...
	0	0	K γ

называется диагональными.

75

Из правил действия над матрицами непосредственно вытекает, что сумма и произведение диагональных матриц будут снова диагональными матрицами,

действительно:

α		0
	0	β
... ...
	0	0

K 0		α1
K 0			0
... ...		+
		...
K γ			0

0	K 0		α +α1		0	K 0
β1	K 0			0	β + β1	K 0
								,
...	K ...		=		...	K ...
			...
0				0	0
	K γ1					K γ + γ1

α 0			K 0		α1		0	K 0	αα1			0
	0	β	K 0			0	β1 K 0				0	ββ1
	... ...		K ...				...	K ...		=
					...					... ...
	0	0	K γ			0	0	K γ1			0	0

K0

K0 .

K...

Kγγ1

Рассмотрим теперь произвольную квадратную матрицу X порядка n с элементами из кольца K . По определению полагаем

X 0 = E , X 1 = X , X 2 = XX , X 3 = XXX , …

Так как в произведениях нескольких матриц скобки можно расставлять

произвольно, то для любых целых неотрицательных p , q	и произвольной
квадратной матрицы X над ассоциативным кольцом K имеем
X p X q = X p +q ,	(4.9)
(X p )q = X pq .	(4.10)
Мы уже знаем, что матрицы A и B называются перестановочными, если
AB = BA.	(4.11)

Из соотношения (4.9) получаем

X p X q = X p +q = X q X p ,

и, значит, все натуральные степени одной и той же матрицы перестановочны между собой.

Справедливо и более общее утверждение: если матрицы A и B

перестановочны, то любые их натуральные степени также перестановочны и для любого натурального p имеем

(AB)p = A p B p = B p A p = (BA)P .

(4.12)

4.4 Многочлен от матрицы

Рассмотрим теперь какой-нибудь многочлен от λ

ϕ(λ)=α0 +α1λ + ... +αnλn ,

коэффициенты которого принадлежат кольцу K . Если A - какая-нибудь квадратная матрица над K , то выражение

α0 E +α1 A + ... +αn An

называется значением многочлена ϕ(λ) при λ = A или, короче, соответствующим многочленом от матрицы A. Предполагая кольцо K коммутативным, легко

76

приходим к заключению, что значение суммы многочленов от A равно сумме значений слагаемых, а значение произведения многочленов равно произведению значений сомножителей.

В качестве примераU U рассмотрим равенство:

λ2 −1 = (λ −1)(λ +1).

Беря значения левой и правой частей при λ = A, получим матричное

равенство

A2 − E = (A − E)(A + E).

Аналогичным путем из равенства

λ3 +1 = (λ +1)(λ2 − λ +1)

получим соотношение

A3 + E = (A + E)(A2 − A + E).

Вообще из каждого соотношения между многочленами от λ таким способом получается некоторое матричное тождество. В частности, по правилам действий с многочленами имеем

ϕ(λ)ψ (λ)=ψ (λ)ϕ(λ).

Подставляя сюда вместо λ какую-нибудь квадратную матрицу A, получим

ϕ( A)ψ (A)=ψ (A)ϕ(A).

Следовательно, многочлены от одной и той же матрицы перестановочны друг с другом.

4.5 Транспонирование матриц

Замена строк матрицы на ее столбцы, а столбцов – на строки называется

транспонированием матрицы. Так, если

	a			a		K a
			11	12			1n
	a21			a22		K a2n
А=		K		K		K	K		,
	am1			am2 K amn
то транспонированная с ней матрица имеет вид
		a		a	21	K a		m1
			11
T		a12		a22		K am2
А	=		K	K K			K			.
				a			a
		a			2n	K
			1n					mn
Ясно,			что	дважды			транспонировать - значит вернуться к исходной

матрице: (AT )T = A . Ясно также, что (A + B)T = AT + BT и (cA)T = cAT . Несколько сложнее дело обстоит с транспонированием произведения.

Именно:

77

Матрица, транспонированная с произведением двух матриц, равна произведению транспонированных с ними матриц, взятых в обратном порядке.

В буквенной записи:

(AB)T = BT AT .

(4.13)

Докажем это утверждение. Пусть

a

a

K a

b

b

K b

11

12

1n

11

12

1k

a21

a22

K a2n

b21

b22 K b2k

А=

K

K

K K

, B =

K

K

K K

.

a

K a

b

K b

a

m1

m2

b

mn

n1

n2

nk

Положим

c

c

K c

d

d

K d

11

12

1m

11

12

1n

T

a21

c22

K c2m

,

B

T

d21

d22 K d2n

,

А = C =

K

K K

K

= D =

K

K K K

dk 2 K

dkn

cn1

cn2 K cnm

dk1

так что c ji = aij , dβα = bαβ . Пусть, далее,

f

f

K f

g

11

g

K g

11

12

1k

12

1m

AB =

f21

f22

K f2k

, B

T T

= DC = G =

g

21

g22

K g2m

F =

K

K

K

K

A

K

K

K K

.

fm1

gk 2

fm2 K fmk

gk1

K gkm

k

Тогда fij = ∑aiαbαj

,

n

α =1

n

n

g ji = ∑d jαcαi = ∑bαj aiα = ∑aiαbαj = fij .

α=1

α=1

α=1

Итак,

g ji = fij

при всех

i =1, 2, ..., m

и

j =1, 2, ..., k ,

а это и значит,

что

G = F T , т.е.

(AB)T = BT AT , что и требовалось доказать.

4.6 Симметрическая матрица, кососимметрическая матрица

Если A - произвольная квадратная матрица и

AT = A ,

то A является симметрической; если же

AT = −A ,

то – кососимметрической.

Из правила транспонирования произведения непосредственно вытекает,

что произведение симметрических матриц есть матрица симметрическая, а произведение кососимметрических – матрица кососимметрическая.

Действительно, пусть даны симметрические матрицы A и B (т.е. AT = A , BT = B ). Тогда на основании (4.13), имеем

78

(AB)T = BT AT = BA = AB .

Аналогично доказывается правило кососимметрических матриц.

Отсюда следует, что степени симметрической матрицы являются симметрическими матрицами и многочлены от симметрической матрицы являются также матрицами симметрическими.

4.7Обратная матрица

Квадратная матрица A над кольцом K называется обратимой (над K ), если существует квадратная матрица X над K , удовлетворяющая соотношениям

AX = XA = E .	(4.14)
Каждая матрица X , удовлетворяющая условиям (4.14),	называется
матрицей, обратной к A, или обращением матрицы A.

У каждой обратимой матрицы A существует лишь одно обращение.

Действительно, если наряду с матрицей X условиям (4.14) удовлетворяет матрица Y , то, умножая обе части равенства

AY = E

слева на X , получим

XAY = XE ,

откуда следует, что Y = X .

Обращение матрицы A, если оно существует, обозначается через A−1 . Таким образом, по определению

A A−1 = A−1 A = E .	(4.15)
Продолжим, в условия (4.14) матрицы A и X	входят симметрично, и
потому если X есть обращение A, а A есть обращение X , иными словами,
(A−1 )−1 = A .	(4.16)

Если квадратные матрицы A, B , C одного и того же порядка обратимы, то их произведение ABC также обратимо и

(ABC )−1 = C −1B−1 A−1 ,

(4.17)

т.е. обращение произведения матриц равно произведению обращений сомножителей, расположенных в противоположном порядке.

Действительно, рассмотрим произведение матрицы (ABC) на матрицу (C−1B−1 A−1 ), имеем:

ABC C −1B−1 A−1 = ABB−1 A−1 = AA−1 = E .

Таким образом, матрица ABC является обратной матрице (C−1B−1 A−1 ), т.е.

(ABC )−1 = C −1B−1 A−1 .

Для каждой обратимой матрицы A наряду с натуральными степенями

A0 = E , A1 = A , A2 = AA, … рассматривают и ее целыеU отрицательные степени,U полагая по определению

A−2 = A−1 A−1 , A−3 = A−1 A−1 A−1, …

79

и используя (4.15) заключаем, что для любой обратимой матрицы A и любых целых (не обязательно положительных) чисел p , q имеют место обычные

правила действий со степенями

A p Aq = A p +q , (A p )q = A pq ,

и если матрицы A, B обратимы и перестановочны, т.е. AB = BA, то

(AB)p = A p B p .

Посмотрим теперь, как связаны между собой операции транспонирования и обращения. Применяя правило транспонирования произведения матриц к соотношениям (4.14), получаем

X T AT = AT X T = E ,	A получается снова
т.е. в результате транспонирования обратимой матрицы
обратимая матрица и
(AT )−1 = (A−1 )T ,	(4.18)

т.е. матрица, обратная транспонированной, транспонированна обратной.

4.8 Ортогональная матрица
Квадратная матрица A называется ортогональной, если
AAT = AT A = E ,	(4.19)

т.е. A - ортогональна, если ее транспонированная матрица является обратной исходной. Отсюда, в частности, следует, что каждая ортогональная матрица обратима.

Так как (AT )T = A , то из (4.19) вытекает, что обращение ортогональной матрицы есть ортогональная матрица.

Далее, если матрицы A, B ортогональны, то

AT = A−1, BT = B−1

и, значит,

(AB)T = BT AT = B−1 A−1 = (AB)−1 .			(4.20)
Иными словами, произведение ортогональных матриц есть
ортогональная матрица.
Рассмотрим	еще одну	матричную операцию. Пусть A -	произвольная
матрица, элементы	которой	являются комплексными числами.	Заменим в A

каждый элемент комплексно сопряженным числом. Полученная таким способом

новая матрица называется комплексно сопряженной с A и обозначается A, Операция перехода к комплексно сопряженной матрице обладает следующими свойствами:

αA + βB =α A + βB ,

AB = A B ,

80

AT = (A)T ,

A−1 = (A)−1 .

4.9 Эрмитовая матрица. Унитарная матрица

Матрицы A и AT называются эрмитово-сопряженными. Если A = AT ,

то A называют эрмитовой или эрмитово-симметрической.

Матрица A, удовлетворяющая соотношению

AT A = AAT = E ,

называется унитарной.

Таким же способом, как и для ортогональных матриц, доказывается, что

матрица, обратная к унитарной матрице, является унитарной и что произведение унитарных матриц является снова унитарной матрицей.

Если все элементы матрицы A - числа действительные, то A = A, и, следовательно, для действительных матриц понятие симметричности и эрмитовой симметричности, унитарности и ортогональности соответственно совпадают.

В заключении перечислим основные свойства операций над матрицами

(включая транспонирование матрицы, сложение, умножение на число, перемножение матриц)

1.(A + B) + C = A + (B + C) .

2.A + B = B + A .

3.Существует 0: A + 0 = 0 + A = A.

4.Для A существует − A : A + (−A) = 0.

5.(с1 + с2 )A = c1 A + c2 A .

6.c(A1 + A2 )= cA1 + cA2 .

7.c1(с2 A)= (c1c2 )A.

8.1 A = A .

9.(AB)С = A(BC).

10.A(B1 + B2 )= AB1 + AB2 .

11.(A1 + A2 )B = A1B + A2 B .

12.(сA)B = A(cB).

13.EA = AE = A .

14.(AT )T = A .

15.(A + B)T = AT + BT .

16.(cA)T = cAT .

17.(AB)T = BT AT .

81

4.10 Определитель матрицы

Пусть дана в общем виде система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

a		x	+ a	x	2	= b	,	(4.21)
	11	1	12			1
a21x1 + a22 x2 = b2 .

Решим эту систему методом исключения неизвестных, знакомого нам еще со школы. Для того чтобы исключить переменную x2 умножим первое уравнение

на a22 , второе на − a12

a11a22 x1 + a12a22 x2 = b1a22 ,− a12a21x1 − a12a22 x2 = −b2a12 .

Теперь сложим почленно полученные уравнения и вынесем за скобки общий множитель

x1(a11a22 − a12a21 )+ x2 (a12a22 − a12a22 )= b1a22 − b2a12 , x1(a11a22 − a12a21 )= b1a22 − b2a12 ,

откуда		b1a22	− b2a12
x =				.		(4.22)
1	a11a22		− a12a21
Аналогично, умножив первое уравнение системы (4.21) на − a21 , а второе
на a11, получим
x2 =		a11b2 − a12b1			.	(4.23)
		a11a22 − a12a21

Таким образом, при условии, что a11a22 − a12a21 ≠ 0 , система (4.21) имеет

решение (4.22), (4.23).

Замечаем, что в формулах (4.22), (4.23) знаменатель один и тот же, числители же по форме очень напоминают знаменатель.

Выражение		a11a22 − a12a21 носит специальное название определитель
a	a		, являющейся в данном случае матрицей системы (4.21).
матрицы 11	12
	a22
a21

Определителем квадратной матрицы второго порядка (или короче – определителем второго порядка) называется число, равное разности произведений элементов, стоящих на главной диагонали матрицы и произведений элементов побочной диагонали.

Определитель матрицы обозначается символом

a11 a12 , a21 a22

т.е. по определению

a11	a12	= a	a	22	− a a	21	.	(4.24)
a21	a22	11			12

82

Числа a11, a22 , a12 , a21 называются элементами определителя матрицы

второго порядка. Каждый элемент определителя обозначается буквой a с двумя индексами: первый обозначает номер строки, второй – номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент (например, элемент a21 – элемент определителя, находящийся на пересечении второй строки и

первого столбца).

Определитель матрицы называют также детерминантом. Для

определителя матрицы A употребляются следующие обозначения:

A

, ∆, det A ,

det(aik ).

С помощью понятия определителя формулы (4.22), (4.23) записываются в

виде

b1

a12

a11

b1

x =

b2

a22

,

x

2

=

a21

b2

.

(4.25)

1

a11

a12

a11

a12

a21

a22

a21

a22

Заметим также, что числители (4.25) есть определители, полученные из определителя (4.24) путем замены первого столбца (при нахождении x1 ) или

второго столбца (при нахождении x2 ) столбцом из свободных членов. С учетом следующих обозначений

∆ =					a11		a12						; ∆x =					b1				a12					; ∆x			2	=	a11			b1	,
					a21		a22					1						b2				a22										a21			b2
формула (4.25) примет вид
x	=				∆x1		;							x		=			∆x2			, (∆ ≠ 0)									.				(4.26)
1					∆										2				∆
Применяя, например, эти формулы к решению системы
2x − 3y = 5,
					+ 4 y = 7,
3x
получим					5	− 3																				2	5
x =					7	4					=		41	,					y =							3 7					= −		1	.
					2	− 3						17
																								2			− 3				17
					3	4																		3			4
Аналогичным образом, решая систему трех уравнений с тремя
неизвестными
a x + a x													+ a x				= b			,
	11				1	12					2	13				3	1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2,																																			(4.27)
a x + a x													+ a x					= b			,
	31				1	32					2	33				3	3

методом исключения неизвестных мы можем найти выражения для x1 , x2 и x3 .

83

Предоставляем читателю выполнить эту процедуру самостоятельно, мы же отметим, что, как и в случае с системой (4.21) решение системы (4.27) представляются в виде дробей с одним и тем же знаменателем, числители же так же как и в первом случае напоминают структуру знаменателя. При этом, число записанное в знаменателе, называют определителем (или детерминантом) матрицы заданной системы и обозначают

	a	a	a		a	a	a
	11	12	13		11	12	13
∆ =	a21	a22	a23	= det a21		a22	a23		= det A .	(4.28)
	a31	a32	a33			a32	a33
					a31
Обозначим через ∆x					определитель матрицы, полученный из определителя
				1

(4.28) путем замены первого столбца столбцом из свободных членов, собственно ∆x2 - заменой второго столбца столбцом из свободных членов, а ∆x3 - третьего

столбца. Тогда формулы для нахождения решения системы (4.27), принимают вид

x

=

∆x

;

x

=

∆x

,

x =

∆x

3

(∆ ≠ 0).

(4.29)

1

2

∆

∆

∆

1

2

3

Эти формулы носят названия формул Крамера. Но исследованием систем линейных уравнений и методов их решений мы займемся с вами позднее, здесь же остановимся на, только что введенном, понятии определителя, обобщим это понятие на определитель n −го порядка, изучим свойства, которыми обладает определитель и методы его вычисления.

Итак, определителем квадратной матрицы называется алгебраическая сумма произведений элементов матрицы, причем эти произведения составляются по одному элементу из каждой строки и по одному элементу из каждого столбца. Все такие произведения входят в состав определителя, при этом знак таких произведений для определителя второго порядка определяется по схеме

для определителя третьего порядка

Для того чтобы определиться со знаками слагаемых при вычислении определителя произвольного, n −го порядка нам необходимо познакомиться с элементарными сведениями теории перестановок.

4.11 Элементарные сведения теории перестановок
Перестановкой из n натуральных чисел 1, 2, 3, …,	n называется любое
их расположение, взятое в определенном порядке.
Произвольную перестановку из n чисел будем	записывать в виде
(α1, α2 , ..., αn ), где каждое αi - одно из чисел 1, 2, …, n и αi	≠α j при i ≠ j .

84

Две перестановки (α1, α2 , ..., αn ) и (β1, β2 , ..., βn ) называются равными, если αi = βi при i =1, n , В противном случае перестановки называют неравными

(различными).

Подсчитаем, напримерU ,U число различных перестановок из чисел 1, 2, 3, …, n . Так как на первом месте можно поместить любое из n данных чисел, на втором – любое из n −1 оставшихся чисел и т.д., то получаем n (n −1) (n − 2) K 2 1 различных перестановок.

Итак, число различных перестановок из чисел 1, 2, 3, …, n , равно произведению 1 2 3 ... (n −1) n , которое обозначается n! («эн факториал»).

Будем говорить, что два числа образуют инверсию в перестановке, если

бо′льшее число стоит левее ме′ньшего.

Например, в перестановке (1, 4, 5, 3, 2) инверсию образуют следующие пары чисел: 4 и 3; 4 и 2; 5 и 3; 5 и 2; 3 и 2. Итак, в рассматриваемой перестановке

пять пар чисел образуют инверсию, т.е. имеется пять инверсий.
Число инверсий	в перестановке	(α1, α2 , ..., αn ) будем обозначать через
k(α1 , α2 , ..., αn ).	что k(α1 , α2 , ..., αn )= k1 + k2 + ... + kn−1 , где ki (i =			) -
Легко заметить,
			1, n −1
число чисел, стоящих перед числом αi		в перестановке, полученной из данной

зачеркиванием чисел, меньших αi (если таковые имеются).

НапримерU ,U найдем число инверсий в перестановке (3, 1, 2, 4):

Перед числом 1 стоит одно число, следовательно, k1 =1. Зачеркнем 1. Теперь перед числом 2 стоит одно число, следовательно, k2 =1. Аналогично получаем k3 = 0 (перед числом 3 не стоит ни одного числа). Следовательно, k (3, 1, 2,4) =1+1+0=2.

Заметим, что если числа в перестановке записаны в порядке возрастания, то число инверсий равно нулю.

Если число инверсий в перестановке четное, то она называется четной, в противном случае – нечетной.

Если в данной перестановке поменять местами два числа αi и α j при

условии, что остальные числа остаются на своих местах, то говорят, что новая перестановка получена из данной транспозицией чисел αi и α j .

Считают, две перестановки имеют разный характер четности, если одна из них – четная, а другая – нечетная.

Очевидны следующие утвержденияU :U

1. Пусть в некоторой перестановке сделана транспозиция. Она равна произведению нечетного числа транспозиций соседних элементов.

2. При транспозиции соседних элементов число инверсий в перестановке меняется на одну единицу.

3. Если в перестановке сделать транспозицию соседних элементов, то четность перестановки изменится на противоположную.

85

4. Любая транспозиция изменяет четность перестановки на противоположную.

Действительно, любая транспозиция равносильна нечетному числу

транспозиций соседних элементов.

5. Число четных перестановок n элементов равно числу нечетных перестановок.

6. Любая перестановка может быть получена из любой другой посредством нескольких транспозиций.

4.12 Определитель n -го порядка

Ранее была уже дана предварительная формулировка определителя, однако в этой формулировке отсутствовало правило, по которому определялись бы знаки слагаемых, входящих в определитель любого порядка. Это правило связано с разбиением перестановок (на четные и нечетные).

Приводим полную формулировку определителя.

Определителем квадратной матрицы называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и по одному из каждого столбца. Сомножители в каждом слагаемом записываются в порядке следования строк, номера же столбцов образуют перестановки; слагаемые, соответствующие четным перестановкам, берутся со знаком «плюс», соответствующие нечетным – со знаком «минус».

Легко проследить, что расстановка знаков в определителях второго и третьего порядков соответствует сформулированному правилу.

В символической записи определитель можно записать так:

	a11	a12	a13	= ∑(−1)k (α1 , α2 , ..., αn )a1α1 a2α2 ...anαn ,
	a21	a22	a23
	a31	a32	a33	(α1 , α2 , ..., αn )
где (α1 ,	α2 , ..., αn ) пробегает все перестановки чисел 1, 2, …, n ; далее множитель
(−1)k (α1 , α2 , ..., αn ) равен +1, если (α1 , α2 , ..., αn ) - четная перестановка, и равен – 1,

если нечетная.

Ясно, что понятие определителя имеет смысл для матриц с элементами из любого ассоциативного коммутативного кольца и, в частности, из любого поля. Вычислить определитель, например, 5 или 6-го порядка пользуясь этим определением очень затруднительно. Поэтому прежде чем говорить о правилах вычисления определителя n -го порядка рассмотрим теорему Лапласа, согласно которой вычисление определителя n -го порядка можно свести к вычислению определителей более низких порядков.

Теорема Лапласа

Введем несколько понятий.

86

	a	a
	11	12
Пусть	a21	a22
	A =	...
	...
		an2
	an1

... a1n

... a2n

... ...

... ann

- квадратная матрица порядка n .

Минором порядка k для этой матрицы называется определитель матрицы, составленной из элементов, находящихся на пересечении некоторых выбранных k строк и k столбцов. В общем виде минор порядка k можно записать в форме

aα1β1 ... aα1βk

... ... ... .

aαk β1 ... aαk βk

Здесь α1 , ..., αk - номера выбранных строк α1 < α2 < ... < αk , и β1 , ..., βk - номера выбранных столбцов β1 < β2 <... < β k .

Минором, дополнительным к данному минору порядка k , называется минор порядка n − k , матрица которого получается из исходной посредством вычеркивания строк и столбцов, содержащих данный минор порядка k .

Алгебраическим дополнением к данному минору называется дополнительный минор с множителем ( −1)α1+...+αk +β1+...+βk .

Теорема Лапласа Пусть в матрице определителя выбраны k строк. Определитель равен сумме произведений всех миноров порядка k , составленных из этих строк, на их алгебраические дополнения.

Например, если для определителя

	a11	a12	a13	a14
∆ =	a21	a22	a23	a24
	a31	a32	a33	a34
	a41	a42	a43	a44

выбрать первые две строки, теорема Лапласа дает

∆ =

a11

a12

a33

a34

−

a11

a13

a32

a34

+

a11

a14

a32

a33

+

a21

a22

a43

a44

a21

a23

a42

a44

a21

a24

a42

a43

a12

a13

a31

a34

−

a12

a14

a31

a33

+

a13

a14

a31

a32

.

+

a22

a23

a41

a44

a22

a24

a41

a43

a23

a24

a41

a42

Доказательство теоремы Лапласа довольно громоздко. Поэтому мы опускаем его. Очень важным является частный случай теоремы Лапласа.

Рассмотрим ступенчатую матрицу A. Ступенчатая матрица устроена так:

87

	a	a	...	a	0	...	0
	11	12		1m
	a21	a22	...	a2m	0	...	0
...		...	...	...	...	...	...
	am1	am2	...	amm	0	...	0
A =								.
		am+1,2	...	am+1,m	am+1m+1	...
am+1,1							am+1,п
		...	...	...	...	...	...
...
	ап1	ап2	...	апт	ап,т+1	...	атт

Если к определителю ступенчатой матрицы применить теорему Лапласа,

то

	a11	a12	...	a14		am+1,m+1	... am+1,n
	a21	a22	...	a24
det A =						...	...	...	.
	...	...	...	...		аn,m+1	...	ann
	am1	am2	...	amm

Для приложений теории определителей теорема Лапласа, в основном, ценна именно в частном случае определителя ступенчатой матрицы.

НапримерU ,U вычислим определитель 7-го порядка.

Решение.
		1	2						0	0			0			0	0
		3	4						0	0			0			0	0							1	2	3	0	0
		5	6						1	2			3			0	0		=		1 2			2	3	4	0	0		=
		7	8						2	3			4			0	0							3	1	2	0	0
		π е							3	1			2			0	0				3 4			e−1 c d 2 5
		х у е−1								c d 2 5														π 2	p q 3 7
		u	v					π 2		p			q			3	7
		1 2						1	2 3						2 5			= (−2) (−3) (−1) = −6 .
								2	3 4
		3	4					3	1	2					3	7

В данном примере мы дважды применили теорему Лапласа к исходному определителю ступенчатой матрицы.

На основании теоремы Лапласа можно утверждать, что поскольку любой определитель n - го порядка сводится к вычислению определителей, например, второго или третьего порядков, то все свойства для определителей второго и третьего порядков справедливы и для определителя любого порядка.

Прежде чем заняться изучением свойств определителя, познакомимся с понятиями минора элемента определителя и алгебраического дополнения элемента определителя.

88

Минором элемента aij заданного определителя называется определитель,

полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента aik обозначается M ik .

НапримерU ,U минором элемента a21 определителя

a11 a12 a13

a21

a22

a23

(4.30)

a31

a32

a33

является определитель второго порядка

M 21 =

a12

a13

,

a32

a33

а, напримерU

,U минором элемента a

21

определителя

a11

a12

является элемент a

-

a21

a22

12

определитель первого порядка.

Алгебраическим дополнением элемента aik

заданного определителя

называется

его

минор, взятый

со знаком (−1)i+k

и

обозначается A , т.е.

ij

A = (−1)i + j

M

ij

.

ij

НапримерU

,U алгебраическим дополнением элемента a21 определителя (4.30)

является определитель M 21 , взятый со знаком минус, т.е.

A = (−1)2+1 M

21

= −

a12

a13

.

21

a32

a33

4.13 Свойства определителей

Свойства определителей второго и третьего порядков

Свойства определителей второго и третьего порядков выражаются следующими теоремами.

1. Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

Доказательство. Определитель третьего порядка, мы знаем, вычисляется следующим образом:

a11	a21	a31
a12	a22	a32	= a11a22a33 + a12a23a31 + a21a32a13 − a31a22a13 −
a13	a23	a33
− a21a12a33 − a32a23a11 .				(4.31)

Теперь в определителе (4.30) каждую строку заменим столбцом с тем же номером, получим новый определитель

89

a11	a12	a13
a21	a22	a23	= a11a22a33 + a21a32a13 + a12a23a31 − a31a22a13 − a21a12a33 − a32a23a11 .
a31	a32	a33

Сравнивая это равенство с предыдущим, заключаем, что определители равны, так как равны правые части указанных равенств.

2. При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет

знак.

Доказательство. В определителе (4.30) переставим, например, второй и третий столбцы, тогда

a11	a13	a12
a21	a23	a22	= a11a23a32 +a13a22a31 +a21a33a12 −a12a23a31 −a13a21a32 −
a31	a33	a32

− a22 a33 a11 = −(a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 −

− a13a22a31 − a12a21a33 − a23a32a11 ).

Алгебраическая сумма в скобке равна правой части формулы (4.31). Следовательно, новый определитель отличается от исходного только знаком.

Другие случаи рассматриваются аналогично.

3. Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен

нулю.

Доказательство. Определитель (4.30) обозначим через ∆. Пусть он содержит два одинаковых столбца. Переставив эти столбцы, получим тот же определитель ∆. По свойству 2 определитель при этом изменит знак, т.е. ∆ = −∆, откуда ∆ = 0 .

4. Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.

Доказательство. Пусть в определителе (4.30) элементы, второго столбца имеют общий множитель λ , тогда

a11	λa12	a13
a21	λa22	a23	= a11λa22a33 +λa12a23a31 + a21λa32a13 −a13λa22a31 −
a31	λa32	a33

−λa12a21a33 −λa32a23a11 =λ( a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 −a13a22a31 −

	a11	a12	a13
− a12a21a33 − a32a23a11) = λ	a21	a22	a23	.
	a31	a32	a33

Другие случаи рассматриваются аналогично.

5. Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками) равен нулю.

Доказательство. Действительно, выделяя общий множитель элементов одного из этих столбцов (коэффициент пропорциональности) и вынося его за знак определителя, получаем определитель с двумя одинаковыми столбцами, равный нулю.

90

6.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.

Доказательство. Если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю, то каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части (4.31) равно нулю, как произведение, содержащее нулевой множитель.

7.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответственные элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Доказательство. Пусть, например, к элементам третьего столбца определителя (4.30) прибавлены соответственные элементы второго столбца, умноженные на множитель λ , тогда

a11

a12

a13

+λa12

a11

a12

a13

a11

a12

λa12

a21

a22

a23

+λa22

=

a21

a22

a23

+

a21

a22

λa22

=

a31

a32

a33

+λa32

a31

a32

a33

a31

a32

λa32

	a11	a12	a13		a11	a12	a12
=	a21	a22	a23	+ λ	a21	a22	a22	,
	a31	a32	a33		a31	a32	a32

Но второе слагаемое равно нулю, как определитель с одинаковыми столбцами, следовательно,

a11	a12	a13	+λa12				a11	a12	a13
a21	a22	a23	+λa22		=		a21	a22	a23		.
a31	a32	a33	+λa32				a31	a32	a33

Одновременно доказано, что если в определителе все элементы

некоторого столбца (строки) равны суммам двух слагаемых, то такой определитель равен сумме двух определителей, т.е.

a11

a12

c1 + c2

a11

a12

c1

a11

a12

c2

a21

a22

b1 + b2

=

a21

a22

b1

+

a21

a22

b2

.

a31

a32

d1 + d2

a31

a32

d1

a31

a32

d2

8. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Доказательство. Для определителя второго порядка теорема очевидна. Для определителя третьего порядка имеем:

a11

a12

a13

a21

a22

a23

= a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 −a13a22a31 −a12a21a33 −a32a23a11 =

a31

a32

a33

= a11

(a22 a33 −

a23a32 )+ a12 (a23a31 − a21a33 )+ a13 (a21a32 − a22 a31 )=

= a

a22

a23

+ a

a23

a21

+ a

a21

a22

,

11

a32

a33

12

a33

a31

13

a31

a33

т.к. вычленные определители есть алгебраические дополнения (см. определение

Aik ), т.е.

91

A =

a22

a23

,

A =

a23

a21

,

A =

a21

a22

,

(4.32)

11

a32

a33

12

a33

a31

13

a31

a33

то

+ a13 A13 ,

(4.33)

∆ = a11 A11 + a12 A12

где ∆ - определитель третьего порядка,

A11 , A12 , A13 - алгебраические дополнения

элементов a11 , a12 , a13 .

Формула (4.33) называется разложением определителя по элементам первой строки. Аналогично получается разложение по элементам других строк и столбцов.

9. Пусть ∆ - некоторый определитель третьего порядка. Сумма

произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа q1 , q2 , q3 равна определителю ∆′, который

получается из данного ∆ заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел q1 , q2 , q3 .

Доказательство. Рассмотрим определитель

∆′ =

q1

q2

q3

a21

a22

a23

,

a31

a32

a33

полученный

из

определителя ∆ заменой первой

строки строкой

из чисел

q1, q2 , q3 . На основании

предыдущий

теоремы

∆′ = q1Q1 + q2 Q2 + q3Q3 ,

где

Q1 , Q2 , Q3 - алгебраические дополнения элементов

q1, q2 , q3 . Так как Q1 = A11 ,

Q2 = A12 , Q3

= A13 ,

где

A11 , A12 , A13

определяются формулами

(4.32),

то

∆′ = q1 A11 + q2

A12

+ q3 A13 , что и требовалось доказать.

10. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Доказательство. Для определителя второго порядка теорема очевидна (получаем определитель с двумя одинаковыми строками).

a11 a12 a13

Пусть дан определитель третьего порядка ∆ = a21 a22 a23 . Покажем,

a31 a32 a33

например, что a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 = 0 . В соответствии с только что доказанным свойством 9, следует

		a11	a12	a13
a11 A21 + a12 A22 + a13 A23 =		a11	a12	a13	.
		a31	a32	a33
Поскольку этот определитель равен нулю (как содержащий две
одинаковые строки), то	a11 A21 + a12 A22			+ a13 A23 = 0 . Остальные случаи
рассматриваются аналогично.

92

Приведем примерU							U вычисления определителя третьего порядка различными
способами.
Пусть дан определитель
		1	− 2	3
∆ =		4	−1	5		.
		6	−8	7

1способ (по определению)

∆= −7 − 60 − 96 +18 + 56 + 40 = −49 .

2способ (по теореме разложения).

∆ =1		−1	5		+ 2		4	5		+ 3		4	−1		=1 33 + 2 (−2) + 3 (−26) = −49 .
		−8	7				6	7				6	−8

3 способ (преобразованием с помощью свойств). Умножая строку на (−4) и прибавляя ко второй, затем, умножая первую строку на (−6) и прибавляя к третьей, получаем определитель, равный заданному:

		1	− 2	3
∆ =		0	7	− 7		.
		0	4	−11

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим

∆=1 74 −−117 = (−77 + 28) = −49 .

Взаключении еще раз подчеркнем, что поскольку любой определитель n - го порядка посредством теоремы Лапласа сводится к определителям второго и третьего порядков, то очевидно, что все свойства определителей второго и третьего порядков справедливы и для определителя n -го порядка.

Итак, свойства определителей n -го порядка выражаются следующим теоремами.

1.Определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

2.При перестановке двух столбцов (строк) определитель меняет знак.

3.Определитель с двумя одинаковыми столбцами (строками) равен

нулю.

4.Множитель, общий для элементов некоторого столбца (строки), можно выносить за знак определителя.

5.Определитель с двумя пропорциональными столбцами (строками)

равен нулю.

6.Определитель равен нулю, если все элементы некоторого столбца (строки) равны нулю.

7.Определитель не изменится, если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответственные элементы другого столбца (строки), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

8.Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

93

9. Пусть ∆ - некоторый определитель n -го порядка. Сумма произведений алгебраических дополнений элементов какой-нибудь строки (столбца) на любые числа q1, q2 , ..., qn равна определителю ∆′, который

получается из данного ∆ заменой упомянутой строки (столбца) строкой (столбцом) из чисел q1, q2 , ..., qn .

10. Сумма произведений элементов какой-нибудь строки (столбца) на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

4.14 Методы вычисления определителей n −го порядка

1 Разложение определителя по элементам строки или столбца

Теорема о разложении определителя по элементам строки или столбца (формула 4.33) позволяет свести вычисление определителя n −го порядка ( n >1)

к вычислению n определителей порядка n −1.

Если определитель имеет равные нулю элементы, то удобнее всего разлагать определитель по элементам той строки (или столбца), которая содержит наибольшее число нулей.

Используя свойства определителей, можно преобразовать определитель n −го порядка так, чтобы все элементы некоторой строки или столбца, кроме, может быть, одного, равнялись нулю. Таким образом, вычисление определителя n −го порядка, если он отличен от нуля, сводится к вычислению одного определителя (n −1)-го порядка. И так процесс продолжается дальше, т.е. сводим

вычисление определителя (n −1)-го порядка к вычислению определителя (n − 2)

порядка, и так далее до тех пор, пока не дойдем до определителя третьего порядка, который мы можем вычислить по определению.

НапримерU			,U вычислим определитель четвертого порядка
	−1	2		7	5
∆ =	1	3		−1	2		.
	2	1		2	3
	− 5	2		−1	3

Решение. Прибавив ко второй строке первую, к третьей – первую, умноженную на 2, к четвертой – первую, умноженную на – 5, получим

	−1	2	7	5
∆ =	0	5	6	7	,
	0	5	16	13
	0	−8	− 36	− 22

т.е. мы «обнулили» все элементы первого столбца, кроме одного.

Теперь, разлагая определитель по элементам первого столбца, имеем

94

∆ = −1 (−1)1+1	5	6	7	= −252 .
	7	16	13
	−8	− 36	− 22

2 Приведение определителя к треугольному виду

Определителем треугольного вида называется определитель треугольной матрицы, т.е. определитель, имеющий один из следующих видов:

		a11	a12	a13	...	a1n
	0		a22	a23	...	a2n
∆1 =	0		0	a33	...	a3n
	... ... ... ... ...
	0		0	0	...	ann
или
		a11	0	0	...	0
		a21	a22	0	...	0
∆2 =		a31	a32	a33	...	0		.
		... ... ... ... ...
		an1	an2	an3	...	ann

Докажем, что определитель треугольного вида равен произведению элементов его главной диагонали, т.е.

∆1 = ∆2 = a11a22 a33 ...ann .

Действительно, разлагая определитель ∆1 по элементам первого столбца,

имеем

			a22	a23	...	a2n
∆		= a	0	a33	...	a3n	.
	1	11	... ... ... ...
			0	0	...	ann

Полученный определитель вновь разлагаем по элементам первого столбца.

Тогда

				a33	a34	...	a3n
∆		= a a		0	a44	...	a4n	.
	1	11	22	... ... ... ...
				0	0	...	ann

Продолжая этот процесс, получаем ∆1 = a11a22 a33 ...ann . Аналогично можно показать, что ∆2 = a11a22 a33 ...ann .

95

Таким образом, иногда удобно при вычислении определителя предварительно привести его к треугольному виду, используя свойства определителей.

НапримерU ,U вычислим определитель четвертого порядка

1 2 −1 5

∆ =	1	5	6	3 .
	−1	− 2	3	5
	2	4	− 2	8

Приведем определитель к треугольному виду. Используя свойство 8 определителя, преобразуем его так, чтобы каждый элемент, находящийся ниже главной диагонали, был равен нулю. Для этого из второй строки вычтем первую, к третьей строке прибавим первую, из четвертой вычтем первую, умноженную на 2. Получим

	1	2	−1	5
∆ =	0	3	7	− 2		.
	0	0	2	10
	0	0	0	− 2

Так как определитель треугольного вида равен произведению элементов главной диагонали, то ∆ =1 3 2 (−2) = −12 .

3 Метод опорного элемента

Метод опорного элемента заключается в последовательном применении формулы, выражающей определитель порядка n через определитель порядка n −1, элементами которого являются определители второго порядка. Если элемент данного определителя, стоящий в левом верхнем углу, отличен от нуля, то эта формула имеет вид

a11

a12

a13

...

a1n

a11

a12

a21

a22

a21

a22

a23

...

a2n

1

a11

a12

a31

a32

a33

...

a3n

=

a31

a32

n−2

...

...

... ... ...

a11

...

an1

an2

an3

...

ann

a11

a12

Элемент

an1

an2

a11 в этом случае называется

	a11	a13				...
	a21	a23
	a11	a13			...
	a31	a33
	...				...
	a11	a13				...
	an1	an3

a11

a21 a11

a31

a11

an1

a1n

a2n

a1n

a3n (4.38)

...

a1n

ann

опорным. В качестве опорного

элемента можно взять любой отличный от нуля элемент данного определителя. При n =3 формула (4.38) приобретает вид:

96

a11

a12

a13

a11

a12

a11

a13

1

a21

a22

a21

a23

a

21

a

22

a

23

=

.

(4.39)

a

a11

a12

a11

a13

a31

a32

a33

11

a31

a32

a31

a33

Докажем справедливость равенства (4.39). Умножим вторую и третью строки данного определителя на опорный элемент a11. Так как при этом

определитель умножится на a112 , то, следовательно, для соблюдения равенства

второй определитель умножаем на																																1				. Итак,
																																	a	2
																																11
				a11					a12					a13									1						a11								a12							a13
∆ =				a		21			a	22				a	23					=					a a							21				a a					22		a a					23	.
																						a2
				a					a					a												11				a							11		a					11		a
						31				32					33								11		a							31				a					32		a					33
																										11											11							11
Вычитая в последнем определителе из второй строки первую, умноженную
на a21 , а из третьей – первую, умноженную на a31 , получаем
				1								a11																					a12															a13
∆ =									a a		21		− a a								21			a a							22			− a a						21		a a					23		− a a					21	=
				a		2
									11						11											11											12							11						13
				11					a a		31		− a a								31			a a							32			− a a						31			a a				33		− a a					31
									11						11											11											12							11						13
	1							a11										a12																			a13
=								0			a a				22					− a a						21							a a				23	− a a						21	.
	a	2											11										12									11									13
11								0				a11a32 − a12a31																					a11a33 − a13a31
Разлагая полученный определитель по элементам первого столбца и
учитывая, что																		a11					a12																														a11		a21
a a				22			− a a					21		=															;									a a				23		− a a					21	=								;
11								12										a21					a22																11							13							a13		a23
a a				32			− a a					31		=			a11						a12					;										a a				33		− a a					31	=		a11			a13			,
11								12										a31					a32																11							13							a31		a33

приходим к равенству (4.39). Аналогично доказывается справедливость формулы

(4.38).

Таким		образом,					вычисление определителя порядка n сводится к
вычислению некоторого числа определителей второго порядка.
НапримерU			,U методом опорного элемента вычислим определитель
	−1	2		7	5
∆ =	1	3		−1	2		.
	2	1		2	3
	− 5	2		−1	3

Решение. Согласно формуле (4.38)

97

				−1	2					−1		7								−1	5
				1 3						1 −1										1 2													− 5 − 6 − 7
	1			−1	2					−1		7								−1	5																							.
∆ =																													=				− 5	−16					−13
	(−1)	2		2	1					2		2							2		3
																																	8	36					22
				−1	2					−1		7								−1	5
				− 5	2				− 5			−1								− 5	3
Применив еще раз формулу (4.38), получим
	− 5			− 6	− 7									− 5						− 6											− 5			− 7								50			30
											1			− 5						−16											− 5			−13						1							= −252.
∆ =	− 5		−16		−13					=																												= −
	8		36		22						− 5				− 5					− 6												− 5		− 7						5		−132			− 54
															8				36													8		22

4.15 Определитель произведения матриц

Теорема 4.1 Определитель произведения конечного числа матриц n -го порядка равен произведению определителей этих матриц.

Доказательство. Утверждение теоремы достаточно доказать для случая двух квадратных матриц A = (aij ) и B = (bij )одинакового порядка.

Рассмотрим вспомогательный определитель

	a11		a12							...	a1n		0	0	...	0
	a21		a22							...	a2n		0	0	...	0
	... ... ... ...												... ... ... ...
∆ =	an1		an2							...	ann		0	0	...	0		.
	−1	0								...	0		b	b	...	b
													11	12		1n
	0		−1							...	0		b21	b22	...	b2n
	... ... ... ...												... ... ... ...
	0	0								...	−1		bn1	bn2	...	bnn
Разлагая этот определитель с помощью теоремы Лапласа, получим
равенство ∆ =			A				B		.	Покажем далее,					что	∆ =				AB		.	Для этого	преобразуем
определитель следующим образом. Сначала первые																							n столбцов,	умноженных

соответственно на b11, b21, ..., bn1, прибавим к (n +1) -му столбцу. Затем первые n столбцов, умноженных соответственно на b12 , b22 , ..., bn2 к (n + 2) -му столбцу и т.д. На последнем шаге к (2n)-му столбцу будут прибавлены первые n столбцов, умноженные соответственно на b1n , b2n , ..., bnn . В результате получим определитель

98

	a11	a12 ...	a1n		c11	c12 ...	c1n
	a21	a22 ...	a2n		c21	c22 ...	c2n
	...	... ... ...			... ... ... ...
∆ =	an1	an2 ...	ann		cn1	cn2 ...	cnn		,
	−1	0 ...	0		0	0 ...	0
	0	−1 ...	0		0	0 ...	0
	...	... ... ...			... ... ... ...
	0	0 ...	−1		0	0 ...	0
в котором
cij = ai1b1 j + ai2b2 j +... + ainbnj , i, j =1,							2, ..., n ,

т.е. cij - элементы матрицы C = AB .

Разлагая полученный определитель с помощью теоремы Лапласа по последним n столбцам, находим:

∆ =

С

(−1)(1+2+...+n)+[(n+1)+(n+2)+...+2n]

−1

0

=

O

0

−1

(−1)(2n+1)n (−1)n

C

= (−1)2n(n+1)

C

=

C

=

AB

.

Итак, доказаны равенства ∆ =

A

B

и

∆ =

AB

,

из которых следует, что

AB = AB .

Мы доказали теорему для произведения двух матриц. Ясно, что отсюда

непосредственно вытекает ее истинность и для произведений любогоU

конечного

числа матриц.U Например,

ABC

=

(AB)C

=

AB

C

=

A

B

C

.

В частности, для любой квадратной матрицы A

Ak

=

A

k (k = 0, 1, 2, ...).

(4.40)

Мы знаем, что транспонирование квадратной матрицы не меняет ее определителя. Поэтому для произвольных квадратных матриц A, B одного и того

же порядка так как A = AT и B = BT , верны равенства

A B = AB = AT B = ABT = AT BT .

Рассмотрим матрицу							x	y	и найдем ее определитель.
							A =
				x	y		u	v
	A		=			= xv − uy ,
				u	v

тогда A 2 = (xv − uy)2 .

Далее найдем произведение матриц A AT :

99

A AT

x y

x u

2

+ y

2

=

= x

xu + yv

2

+ v

2

u v

y v

xu + uv u

и, соответственно, определитель полученной матрицы:

A AT = (x2 + y2 ) (u2 + v2 )− (xu + uv)2 .

Но так как A 2 = A A = A AT = AAT , то

(xv − yu)2 = (x2 + y2 )(u2 + v2 )− (xu + yv)2 .

Это соотношение обычно записывают в виде следующего тождества:

(x2 + y2 )(u2 + v2 )= (xv − yu)2 + (xu + yv)2 ,

называемого тождеством Лагранжа.

Квадратную матрицу называют невырожденной, или неособенной, если ее

определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если ее

определитель равен нулю. Из теоремы 4.1 следует, что произведение нескольких квадратных матриц является невырожденной матрицей тогда и только тогда, когда все сомножители являются невырожденными матрицами.

Воспользуемся доказанной теоремой об определителе произведения матриц для более подробного изучения свойств обратной матрицы.

Пусть дана квадратная матрица

a		a	...	a
	11	12		1n
a21		a22	...	a2n
A =			...	...	.
... ...
		an2	...
an1				ann
Матрицей, союзной					или присоединенной к матрице A, называется
матрица	A	A	...	A
	11	21		n1
	A12	A22	...	An2			,
С =		...	...	...
...
	A	A	...	A
	1n	2n		nn

где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij данной матрицы A.

Обратим внимание на то, что в матрице C алгебраические дополнения к элементам i -ой строки матрицы A расположены в i -ом столбце.

Теорема 4.2 Если A - квадратная матрица порядка n , а C - союзная к ней матрица, то AC = CA = E det A , где E единичная матрица порядка n .

Доказательство. Обозначим через D произведение AC , т.е.

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
D =	... ... ...
...
	an2	...	ann
an1

A11

A12

...

A1n

A	...	A
21		n1
A22	...	An2	.
...	... ...
A	...	A
2n		nn

100

Согласно определению произведения матриц, элемент dij матрицы D

равен сумме произведений элементов i -ой строки матрицы A на соответствующие элементы j -го столбца союзной матрицы С. Для элементов dii ,

стоящих на главной диагонали, получим сумму произведений элементов i -й строки матрицы A на их алгебраические дополнения, что равно det A (по теореме о разложении определителя по элементам строки). Для остальных элементов dij

(i ≠ j) получим сумму произведений элементов

i -й строки на алгебраические

дополнения элементов j -й строки. Эти произведения,

мы знаем, равны нулю.

Следовательно,

det A

0

0 ...

0

1

0

0 ...

0

0

det A

0 ...

0

0

1

0 ...

0

= E det A.

AC =

...

... ...

...

=

... ...

...

det A

...

... ...

0

0

0 ...

det

0

0

0 ...

1

A

Аналогично можно доказать, что CA = E det A .

Таким образом, AC = CA = E det A . Теорема доказана.

B , обратная

Теорема 4.3 Для того чтобы существовала

матрица

матрице A, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Доказательство. Необходимость. Пусть

для

матрицы

A существует

обратная матрица B . Тогда

AB = E и, следовательно,

det(AB) = det E . Используя

теорему об определителе произведения матриц, имеем

det Adet B = det E .

матрица A

Так

как

det E =1,

то

det A ≠ 0 ,

и,

следовательно,

невырожденная.

Достаточность. Пусть матрица А невырожденная, т.е. det A ≠ 0 . Докажем,

что матрица

1

C , где C - матрица, союзная к A, является обратной к матрице

det A

A.

Так как (следует из теоремы 4.2)

1

AC =

1

CA = E

det

A

det

A

или

1

1

A

C

=

C A = E

det A

det A

	(поскольку	1	-	число), то матрица			1		C , очевидно является обратной
		det A					det	A
				1
	матрице A, т.е. B =					C . Теорема доказана.
				det	A

101

4.16 Методы нахождения обратных матриц

1 Нахождение обратной матрицы через алгебраические дополнения

В процессе доказательства теоремы 4.3 получен способ нахождения матрицы, обратной данной. Т.е. из доказательства теоремы следует, что

				A	A	...	A
		1		11	21	...	n1
				A	A		A
A−1	=			12	22		n2	.	(4.41)
		det A				... ...
			... ...
				A	A	...	A
				1n	2n		nn

Теорема 4.4 Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Пусть A1−1 и A2−1 - матрицы, обратные невырожденной матрице A. Имеет место равенство AA1−1 = E . Умножив обе его части на A2−1

слева,		получим		A−1 AA−1			= A−1E = A−1 .		С		другой	стороны,
		= (A−1 A)A−1		2	1		2	2
A−1 AA−1				= EA−1 = A−1		. Следовательно,			A−1	= A−1	. Теорема доказана.
2	1	2	1	1	1				1	2

Невырожденные матрицы обладают следующими свойствамиU :U

1.det A−1 = det1 A .

2.(A−1 )−1 = A .

3.(Ak )−1 = (A−1 )k .

4.(AB)−1 = B−1 A−1 .

В справедливости этих свойств предлагаем читателю убедиться

самостоятельно.
НапримерU				,U найдем матрицу, обратную к матрице
	5		− 2		2
	3		−	2	3
A =						.
	2		−	3	4
Определитель матрицы
det A =			5	− 2		2
			3	− 2		3		= 7
			2	− 3		4

отличен от нуля, поэтому матрица A имеет обратную. Чтобы ее найти, вычислим алгебраические дополнения и воспользуемся формулой (4.41).

A = (−1)1+1		− 2	3		=1,	A = (−1)2+1		− 2	2		= 2 ,
11		− 3	4			21		− 3	4

102

A = (−1)1+2							3 3		= −6,										A = (−1)2+2											5 2				=16 ,
12							2	4											22											2	4
A = (−1)1+3						3 − 2							= −5 ,						A = (−1)2+3										5 − 2							=11,
13							2	− 3											23											− 2				− 3
A = (−1)3+1						− 2 2							= −2 ,						A = (−1)3+2									5 2						= −9 ,
31							− 2	3											32									3			3
														A = (−1)3+3							5 − 2			= −4 .
														33							3	− 2
Теперь по формуле (4.41) запишем обратную матрицу
	1	A11							A21					A31			1		1 2 − 2
A−1 =		A A A														=			− 6 16 − 9						.
							12	22						32
	det A A								A					A			7		− 5			11 − 4
							13	23						33

2 Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преобразований

Для матриц больших размеров отыскание обратной матрицы удобно производить с помощью элементарных преобразований. Этот метод состоит в

следующем: выписывают составную матрицу (A E) и выполняют над строками

этой матрицы (т.е. одновременно и в матрице A, и в матрице E ) элементарные преобразования, приводящие матрицу A к виду единичной (более подробно о схеме преобразований сказано в практических разработках).

Врезультате матрица A преобразуется в единичную матрицу, а матрица E

-в матрицу A−1 .

Действительно, пусть одними и теми же элементарными преобразованиями над строками матриц A и E матрица A преобразована в единичную матрицу, а матрица E - в некоторую матрицу R . Это означает, что матрица R является результирующей матрицей преобразований, выполнение которых равносильно умножению слева на матрицу R . Поэтому имеем равенство

RA = E , откуда,		умножая справа на матрицу A−1 , получаем RAA−1 = A−1 , или
R = A−1 .
НапримерU		,U найдем матрицу, обратную к матрице
1	1	1
	2	3
A = 1			.
	3	6
1

Запишем составную матрицу (A E) и преобразуем ее с помощью элементарных преобразований строк. В результате получим:

103

	1 1 1				1	0	0	1 1				1		1 0		0
(A		2	3		0	1	0			0	1	2		−1	1	0		~
	E)= 1								~
	1	3	6		0	0	1			0	2 5			−1	0	1

1 1 1				1	0 0			1		1	0		0	2	−1		1 0 0			3 − 3 1
	0 1 2		−1		1 0		~		0	1	0		− 3	5	− 2			0 1 0		− 3 5 − 2
~																	~				.
	0 0 1			1	− 2 1				0	0	1		1	− 2	1			0 0 1		1 − 2 1
	Из этих преобразований заключаем, что
				3	− 3		1
	A−1			− 3	5 − 2
		=						.
				1	− 2		1

4.17 Простейшие матричные уравнения

К простейшим матричным уравнениям относят уравнения вида

AX = B , XC = B , AXC = B , AX = XB, AX + XB = C ,

в которых матрицы A, B, C заданы, а X - неизвестная матрица. Если матрицы A

и C имеют обратные матрицы, то первые три уравнения можно решить по соответствующим формулам:

X = A−1B , X = BC −1 , X = A−1BC −1 .

Для решения последних двух уравнений такой метод не подходит, так как решить подобные уравнения, опираясь только на формальное преобразование матричных выражений, нельзя. Во всех пяти случаях решение нельзя получить матричными преобразованиями и тогда, когда хотя бы один из сомножителей при

неизвестной матрице X					является	вырожденной матрицей. Приведем общий
подход к решению таких уравнений.
НапримерU		,U	решим матричное уравнение AX + XB = C при
1 2			,	− 3 − 2		−1	− 5
A =				B =	, C =			.
3 4				−1	− 4	5 15
Запишем матрицу X поэлементно:
x		y
X = 1			1	.
		y2
x2

Тогда в подробной записи заданное матричное уравнение примет вид:

1

2 x

y

− 3

− 2 x

y

−1 − 5

1

1

+

1

1

=

.

3

4

−1

− 4

5 15

x2

y2

x2

y2

Вычислив произведения матриц в левой части уравнения и сложив эти произведения, приходим к уравнению

	− 2x		+ 2x			2	−y		1	− 2x	−	3y		+ 2 y	2			−1 − 5
	1									1			1	3y			=	5 15	.
	3x	+ x		2	− y			2		− 2x		2	+
	1													1

Записывая это матричное равенство поэлементно, получим следующую систему линейных уравнений:

104

− 2x1 + 2x2 − y1 = −1,
	3x1	+ x2 − y2 = 5,
− 2x		− 3y + 2 y	2	= −5,
	1	1
		− 2x2 + 3y1 = 15,

решив которую находим

x1 = 2 , x2 = 3, y1 = 3, y2 = 4 . (решения системы линейных уравнений будем рассматривать в следующей главе)

Следовательно, искомая матрица имеет вид:

	2	3
X =			.
	3	4

4.18 Ранг матрицы

Пусть дана прямоугольная матрица размеров m × n :

a	a	...	a
11	12		1n
a21	a22	...	a2n
A =	...	...	...	.
...
	am2	...
am1			amn

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы считается равным

нулю.

Ранг матрицы будем обозначать r (или rangA).

Непосредственно из определения ранга следуетU :U 1. Для матрицы размеров m × n

0 ≤ r ≤ min(m, n) ,

где min(m, n) - меньшее из чисел m и n .

2.r = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю.

3.Для квадратной матрицы n -го порядка r = n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

НапримерU ,U найдем ранг матрицы

	1	0	2	0
	3	0	6	0
					.
	5	0	10	0

Среди миноров первого порядка (элементов матрицы) есть отличный от нуля, значит, r > 0 . Все миноры второго и третьего порядков равны нулю, т.к. 1 и 3-й столбцы – линейно зависимы, а 2 и 4-й - нулевые. Следовательно, r =1.

Отметим свойство миноров матрицы, которым пользуются при нахождении ранга матрицы.

105

Если все миноры порядка k данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка, если они существуют, также равны нулю.

Это следует, например, из теоремы о разложении определителя по элементам строки (столбца). Поэтому, если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а все миноры порядка k +1, если они существуют, равны нулю, то r = k . Отсюда следует, что ранг матрицы может быть найден следующим образом:

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то r = 0 . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то r =1. В случае, когда есть минор второго порядка, не равный нулю, исследуем миноры третьего порядка. Так поступаем до тех пор, пока не случится одно из двух: либо все миноры порядка k не

существуют либо все миноры порядка k равны нулю. Тогда r = k −1. Указанный метод нахождения ранга матрицы не всегда удобен, так как

часто связан с вычислением большого числа определителей. Ниже будут рассмотрены другие методы вычисления ранга матрицы.

Очевидны следующие свойства ранга матрицы.

1.Ранг матрицы, полученной из данной вычеркиванием какого-либо столбца (строки), равен рангу данной матрицы или меньше его на единицу.

2.Ранг матрицы, полученной из данной приписыванием к ней столбца (строки), элементами которого являются произвольные числа, равен рангу исходной матрицы или больше его на единицу.

3.Если вычеркнуть из матрицы или приписать к ней нулевой столбец (строку), т.е. столбец (строку), все элементы которого равны нулю, то ранг матрицы не изменится.

4.Ранг матрицы, полученной из данной транспонированием, равен рангу

данной матрицы.

Повторим уже известное нам: элементарными преобразованиями матрицы

называются следующие преобразования

1)умножение некоторого столбца (строки) матрицы на число, отличное

от нуля;

2)прибавление к одному столбцу (сроке) матрицы другого столбца (строки), умноженного на произвольное число;

3)перестановку местами двух столбцов (строк) матрицы

с учетом элементарных преобразований матрицы все свойства ранга матрицы можно выразить одной теоремой:

Теорема 4.5 (об инвариантности ранга матрицы относительно элементарных преобразований). Ранг матрицы, полученный из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы.

4.19 Методы вычисления ранга матрицы

1 Метод перебора

Это самый неэффективный метод. Суть его раскрыта в начале темы. Повторим коротко: считаются все миноры второго, третьего и т.д. порядка. Работа прекращается в том случае, когда обнаружилось, что все миноры, например, k -

106

того порядка равны нулю или не существуют, тогда делается вывод rang(A)= k −1.

2 Метод окаймляющих миноров

Метод окаймляющих миноров основывается на следующем рассуждении: если в матрице A имеется минор M порядка r , отличный от нуля, а все миноры матрицы A, окаймляющие минор M , равны нулю, или миноров, окаймляющих минор M , не существует, то ранг матрицы A равен r . Таким образом, для определения ранга матрицы достаточно найти отличный от нуля минор M , все окаймляющие миноры которого (если они существуют) равны нулю. Тогда ранг матрицы A равен порядку минора M .

НапримерU		,U методом окаймляющих миноров найдем ранг матрицы
	1	− 3	2	5
	− 2	4	3	1
A =	0	− 2	7	11 .
	7	−15	− 7	2
	−1	1	5	6

Среди элементов матрицы A имеются отличные от нуля, например, элемент, стоящий в левом верхнем углу. Среди миноров, окаймляющих этот элемент, также есть отличные от нуля, например, минор

					1	− 3						.
	M =
					− 2	4
Среди миноров, окаймляющих M , т.е. среди миноров
			1		− 3	2								1	− 3	5								1	− 3		2
				− 2	4 3			;						− 2	4 1						;			− 2	4		3		;
			0		− 2	7								0 − 2		11								7 −15 − 7
				1	− 3 5									1	− 3		2						1		− 3 5
				− 2	4 1					;				− 2	4		3		;					− 2	4	1	,
				7	−15 2									−1	1		5							−1	1	6

нет отличных от нуля. Следовательно, ранг матрицы A равен двум.

3 Приведение к треугольному (трапецевидному) виду

С помощью элементарных преобразований ненулевой матрицы A = (aij ) ее можно привести к матрице B следующего вида:

107

b	0	0	...	0
11	b22	0	...	0
b21
... ... ...			... ...			,
B =	b	b	...	b
b
r1	r2	r3		rr
... ... ...			... ...
b	b	b	...	b
s1	s2	s3		sr

где bii ≠ 0 , i =1, ..., r , а элементы bij , расположенные в i -й строке (i =1, ..., r −1)

правее элемента bii , равны нулю. Отсюда следует, что минор	матрицы B ,
образованный первыми r строками, равен b11 b22 ... brr ≠ 0 ,	и, значит,
rangB = r . Следовательно, и rangA = r .

Приведение матрицы A к виду B состоит из r шагов.

Первый шаг.

а) Вычеркнем нулевые строки и столбцы матрицы A. Получившуюся матрицу снова обозначим буквой A, а ее элементы через aij .

б) Если a11 = 0 , то переставим строки и столбцы так, чтобы в левом

верхнем углу оказался элемент, отличный от нуля. Элементы получившейся матрицы A′ обозначим aij′ . При этом a11′ ≠ 0 . Если a11 ≠ 0 , то матрица A′ - это

	сама матрица A.								′
		в) Прибавим к k -му столбцу матрицы									( k = 2, 3,...) первый столбец,
									A
	умноженный на число − a1′k						′	. Получим матрицу		C с элементами c , у которой
											ij
	′					a11
		≠ 0 , а все остальные элементы первой строки равны нулю:
	c11a11
			с	0	0 ...			0
			11	c22	c23 ...
		С = c21						... .
		... ... ... ...						...

Если при этом окажутся равными нулю также все элементы каждого столбца, начиная со второго, то, вычеркнув нулевые столбцы, придем к матрице B , у которой r =1. В противном случае сделаем второй шаг.

Второй шаг.

а) Вычеркнем нулевые строки и столбцы матрицы C . Получившуюся матрицу снова обозначим C , а ее элементы через cij .

б) Если c22 = 0 , то переставим строки и столбцы (причем первую строку и

первый столбец не переставляем) так, чтобы элемент c22						стал отличным от нуля.
Элементы	получившейся	матрицы C	′	обозначим	′	′
					cij .	При этом c11 = c11 ≠ 0 ,
′
c22 ≠ 0 .	Прибавим к k -му столбцу матрицы C′				( k = 3, 4,...) второй столбец,
в)
	′	′ . Получим матрицу D с элементами dij , у которой
умноженный на число − с2k
		с22

108

d11 = c11′ ≠ 0 , d22 = c′22 ≠ 0 , а все элементы первой и второй строк, расположенные правее d11 и d22 , равны нулю:

d	0	0
11	d22	0
d 21
D =	d32	d33
d31
	...	...
...

... 0

... 0

... ... .

... ...

Если окажутся равными нулю также все элементы каждого столбца, начиная с третьего, то, вычеркнув нулевые столбцы, придем к матрице B , у которой r = 2 . В противном случае сделаем третий шаг, полностью аналогичный первым двум шагам. Если ранг матрицы A равен r , то после r шагов получим матрицу B .

НапримерU				,U посредством приведения матрицы
	1	−1	0		3	2
	4	− 2	5		0	3
	2	− 3	0		6	1
	7	− 6	5		9	6

к треугольному виду, определим ее ранг.

Решение. Применяя элементарные преобразования, получаем
1		−1	0	3	2		1		−1	0	3	2		1		−1	0	3	2
	4	− 2	5	0	3			0	2	5	−12	− 5			0	1	5	−12	−8
																					→
	2	− 3	0	6	1		→	0	−1	0	0 − 3			→	0	−1	0	0	− 3
	7	− 6	5	9	6			0	1	5	−12	−8			0 2 5			−12	− 5

1		−1 0		3	2			1 −1			0	3	2
	0	1	5	−12 −8					0	1	5	−12	−8
→	0	0	5	−12 −11			→		0	0	5	−12	−11	.
	0	0	− 5	12	11				0	0	0	0	0
(Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения
первой строки на ( − 4), (−2) ,					(−7)			и соответственного прибавления ко второй,

третьей и четвертой строкам; поменяв местами вторую и четвертую строки во второй матрице, получили третью матрицу; четвертая матрица получена из третьей путем умножения второй строки на (−2) и прибавления к четвертой

строке, сложения второй и третьей строк.)

Так как ранг последней матрицы равен трем, для исходной матрицы также

r = 3 .

109

4.20 Базисный минор матрицы

Не равный нулю минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором данной матрицы. Столбцы и строки матрицы A, содержащие элементы базисного минора, называются базисными столбцами и

базисными строками.

Отметим,

что у

матрицы

может быть несколько базисных миноров.

Например,

ранг матрицы

1

−1

− 2

, равен 2, базисными являются миноры

0

1

2

1

−1

1

− 2

=1

и

= 2 .

В первом случае базисными будут первый и второй

0

1

0

2

столбцы матрицы, во втором – первый и третий.

Теорема 4.6 (о базисном миноре) 1. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов). 2. Базисные строки (столбцы) матрицы линейно независимы.

Доказательство. 1. Пусть M - базисный минор матрицы

a

a

...

a

11

12

1n

a21

a22

...

a2n

,

A =

...

...

...

...

am2

...

am1

amn

ранг которой равен r . Будем считать, что

a11

a12

...

a1r

M =

a21

a22

...

a2r

.

... ... ... ...

ar1

ar 2

...

arr

Зафиксируем

j (1 < j ≤ n) и рассмотрим определители

a11

a12

...

a1r

a1 j

a21

a22

...

a2r

a2 j

(i =

)

∆ij =

... ...

...

...

...

1, m

ar1

ar2

...

arr

arj

ai1

ai2

...

air

aij

Если хотя бы одно из чисел i или j не больше r , то ∆ij = 0 , так как в определителе имеются две одинаковых строки (столбца). При i > r , а также j > r

∆ij = 0 , так как он является минором порядка r +1 матрицы	A. Разлагая ∆ij по
элементам последней строки, получаем
∆ij = ai1α1 + ai2α2 +... + airαr + aijαr +1 ,	(4.22)

где α1, α2 , ..., αr , αr +1 - алгебраические дополнения элементов последней строки определителя ∆ij , причем очевидно, что числа α1, α2 , ..., αr не зависят от i , а

110

αr +1 = M не зависит ни от i , ни	от j . Учитывая, что ∆ij = 0 и			M ≠ 0, из
равенства (4.22) имеем	(i =		),
aij = β1ai1 + β2ai2 +... + βr air		1, m		(4.23)

где βi = −αi M .

Равенство (4.23) показывает, что j -й столбец матрицы A является

линейной комбинацией столбцов, проходящих через минор M , т.е. является линейной комбинацией базисных столбцов.

Аналогично доказывается, что всякая строка матрицы A является линейной комбинацией базисных строк.

2. Предположим, что базисные строки (столбцы) матрицы линейно зависимы. Тогда одна из базисных строк (столбцов) матрицы является линейной комбинацией остальных базисных строк (столбцов); следовательно, одна из строк (столбцов) базисного минора является линейной комбинацией остальных его строк (столбцов). Отсюда и из свойств определителей следует, что базисный минор равен нулю, что противоречит его определению. Теорема доказана.

Следствие 1 Всякая не базисная строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией всех строк (столбцов) этой матрицы.

Следствие 2 Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) матрицы равно рангу матрицы.

Следствие 3 (критерий равенства нулю определителя). Для того чтобы определить матрицы был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы некоторая его строка (столбец) была линейной комбинацией других ее строк (столбцов).

4.21 Вопросы для самоконтроля

1Сформулируйте определение матрицы и определите ее разновидность

взависимости от размеров (прямоугольная, квадратная, одностолбцовая, однострочная).

2Сформулируйте определения треугольной, диагональной, единичной

матриц.

3Сформулируйте определение субматрицы данной матрицы.

4Умножение матрицы на число (определение, свойства).

5Сумма матриц (определение, свойства).

6Что означает понятие линейной комбинации матриц?

7Что понимают под произведением строки A на столбец B одной и той же длины?

8При каком условии произведение прямоугольных матриц возможно?

9Сформулируйте правило умножения двух матриц.

10Сформулируйте и докажите основные свойства умножения матриц.

11Какое свойство называется основным свойством единичной матрицы?

12Докажите, что сумма и произведение диагональных матриц будет снова диагональной матрицей.

13Что означает степень матрицы и какими свойствами она обладает?

14Определите понятие многочлена от матрицы.

111

15Что означает действие транспонирования матрицы?

16Сформулируйте и докажите утверждение о транспонировании произведения двух матриц.

17Определите симметрическую и кососимметрическую матрицы.

18Сформулируйте и докажите утверждения о сумме симметрических и кососимметрических матриц.

19Сформулируйте определение обратной матрицы и её свойства.

20Сформулируйте определение ортогональной матрицы.

21Определите эрмитову, унитарную матрицы.

22Какой определитель называется квадратным?

23Какой определитель называется определителем третьей степени?

24Сформулируйте понятие определителя n -го порядка.

25Сформулируйте и докажите теорему Лапласа.

26Сформулируйте понятие минора элемента aij , алгебраического

дополнения элемента aij .

27Сформулируйте и докажите десять свойств определителя второго и третьего порядков.

28Сформулируйте свойства определителя n -го порядка.

29Перечислите методы вычисления определителей n -го порядка.

30Объясните суть метода вычисления определителя n -го порядка посредством его разложения по элементам строки (столбца).

31Объясните суть метода вычисления определителя n -го порядка приведением его к треугольному виду.

32Запишите формулу, на которой основан метод опорного элемента.

33Сформулируйте и докажите теорему об определителе произведения

матриц.

34Сформулируйте и докажите теорему о существовании обратной

матрицы.

35Какая матрица называется союзной?

36Перечислите известные вам методы нахождения обратных матриц.

37Запишите формулу нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения.

38Объясните суть метода нахождения обратной матрицы с помощью элементарных преобразований.

39Продемонстрируйте общий подход к решению матричного уравнения.

40Сформулируйте определение ранга матрицы.

41Перечислите известные вам методы нахождения ранга матрицы.

42Раскройте суть метода окаймляющих миноров.

43Опишите алгоритм метода нахождения ранга матрицы приведением ее

ктреугольному виду.

44Сформулируйте определение базисного минора матрицы.

45Сформулируйте и докажите теорему о базисном миноре.

112

113