- •Глава IX. Неопределенный интеграл
- •§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям
- •1352. Найти интеграл
- •1353. Найти интеграл .
- •1354. Найти интеграл
- •1355. Найти интеграл .
- •1356. Найти интеграл
- •1357. Найти интеграл
- •§ 2. Интегрирование рациональных дробей
- •1403. Найти интеграл
- •1404. Найти интеграл
- •1405. Найти интеграл
- •1406. Найти интеграл
- •1407. Найти интеграл
- •1408. Найти интеграл
- •1409. Найти интеграл
- •1419. Найти интеграл .
- •1420. Найти интеграл
- •1421. Найти интеграл
- •1422. Найти интеграл .
- •1423. Найти интеграл
- •1424. Найти интеграл
- •1425. Найти интеграл
- •1426. Найти интеграл .
- •1427. Найти интеграл
- •1441. Найти интеграл
- •§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •5. Интегралы вида
- •1452. Найти интеграл
- •1463. Найти интеграл
- •1464. Найти интеграл
- •1465. Найти интеграл
1352. Найти интеграл
Решение.
Произведем подстановку t= , т. е. x = t3. Эта подстановка приведет к тому, что под знаком синуса окажется переменная интегрирования, а не корень из нее. Найдем дифференциал dx=3t2dt, Отсюда получаем
Ответ должен быть выражен через старую переменную х. Подставляя в результат интегрирования t= , получим
▲
1353. Найти интеграл .
Решение.
Этот интеграл можно найти и не производя замены переменной. Здесь достаточно развернуть выражение (2x+1)20 по формуле бинома Ньютона и применить почленное интегрирование. Однако этот прием связан с большим количеством вычислений. При помощи замены переменной можно сразу свести данный интеграл к табличному,
Полагая 2x+1=t, имеем 2dx = dt, т. е, dx = (1/2)dt. Отсюда получаем
▲
Вообще, если интеграл является табличным, то интеграл может быть легко найден при помощи подстановки ax+b = t.
Например, применим эту подстановку к интегралу , Имеем ax+b = t, adx = dt и dx = (1/a)dt. Следовательно,
Возвратившись к старой переменной, получаем
Аналогично можно показать, что
, и т.д.
При нахождении интеграла записи самой подстановки ax+b = t можно фактически и не производить. Здесь достаточно принять во внимание, что
. Таким образом,
где F— первообразная для f.
1354. Найти интеграл
Решение.
Положим ; тогда х3+5 = t. Дифференцируем обе части равенства: 3x2dx = 2tdt. Отсюда х2 dx = (2/3) t dt и, следовательно,
Данный интеграл можно найти и при помощи подстановки x2+5=t
Эта подстановка сразу приводит интеграл к табличному вследствие того, что первый множитель подынтегрального выражения x2 отличается от производной подкоренного выражения x3+5 только постоянным множителем 1/3, т. е. x2 =(1/3)( x2 +5)’ ▲
___________
Вообще, если подынтегральная функция является произведением двух множителей, один из которых зависит от некоторой функции ψ(x), а другой является производной ψ(x) (с точностью до постоянного множителя), то целесообразно сделать замену переменной по формуле ψ(x)= t.
1355. Найти интеграл .
Решение.
Перепишем данный интеграл в виде . Так
как производная выражения 2lnx+3 равна 2/х, а второй множитель 1/х отличается от этой производной только постоянным коэффициентом 2, то нужно применить подстановку 2lnx+3=t. Тогда , . Следовательно,
▲
1356. Найти интеграл
Решение.
Произведем подстановку f(x) = t . Тогда f’(x)dx=dt и
Например,
Здесь мы не пишем знака модуля, так как x2 +1>0 ▲
1357. Найти интеграл
Решение.
Положим f(x) = t. Тогда f’(x)dx=dt и
Заметим, что данный интеграл можно было найти при помощи подстановки
. ▲
1358. Найти интеграл , если а≠0
Решение.
Для того чтобы свести интеграл к табличному (см. формулу IV), разделим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на а2:
Мы подвели постоянный множитель 1/а под знак дифференциала. Рассматривая х/а как новую переменную, получим
К этому же результату мы пришли бы и с помощью подстановки x=at. ▲
1359. Найти интеграл , если а>0.
Решение.
Разделив числитель и знаменатель на а, получаем
Принимая х/а за новую переменную, получим
. ▲
Дополним теперь таблицу основных интегралов следующими формулами:
XVI.
XVII.
XVIII.
XIX.
XX.
XXI.
XXII.
XXIII.
XXV.
Формулы I — XXV нужно знать наизусть, так как большинство интегралов, используемых на практике, сводится к интегралам, берущимся по этим формулам.
1360. Найти интеграл
Решение.
Произведем подстановку ; тогда 2х — 9 = t2, х =( t2 +9)/2 и dx = tdt. Итак,
Применив формулу XVIII, получим
▲
1361. Найти интеграл .
Решение.
Произведем подстановку cos2 x = t, тогда -2 cosx sinx dx = dt, т.е. sin2xdx=dt. Теперь находим
(мы использовали формулу XX). ▲
1362. Найти интеграл .
Решение.
Применим подстановку 2 sin (x/2) + 3 =t; тогда cos (x/2)dx= dt и
▲
1363. Найти интеграл
Решение.
Применим подстановку x 5 = t; тогда 5x 4dx = dt, x 4dx = (1/5) dt и
(см, формулу XXI). Итак,
▲
1364. Найти интеграл
Решение.
Преобразуя знаменатель дроби, получим x4+2x2+5=(x2+1)2+4 Произведем подстановку x2+1=t, тогда xdx=(1/2)dt. Отсюда
(см, формулу XVIII). Таким образом,
▲
1343. Найти интеграл
Решение.
Положим e2x = t, тогда e2x dx = (1/2) dt и
(мы применили формулу XIX). Итак,
▲
1366. Найти интеграл
Решение.
Произведя ту же подстановку, что и в предыдущем примере, получим
▲
1367. Найти интеграл .
Решение.
Полагая , x =t2, dx = 2tdt, получим
(см. формулы XXII и XXIII). Возвращаясь к старой переменной, получим
▲
Найти интегралы:
1368. 1369.
1370. 1371.
1372. 1373.
1374. 1375.
1376. 1377.
1378. 1379.
Указание: представить интеграл в виде суммы интегралов.
1380. 1381.
1382. 1383. 1384.
3. Интегрирование по частям. Интегрирозанием по частям называется нахождение интеграла по формуле
,
где u=φ(x), v=ψ(x) — непргрывно дифференцируемые функции от x. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла ; ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.
При этом за u берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv—та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.
Так, например, для интегралов вида , , , где Р (х)—многочлен, за и следует принять Р (х), а за dv — соответственно выражения еах dx, sin axdx, cosaxdx; для интегралов вида , , за и принимаются соответственно функции ln x, arcsin x, агссоs x; а за dv—выражение Р (х) dx.
1385. Найти интеграл .
Решение.
Положим и=lпх, dv=dx; тогда v=x, . Используя формулу интегрирования по частям, получаем
▲
1386. Найти интеграл
Решение.
Пусть u=arctgx, dv=dx; тогда , v=x. По формуле интегрирования по частям находим
▲
1387. Найти интеграл
Решение.
Положим и=х, dv=sinxdx; тогда du = dx, x=-cosx. Отсюда
Если бы выражения и и dv мы выбрали иначе, например u = sinx, dv =xdx, то получили бы du = cosxdx, v = (1/2)x2, откуда
,
и пришли бы к интегралу более сложному, чем исходный, так как степень сомножителя при тригонометрической функции повысилась на единицу. ▲
1388. Найти интеграл .
Решение.
Положим u = x2, dv = exdx; тогда du = 2xdx, v=ex. Применяем формулу интегрирования по частям:
.
Мы добились понижения степени х на единицу. Чтобы найти , применим еще раз интегрирование по частям. Полагаем и=х, dv=exdx; тогда du=dx, и=ех и
. ▲
1389. Найти интеграл .
Решение.
Пусть и = ех, dv = sinxdx; тогда du=exdx, v=-cosx. Следовательно,
.
Создается впечатление, что интегрирование по частям не привело к цели, так как интеграл не упростился. Попробуем, однако, еще раз проинтегрировать по частям. Приняв и = ех; dv = cosxdx, откуда du = exdx, v = sinx, получаем
, т.е.
Применив дважды операцию интегрирования по частям, мы в правой части снова получили исходный интеграл. Таким образом, приходим к уравнению с неизвестным интегралом I. Из этого уравнения находим
, т. е. .
В окончательном результате мы прибавили к найденной первообразной функции произвольную постоянную.
1390. Найти интеграл , если а>0.
Решение.
Положим , dv = dx, откуда , v =x. Следовательно,
или
.
Отсюда получаем
т. е.
▲
1391. Вывести рекуррентную формулу для интеграла .
Решение.
Заданный интеграл можно преобразовать так:
Положим u=х, ; тогда du = dx,
откуда
или
т. е.
Полагая n=2, получаем выражение интеграла I2 через элементарные функции. Полагая теперь n=3, находим интеграл I3 (ведь интеграл I2 уже найден). Таким образом, можно найти In при любом целом положительном n. ▲
Найти интегралы:
1392. . 1393.
1394. . 1395.
1396. . 1397. 1398.
Указание: положить x2=t.
1399. 1400.
1401. 1402.
Указание: положить .