- •Глава IX. Неопределенный интеграл
- •§ 1. Непосредственное интегрирование. Замена переменной и интегрирование по частям
- •1352. Найти интеграл
- •1353. Найти интеграл .
- •1354. Найти интеграл
- •1355. Найти интеграл .
- •1356. Найти интеграл
- •1357. Найти интеграл
- •§ 2. Интегрирование рациональных дробей
- •1403. Найти интеграл
- •1404. Найти интеграл
- •1405. Найти интеграл
- •1406. Найти интеграл
- •1407. Найти интеграл
- •1408. Найти интеграл
- •1409. Найти интеграл
- •1419. Найти интеграл .
- •1420. Найти интеграл
- •1421. Найти интеграл
- •1422. Найти интеграл .
- •1423. Найти интеграл
- •1424. Найти интеграл
- •1425. Найти интеграл
- •1426. Найти интеграл .
- •1427. Найти интеграл
- •1441. Найти интеграл
- •§ 3. Интегрирование простейших иррациональных функций
- •5. Интегралы вида
- •1452. Найти интеграл
- •1463. Найти интеграл
- •1464. Найти интеграл
- •1465. Найти интеграл
§ 2. Интегрирование рациональных дробей
1. Интегрирование простейших дробей. Рациональной дробью называется дробь вида P(x)/Q(x), где Р (х) и Q (х) — многочлены. Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена Р (х) ниже степени многочлена Q (х); в противном случае дробь называется неправильной.
Простейшими (элементарными) дробями называются правильные дроби следующего вида:
I. ;
II. , где т — целое число, большее единицы;
III. , где <0 т. е. квадратный трехчлен x2 + px+q не имеет действительных корней;
IV. , где n - целое число, большее единицы, и квадратный трехчлен х2+рх+q не имеет действительных корней.
Во всех четырех случаях предполагается, что А, В, р, q, a — действительные числа. Перечисленные дроби будем соответственно называть простейшими дробями I, II, III и IV типов.
Рассмотрим интегралы от простейших дробей первых трех типов. Имеем
I.
II.
III.
Действительно, для этого частного случая простейшей дроби III типа получаем
ИЛИ
где (здесь <0), откуда
1403. Найти интеграл
Решение.
Имеем
▲
1404. Найти интеграл
Решение.
Имеем
Покажем, как интегрируются в общем виде простейшие дроби III типа.
Требуется найти , < 0. Выделим в числителе дроби производную знаменателя. Для этого числитель представим в виде
Тогда
В первом интеграле числитель является производной знаменателя; поэтому так как x2+рх+q>0 для любого значения х. Второй интеграл, как уже было отмечено, находится по формуле
Итак,
1405. Найти интеграл
Решение.
Имеем
▲
1406. Найти интеграл
Решение.
Имеем
▲
1407. Найти интеграл
Решение.
Предварительно в этом интеграле произведем замену переменной х2=t, тогда 2xdx = dt, xdx=(l/2)dt. Следовательно,
▲
Рассмотрим теперь частный случай интеграла от простейшей дроби IV типа. Для интеграла (n— целое положительное число) имеет место следующая рекуррентная формула:
Эта формула позволяет после (n - 1)-кратного применения свести данный
интеграл In к табличному интегралу
1408. Найти интеграл
Решение.
Здесь п = 3. После первого применения рекуррентной формулы получаем
К интегралу снова применяем рекуррентную формулу (здесь полагаем n = 2):
Итак,
Окончательно имеем
▲
____________
Покажем теперь в общем виде, как интегрируются простейшие дроби IV типа. Требуется найти <0.
Выделим в числителе производную от квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе:
Первый интеграл в правой части равенства легко находится при помощи подстановки , а второй преобразуем так:
Полагая теперь , dx = dt и обозначая , получаем
Таким образом, интегрирование элементарной дроби IV типа может быть выполнено при помощи рекуррентной формулы.
1409. Найти интеграл
Решение.
Имеем
В первом интеграле произведем замену , а во втором интеграле положим Отсюда
Возвращаясь к старой переменной, получаем
▲
Найти интегралы:
1410. 1411. 1412.
1413. 1414. 1415.
1416. 1417. 1418.
2. Интегрирование рациональных дробей с помощью разложения иа простейшие дроби. Перед интегрированием рациональной дроби Р (x)/Q (x) надо сделать следующие алгебраические преобразования и вычисления:
1) если дана неправильная рациональная дробь, то выделить из нее целую часть, т. е. представить в виде
где М (х) — многочлен, а P1(x)/Q (x)—правильная рациональная дробь;
2) разложить знаменатель дроби на линейные и квадратичные множители:
где <0, т. е. трехчлен x2+px+q имеет комплексные сопряженные корни;
3) правильную рациональную дробь разложить на простейшие дроби
4) вычислить неопределенные коэффициенты A1, А2, ..., Ат, ... , B1, C1, B2, С2, ..., Вn,Сn,..., для чего принести последнее равенство к общему знаменателю, приравнять коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях полученного тождества и решить систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Можно определить коэффициенты и другим способом, придавая в полученном тождестве переменной х произвольные числовые значения. Часто бывает полезно комбинировать оба способа вычисления коэффициентов.
В результате интегрирование рациональной дроби сведется к нахождению интегралов от многочлена и от простейших рациональных дробей.
С л у ч а й 1. Знаменатель имеет только действительные различные корни, т. е. разлагается на неповторяющиеся множители первой степени.