1419. Найти интеграл .

Решение.

Так как каждый из двучленов х —1, х —2, х —4 входит в зна­менатель в первой степени, то данная правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших дробей I типа:

Освобождаясь от знаменателей, получим

. (*)

Следовательно,

Сгруппируем члены с одинаковыми степенями:

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений

,

из которой найдем А = 3, В = - 7, С = 5.

Итак, разложение рациональной дроби на простейшие имеет вид

Неизвестные A, В, С в разложении можно было определить и иначе. После освобождения от знаменателя можно придать х столько частных значений, сколько содержится в системе неизвестных, в данном случае—три частных значения.

Особенно удобно придавать х значения, являющиеся действительными корнями знаменателя. Применим этот прием к решению данного примера. После освобож­дения от знаменателя мы получили равенство (*). Действительными корнями зна­менателя являются числа 1, 2 и 4. Положим в этом равенстве х=1, тогда

откуда 9 = 3A, т. е. A = 3. Полагая х = 2, получаем 14= - 2В, т. е. В = - 7; полагая х = 4, имеем 30 = 6С, т. е. С = 5. В результате получились те же зна­чения, что и при первом способе определения неизвестных. Таким образом,

▲

_____________

С л у ч а й 2. Знаменатель имеет лишь действительные корни, причем некото­рые из них кратные, т. е. знаменатель разлагается на множители первой сте­пени и некоторые из них повторяются.

1420. Найти интеграл

Решение.

Множителю (х—1)³ соответствует сумма трех простейших дробей , a множителю x+З — простейшая дробь . Итак,

Освободимся от знаменателя:

Действительными корнями знаменателя являются числа 1 и — 3. Полагая x=1, получаем 2 = 4A, т. е. A =1/2. При х =-3 имеем 10 = — 64D, т. с. D = — 5/32.

Сравним теперь коэффициенты при старшей степени х, т. е. при х³. В левой части нет члена с х³, т. е. коэффициент при х³ равен 0. В правой части коэффи­циент при х³ равен C + D. Итак, C + D = 0, откуда С = 5/32.

Остается определить коэффициент В. Для этого необходимо иметь еще одно уравнение. Это уравнение можно получить путем сравнения коэффициентов при одинаковых степенях х (например, при х²) или придав х какое-нибудь численное значение. Удобнее взять такое значение, при котором вычислений будет возможно меньше. Полагая, например, х = 0, получаем

или т. е.

Окончательное разложение данной дроби на простейшие имеет вид

Таким образом, получим

▲

С л у ч а й 3. Среди корней знаменателя имеются простые комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит квадратичные неповторяющиеся множители.

1421. Найти интеграл

Решение.

Разложим знаменатель на множители:

Тогда

Освобождаемся от знаменателя:

Действительными корнями знаменателя являются числа 0 и 1. При х = 0 имеем 1= — А, т. е. А = — 1. При x=1 имеем 1=3С, т. е. С=1/3. Перепишем предыдущее равенство в виде

Сравнивая коэффициенты при х⁴, х³, х², получаем систему уравнений

из которой найдем: В = 0, D = — 1/3, E=1/3. Итак,

Следовательно,

▲

С л у ч а й 4. Среди корней знаменателя имеются кратные комплексные корни, т. е. разложение знаменателя содержит повторяющиеся квадратичные множители.