3. Комплексный метод расчета линейных электрических цепей синусоидального тока
Расчет линейных электрических цепей на основе мгновенных значений токов и напряжений, изменяющихся по синусоидальному закону, вызывает серьезные трудности. Избежать этих трудностей можно с помощью комплексного или символического метода расчета, который позволяет исключить при расчетах одну из координат (частоту питающей сети), т.к. все токи и падения напряжения в линейной электрической цепи изменяются с одной и той же частотой. Такое преобразование позволяет избавиться от мгновенных синусоидальных значений токов и напряжений, что значительно упрощает расчет.
Суть комплексного метода заключается в следующем:
1. Делаем переход из множества "t" мгновенных значений токов и падений напряжения в множество “j ” их комплексных значений (векторов), рис. 3.1.
t |
⇔ |
j =
|
|
|
|
i(t) =
|
⇔ |
|
|
|
|
+, -, *, / |
⇔ |
+, -, *, / |
|
|
|
sin(ωt+)
=
Im
e j
Рис. 3.1
Например, вместо мгновенного значения
тока i(t) будем рассматривать его
комплексную амплитуду
.
Все алгебраические операции так же, как и операции дифференцирования и интегрирования в комплексной области используются аналогично, что и во временной.
2. В комплексной области осуществляем расчет электрической цепи, используя комплексы ( векторы ) токов и напряжений. При определении требуемых токов или падений напряжений используем любой из методов расчета цепей постоянного тока, рассмотренных в разделе 2.
3. После нахождения требуемого комплекса тока или падения напряжения осуществляем обратный переход во временную область, т.е. определяем мгновенное значение (закон изменения) требуемого тока или падения напряжения, рис. 3.1.
Следует отметить, что третий пункт обычно не реализуют, т.к. в найденном комплексе тока или падения напряжения имеется вся информация об их законе изменения.
Ясно, что между названными областями устанавливается взаимно-однозначное соответствие.
В следующих разделах разберем комплексный метод более подробно.
3.1. Преобразование мгновенных синусоидальных напряжений, токов, эдс в комплексы их действующих значений
Преобразование рассмотрим для тока, для остальных переменных выкладки будут аналогичными.
Ток изменяется по синусоидальному закону
i = Im sin(ωt+),
где Im - амплитудное значение;
(ωt+) - фаза колебания;
- начальная фаза;
Т - период;
На комплексной плоскости (1,j), рис. 3.2а, возьмем вектор (назовем его комплексной амплитудой тока ) = Ime j и будем его вращать с круговой скоростью ω вокруг начала координат против часовой стрелки. Построим график изменения проекции этого вектора на мнимую ось, рис. 3.2б.
а) б)
Рис. 3.2
Из рис. 3.2б видно, что ток будет изменяться по синусоидальному закону. Установим математическую связь между данным преобразованием (рис. а и б). Умножим комплексную амплитуду тока на оператор вращения e jωt и сделаем преобразование по формуле Эйлера
e jωt = Im e j e jωt = Im e j(ωt+) = Im cos(ωt+) + j Im sin(ωt+).
Отсюда следует формула, связывающая синусоидальный ток i с его комплексной амплитудой,
i = Jm [ e jωt], (3.1)
т.е. ток равен мнимой части от комплексной амплитуды тока, умноженной на оператор вращения.
По аналогии запишем формулы для напряжения и э.д.с.:
u = Jm
[
e
jωt] , e
= J m
[
e
jωt], (3.2)
здесь
=
Um
e ju
,
=
Em
e
je
- комплексные амплитуды напряжения и
э.д.с. .
При расчетах (если нет дополнительных оговорок) используют комплексы действующих значений токов, напряжений, э.д.с. (или просто комплексы токов, напряжений, э.д.с.) вместо их комплексных амплитуд.
В этом случае можно записать:
(3.3)
здесь
и
- комплексы действующих значений;
I, U и E - действующие значения;
, u и e - начальные фазы.
Рассмотрим примеры перехода из временной области в комплексную область и обратно, используя формулы (3.1) - (3.3).
Пример 1.
Дано: i = 141 sin (314t + 20o ).
Найти: m , .
Решение:
Пример 2.
Дано: = 220 e – j30 , f = 50 Гц .
Найти: u(t).
Решение: ω = 2πf = 2 . 3,14 . 50=314 с-1 ,
u =
U
sin(ωt+
u)= 1,41.
220
sin(314t - 30
o )=310sin(314t - 30o
).