1.5. Последовательное , параллельное и смешанное соединения элементов

Приведенные ниже формулы справедливы для резистивных элементов цепей постоянного и переменного тока. Для цепей синусоидального тока, содержащих реактивные элементы (индуктивный и емкостной), формулы записываются в других обозначениях, см. раздел 3.

1. Последовательное соединение резистивных элементов, рис.1.16.

Рис. 1.16

При последовательном соединении элементов по ним течет один и тот же ток. Левая и правая схемы рис. 1.16 эквивалентны.

При этом должны выполняться соотношения:

R = R₁ + R₂ + R₃ - эквивалентное сопротивление;

U_ав = U₁ + U₂ + U₃ ; U_ав = E ; I = .

В общем виде при к-последовательно соединенных элементах эквивалентное сопротивление находится по формуле

.

2. Параллельное соединение резистивных элементов, рис 1.17.

Рис. 1.17

При параллельном соединении элементов на них одно и то же напряжение (в нашем случае U_ав = E ). Левая и правая схемы эквивалентны. При этом должны выполняться соотношения:

или G = G₁ + G₂ + G₃ ,

где  эквивалентная проводимость;

- проводимости параллельных ветвей (для нашего примера=1,2,3);

В случае к-параллельных ветвей общая (эквивалентная) проводимость параллельных ветвей находится по формуле

.

Пример 1.

Найти эквивалентное сопротивление двух параллельных ветвей схемы рис. 1.18 при заданных R₂, R₃ и R₄.

Рис. 1.18

Находим сопротивление первой ветви R₁ = R₃ + R₄, затем определяем общее сопротивление цепи:

1. , 2) , 3) .

Последняя формула часто используется самостоятельно (при этом эквивалентное сопротивление должно быть по величине меньше меньшего из параллельных сопротивлений).

Пример 2. Найти сопротивление между точками цепи , рис. 1.19 .

Рис. 1.19

Решение: R_ав = R₁ + R₃ , R_ad = R₁ + R₃ , R_cв = R₂ + R_{3 ,}

R_ac = R₁ + R₂ , R_cd = R₂ + R₃ , R_вd = 0 .

3. Смешанное соединение резистивных элементов.

Рассмотрим пример расчета электрической цепи с использованием закона Ома, рис. 1.20 .

Дано: R₁, R₂, R₃, U .

Найти: I₁, I₂, I₃, U₁, U₂, R.

Рис. 1.20

Порядок расчета.

1) Найдем эквивалентное сопротивление параллельного участка цепи:

.

Тогда схему рис. 1.20 можно упростить, рис. 1.21.

Рис. 1.21 Рис. 1.22

2. Согласно схемы рис. 1.21, резисторы R₁ и R₂₃ включены последовательно, поэтому общее сопротивление найдем по формуле

R = R₁ + R₂₃ .

Схему рис. 1.21 преобразуем в схему рис. 1.22.

2. Используя схему рис.1.22, найдем общий ток:

.

2. По схеме рис.1.21 определим падения напряжения:

U₁ = I₁ R₁, U_аb = R₂₃ I_{1 .}

5. Недостающие токи параллельных ветвей найдем по исходной схеме, рис.1.20:

_, .

5. Проверим найденные токи по первому закону Кирхгофа. Должно соблюдаться соотношение (с определенной степенью точности)

I₁ = I₂ + I₃ .

1.6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно

Приведем формулы преобразования треугольника сопротивлений (рис. 1.23) в эквивалентную звезду (рис. 1.24):

R_a = , R_b = , R_с = ,

где R_m = R_аb + R_bс + R_са.

Рис. 1.23 Рис. 1.24

Формулы обратного преобразования из звезды в треугольник имеют следующий вид:

, , .

Если использовать проводимости ветвей, то последнее преобразование можно осуществить по формулам:

G_аb = , G_bс = , G_ca = , где G_n = G_a + G_b + G_c.

Пример.

Дано: R₁, R₂, R₃, R_aв, R_вс, R_ca .

Найти: эквивалентное сопротивление R заданной электрической цепи, рис.1.25.

Рис. 1.25 Рис. 1.26

Преобразуем треугольник сопротивлений авс в эквивалентную звезду. Тогда схема примет вид, рис. 1.26 . Дальнейший расчет сводится к вычислениям по формулам:

R_c2 = R_c + R₂ , R_b3 = R_b + R₃ , , R = R₁ + R_a + R_{c2, b3}.