3.6.3. Метод узловых потенциалов

Рассмотрим пример расчета с помощью метода узловых потенциалов, рис. 3.14 .

Дано: Z₁ = 20+j20 = 28,28 e ^j45 Ом; Z₂ = 40+j40 = 56,57 e ^j45 Ом;

Z₃ = 40+j80 = 89,44 e ^j63,43 Ом; Z₄ = 0-j100 = 100 e ^-j90 Ом;

Z₅ = -j100 = 100 e ^-j90 Ом ; Z₆ = 50 Ом;

₁ = 220 e ^j0 = 220 + j0 В ; ₂ = 240 e ^-j120 = 120 - j207,85 В;

₃ = 210 e ^j100 = -36,47 + j206,81 В.

Найти токи в ветвях: ₁, ₂, ₃, ₄ и _{5 .}

Решение.

1. В схеме рисунка 3.14 заземлим третий узел ₃ = 0.

Составим уравнения для определения потенциалов оставшихся узлов:

(Y₁ + Y₂ + Y₅ + Y₆) ₁ - (Y₅ + Y₆) ₂ = ₁Y₁ + ₂Y₂, (3.15)

- (Y₅ + Y₆) ₁+ (Y₃ + Y₄ + Y₅ + Y₆) ₂ = ₃Y₃.

Рис. 3.14

Найдем проводимости ветвей:

См; См; См; См; См; См.

Подставим в cистему уравнений (3.15) числовые данные:

(0,0575 - j0,0275) ₁ - (0,02 + j0,01) ₂ = 1,4019 - j6,5981;

- (0,02 + j0,01) ₁ + (0,025 + j0,01) ₂ = 1,8857 + j1,3987.

Систему уравнений решим на ЭВМ.

Сделаем подстановку ₁ =  _a1 + j _р1, ₂ =  _a2 + j _p2 и перейдем к системе линейных алгебраических уравнений:

0,0575  _a1 + 0,0275  _p1 - 0,02  _a2 + 0,01  _p2 = 1,4019;

- 0,0275  _a1 + 0,0575  _p1 - 0,01  _a2 - 0,02  _p2 = -6,5981;

- 0,02  _a1 + 0,01  _p1 + 0,025  _a2 - 0,01  _p2 = 1,8857;

- 0,01  _a1 - 0,02  _p1 + 0,01  _a2 + 0,025  _p2 = 1,3987.

В результате решения на ЭВМ имеем:

₁ =  _a1 + j _p1 = 101,68 - j36,81 = 108,14 e ^-j19,9 В;

₂ =  _a2 + j _p2 = 171,00 - j1,23 = 171 e ^-j0,4 В.

Используя обобщенный закон Ома, найдем токи в ветвях:

1= ( 3 - 1+ 1) Y1	= (0 - 101,68 + j36,81 + 220)(0,025 - j0,025) =
	=3,878 - j2,038 = 4,38 e ^-^j^27,72 А;

2 = ( 3 - 1 + 2) Y2 =

(0 - 101,68 + j36,81+120 - j207,8)(0,0125 - - j0,0125) =-4,91 + j0,633 = 4,95 e ^j^172,65 А;

3 = ( 3 - 2 + E3) Y3

= (0 - 171 + j1,23 - 36,47 + j206,81)(0,005 – - j0,01) =1,043 + j3,115 = 3,28 e ^j^71,49 А;

4 = ( 2 - 3) Y4

= (171 - j1,23 – 0)(j0,01) = 0,0123 + j1,71 = = 1,71 e ^j^89,59 А;

5 = ( 2 - 1) Y5	= (171 - j1,23 - 101,68 + j36,81)(j0,01)=
	=-0,356 + j0,693 = 0,78 e ^j^117,19 А;

6 = ( 2 - 1) Y6	= (171 - j1,23 - 101,68 + j36,81)(0,02) =
	=1,368 + j0,712 = 1,568 e ^j27,19 А.

Сделаем предварительную проверку правильности расчета с помощью первого закона Кирхгофа:

₁ + ₂ + ₅ + ₆ = - 0,009 - j0,001 ≈ 0,0 + j0,0 ;

₃ - ₄ - ₅ - ₆ = 0,008 - j0,001 ≈ 0,0 + j0,0 .

Баланс мощностей:

_и = ₁I^*₁ + ₂I^*₂ + ₃I^*₃ =220 e ^j0 4,38 e ^j27,72 +

+240 e ^-j120 4,95 e ^-j172,65+ 210 e ^j100 3,28 e ^-j71,49 = 1916 + j1873 ВА;

P_и = 1916 Вт; Q_и = 1873 ВАр; S_и = 2679 ВА;

_н = Z₁I₁² + Z₂I₂² + Z₃I₃² + Z₄I₄² + Z₅I₅² + Z₆I₆² =

= 28,28 e ^{j45 .} 4,38² + 56,57 e ^{j45 .} 4,95² + 89,44 e ^{j63,43 .} 3,28² +

+ 100 e ^{-j90 .} 1,71² + 100 e ^{-j90 .} 0,78² + 50 e ^{j0 .} 1,56² = 1916 + j1871 ВА.

P_н = 1916 Вт; Q_н = 1871 ВАр; _н = 2678 ВА.

Относительные ошибки _P и _Q меньше 5%.