Тогда имеем:
1 - 2 + 3 = 0 ;
100 1+(50+ j50) 2 = 86,6 - j50, (3.9)
-(50 + j50) 2 - (-j100) 3 = 86,6 - j50.
Решать систему (3.9) можно любым из методов расчета, например, по формулам Крамера, как это было сделано в разделе 3.6.2. Рассмотрим другой метод расчета, основанный на замене комплексных уравнений обычными уравнениями и решении их на ЭВМ. В этом случае одно комплексное уравнение распадается на два: одно - записанное относительно вещественных частей уравнения, другое - относительно мнимых частей уравнения. Проведем указанную операцию с системой комплексных уравнений (3.9). Введем новые переменные для токов - их вещественные Ia и мнимые Ip части с соответствующими индексами:
1 = Ia1 + jIp1, 2 = Ia2 + jIp2, 3 = Ia3 + jIp3 . (3.10)
Сделаем подстановку (3.10) в (3.9):
Ia1 + jIp1 - Ia2 - jIp2 + Ia3 + jIp3 = 0 + j0,
(100 + j0)(Ia1 + jIp1)+(+50+ j50)(Ia2 + jIp2) = 86,6 - j50, (3.11)
( -50 - j50)(Ia2 + jIp2) + (0 + j100)(Ia3 + jIp3) = 86,6 - j50.
В левой части уравнений системы (3.11) найдём вещественные и мнимые части и приравняем их соответствующим правым частям этих же уравнений:
Ia1 + 0Ip1 - Ia2 + 0Ip2 + Ia3 + 0Ip3 = 0;
0Ia1 +Ip1 + 0Ia2 - Ip2 + 0Ia3 + Ip3 = 0;
100Ia1 + 0Ip1+ 50Ia2 - 50Ip2 + 0Ia3 + 0 Ip3 = 86,6; (3.12)
0Ia1 + 100Ip1 + 50Ia2 + 50Ip2 + 0Ia3 + 0Ip3 = -50;
0Ia1 + 0Ip1 - 50Ia2 + 50Ip2 + 0Ia3 - 100Ip3 = +86,6 ;
0Ia1 + 0Ip1 - 50Ia2 - 50Ip2 + 100Ia3 + 0Ip3 = -50.
Решим систему линейных алгебраических уравнений (3.12) на компьютере:
Ia1 = 0,683; Ip1 = 0,183;
Ia2 = -0,5; Ip2 = -0,866;
Ia3 = -1,183; Ip3 = -1,049.
Найденные значения подставим в (3.10):
1 = 0,683 + j0,183 = 0,707 e j15 А;
2 = -0,5 - j0,866 = 1 e j240 А;
3 = -1,183 - j1,049 = 1,581 e j221,56 А.
Мгновенные значения токов будут изменяться по законам:
i1 = 0,707 sin(ωt+15о )=1 sin (ωt+15о );
i2 = 1 sin(ωt+240о ) = 1,41 sin (ωt+240о );
i3 = 1,581 sin(ωt+221,56о ) = 2,23 sin (ωt+221,56о ).
Сделаем проверку расчётов по балансу мощностей.
Согласно схемы рис. 3.12, запишем
и = 1 I*1 + 3I*3=100 e-j30 0,707 e-j15 + 100 ej150 1,581 e-j221,56=
=100 - j199,975 ВА,
здесь Pи = 100 Вт ; Qи = -199,975 ВАр ;
Н = 1I*1+ 2I*2+ 3I*3 = Z1I12 + Z2I22 + Z3I32 =
= 100 . 0,7072 + (50 + j50) . 12 + ( -j100) . 1,5812 = 99,984 - j199,957 ВА,
где РН = 99,984 Вт, QН = -199,957 ВАр.
Относительные ошибки
и
меньше 5%. Расчет выполнен правильно.
3.6.2. Метод контурных токов
Рассмотрим пример предыдущего раздела.
Перерисуем схему и выберем направление контурных токов по часовой стрелке, рис. 3.13. Тогда система из двух уравнений примет вид
(Z1+Z2) 11 - Z2 22 = 1, (3.13)
Z2 11 + (Z2+Z3) 22 = - 3 .
Сделаем числовую подстановку в (3.13):
(150+j50) 11 - (50+j50) 22 = 86,6-j50 ; (3.14)
(50+j50) 11 + (50-j50) 22 = 86,6-j50 .
Рис. 3.13
Решим систему (3.14) по формулам Крамера и численным методом на ЭВМ. По формулам Крамера:
А;
А;
=(150+j50)(86,6-j50) - (-50-j50)(86,6-j50)=15490-j3170+6830+j1830=
=22320 - j1340;
Выразим токи в ветвях через контурные токи:
1 = 11 = 0,683 + j0,183 = 0,707 e j15 А;
2 = 11 - 22 = 0,683 + j0,183 - 1,183 - j1,049 = - 0,5 - j0,866 = 1 e j240 А;
3 = - 22 = - 1,183 - j1,049 = 1,581 e j221,56 А.
Полученные значения токов совпадают с найденными ранее в разделе 3.6.1. Для решения комплексной системы уравнений (3.14) на ЭВМ (или на программируемом калькуляторе) преобразуем ее в систему линейных алгебраических уравнений:
(150 + j50) (Ia11 + jIp11) - (50 + j50) (Ia22 + jIp22) = 86,6 - j50,
- (50 + j50) (Ia11 + jIp11) + (50 - j50) (Ia22 + jIp22) = 86,6 - j50.
В полученной системе в левой части уравнений выделим действительные и мнимые части и приравняем их соответствующим действительным и мнимым частям правой части уравнений. Получим систему из четырех уравнений:
150Ia11 - 50Ip11 - 50Ia22 + 50Ip22 = 86,6;
50Ia11 + 150Ip11 - 50Ia22 - 50Ip22 = -50;
-50Ia11 + 50Ip11 + 50Ia22 + 50Ip22 = 86,6;
-50Ia11 - 50Ip11 - 50Ia22 + 50Ip22 = -50.
Решение системы:
Ia11 = 0,683; Ip11 = 0,183; Ia22 = 1,183; Ip22 = 1,049
или 11 = Ia11 + jIp11 = 0,683 + j0,183 А;
22 = Ia22 + jIp22 = 1,183 + j1,049 А.
Отметим, что существуют программные математические среды, позволяющие в удобной и наглядной форме решать подобные (3.14) системы комплексных уравнений. Примером может быть комплекс MathCad фирмы MathSoft .