- •Предисловие
- •1. Основные понятия, определения и законы электротехники
- •1.1. Определения
- •1.2. Идеальные элементы электрических цепей и схем
- •1.3. Неразветвленные и разветвленные электрические цепи
- •1.4. Закон Ома , законы Кирхгофа , баланс мощностей
- •1.5. Последовательное , параллельное и смешанное соединения элементов
- •1.6. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно
- •2. Основные методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока
- •2.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
- •2.2. Метод контурных токов
- •2.3. Метод узловых потенциалов
- •2.4. Метод двух узлов
- •2.5. Метод эквивалентного генератора
- •2.6. Метод наложения
- •2.7. Потенциальная диаграммма
- •3. Комплексный метод расчета линейных электрических цепей синусоидального тока
- •3.1. Преобразование мгновенных синусоидальных напряжений, токов, эдс в комплексы их действующих значений
- •3.2. Схемы замещения идеальных элементов линейных электрических цепей. Волновые и векторные диаграммы
- •3.3. Операции с комплексными числами
- •3.4. Последовательное, параллельное и смешанное соединения элементов
- •3.4.1. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно
- •3.5. Баланс мощностей в электрических цепях синусоидального тока
- •3.6. Методы расчета линейных электрических цепей с помощью комплексного метода
- •3.6.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа
- •Тогда имеем:
- •3.6.2. Метод контурных токов
- •3.6.3. Метод узловых потенциалов
- •Решение.
- •3.6.4. Метод двух узлов
- •Метод эквивалентного генератора
- •Метод наложения
- •3.7. Топографическая диаграмма
3.3. Операции с комплексными числами
Рассмотрим операции с векторами и комплексными числами.
Сложение и вычитание производится в алгебраической форме:
= 1 + 2 = a1 + jb1 + a2 + jb2 = (a1 + a2) + j(b1 + b2) = a + jb;
= 1 - 2 = a1 + jb1 - (a2 + jb2) = (a1 - a2) + j(b1- b2) = a + jb.
Операции с векторами показаны на рис. 3.3.
Рис. 3.3 Показаны операции с векторами:
a = a1 + a2; a = a1 - a2;
b = b1 + b2; b = b1 - b2
Пример: = (5 + j7) + ( -9 + j5) = -4 + j12;
= (5 + j7) - ( -9 + j5) = 14 + j2.
2. Умножение и деление можно проводить в показательной
= 1 2 = A1 e j1A2 e j2 = A1 A2 e j(1+2) = A e j ;
и в алгебраической формах:
= (a1 + jb1)(a2 + jb2) = (a1a2 - b1b2) + j(a1b2 + a2b1) = a + jb;
Пример: = 10 e j20 . 2 e -j30 = 20 e -j10 ;
= (2 + j3)(4 + j5) = (8 - 15) + j(10 + 12) = -7 + j22;
Перевод комплексного числа из алгебраической формы в показательную форму и обратно осуществляется по формулам:
1. Из алгебраической формы в показательную, рис. 3.4,
= a + jb = A e j ,
здесь A = , ( при этом a, b < A < a + b );
если a > 0 ( I и IV квадранты ), то
если a < 0 ( II и III квадранты), то
При этом значения вещественной а и мнимой b частей подставляются со своими знаками.
Пример: 1 = 5 + j8 = e j arctg (8/5) = 9,43 e j58 ;
2 = -5 + j8 = 9,43 e j122 ;
3 = 4 = -5 - j8 = 9,43 e j238 = 9,43 e -j122 ;
4 = 5 - j8 = 9,43 e -j58 .
Векторы показаны на рис. 3.5.
Рис. 3.4 Рис. 3.5
2. Из показательной формы в алгебраическую, рис. 3.4,
= A e j = A cos + jA sin = a + jb.
Пример: 1 = 10 e j30 = 10 cos30o + j10 sin30o = 8,66 + j5;
2 = 220 e j0 = 220 + j0 = 220;
3 = -10 e -j50 = -10 cos(-50o) - j10 sin(-50o) = - 6,43 + j7,66;
4 = 5 e j210 = 5 cos210o + j5 sin210o = - 4,33 - j2,5.
Частные случаи:
3.4. Последовательное, параллельное и смешанное соединения элементов
Приведем формулы определения полных комплексных сопротивлений последовательного и параллельного соединения элементов.
Рассмотрим на примере электрических схем рис. 3.6 и 3.7.
Дано: Z1 = 5 + 5j Ом, Z2 = 3 - j8 Ом, Z3 = -j10 Ом.
Найти: Z - полное комплексное сопротивление последовательной и параллельной цепочек.
Рис. 3.6 Рис. 3.7
В общем случае для последовательно соединенных элементов
Z = Zк .
Для рассматриваемого примера (рис.3.6)
Z = Z1 + Z2 + Z3 = 5 + j5 + 3 - j8 - j10 = 8 - j13 Ом.
Для параллельной цепочки найдем полную комплексную проводимость и полное комплексное сопротивление:
.
Для нашего примера (рис.3.7)
См;
См;
См;
См;
Ом,
.
Рассмотрим пример расчёта электрической цепи со смешанным соединением элементов (рис. 3.8).
Дано: U = 220 B , Z1= 5+j8 Ом, Z2 = Z3 = 20+j20 Ом.
Найти: 1, 2, 3 .
Рис. 3.8
Решение.
а) Эквивалентное сопротивление параллельного участка
Ом.
б) Полное комплексное сопротивление всей цепи
Ом.
в) Найдём токи:
А;
В;
А;
А.
г) Проверим токи по первому закону Кирхгофа 1 = 2 + 3 :
1 = 6,01 - j7,21 А; 2 + 3 = 2,99 - j3,58 + 2,99 - j3,58 = 5,98 - j7,16 А.
Действительные и мнимые части у 1 и ( 2+ 3 ) отличаются незначительно. Будем считать, что значения токов найдены правильно.