2.2. Метод контурных токов

Метод контурных токов выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путем исключения уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа. Указанная процедура достигается за счет введения обобщенных переменных, так называемых контурных токов, относительно которых составляются уравнения по второму закону Кирхгофа. Полученные уравнения решаются относительно контурных токов. Затем токи в ветвях выражаются через найденные контурные токи.

Порядок расчета рассмотрим на примере.

Решим тот же пример, что и в предыдущем разделе, рис. 2.2 .

Дано: Е ₁ = 100 В, Е ₂ = 200 В,

R₁ = 10 Oм, R₂ = 15 Oм, R₃ = 20 Oм,

R₄ = 25 Oм, R₅ = 30 Oм, R₆ = 35 Oм.

Найти : токи в ветвях.

Рис. 2.2

Решение.

1. Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: m - (n - 1) = 3, где m и n - число ветвей и узлов соответственно. Число уравнений равно числу неизвестных контурных токов. В нашем случае - три. Обозначим контурные токи: I₁₁, I₂₂ и I₃₃.

2. Выберем направление контурных токов совпадающим с направлением вращения часовой стрелки. Номера контуров совпадают с индексами контурных токов. Отметим, что по второй, четвертой и пятой ветвям текут по два контурных тока.

3. Составим систему из трех уравнений по второму закону Кирхгофа относительно контурных токов. При этом учтем падение напряжения на резистивных элементах от каждого контурного тока, текущего по нему. Направление обхода контуров выберем совпадающим с направлением соответствующего контурного тока. Первое уравнение соответствует первому контуру, второе - второму и т.д. :

(R₁ + R₂ + R₄) I₁₁ - R₂ I₂₂ – R₄ I₃₃ = E₁ – E₂,

(R₂ + R₃ + R₅) I₂₂ - R₂ I₁₁ – R₅ I₃₃ = E₂, (2.4)

(R₄ + R₅ + R₆) I₃₃ - R₄ I₁₁ – R₅ I₂₂ = 0.

2. Приведем систему (2.4) к стандартному виду:

(R₁ + R₂ + R₄) I₁₁ – R₂ I₂₂ - R₄ I₃₃ = E₁ – E₂,

- R₂ I₁₁ + (R₂ + R₃ + R₅) I₂₂ – R₅ I₃₃ = E₂, (2.5)

• R₄ I₁₁ – R₅ I₂₂ + (R₄ + R₅ + R₆) I₃₃ = 0.

В более общем виде система (2.5) запишется:

R₁₁ I₁₁ + R₁₂ I₂₂ + R₁₃ I₃₃ = E₁₁,

R₂₁ I₁₁ + R₂₂ I₂₂ + R₂₃ I₃₃ = E₂₂, (2.6)

R₃₁ I₁₁ + R₃₂ I₂₂ + R₃₃ I₃₃ = E₃₃

или в матричной форме

RI = E ,

здесь

R₁₁ = R₁ + R₂ + R₄ , R₁₂ = R₂₁ = -R₂,

R₂₂ = R₂ + R₃ + R₅ , R₁₃=R₃₁= -R₄, (2.7)

R₃₃ = R₄ + R₅ + R₆ , R₂₃ = R₃₂ = -R₅,

E₁₁ = E₁ – E₂, E₂₂ = E₂, E₃₃ = 0,

Запишем формулы для расчета контурных токов:

; ; .

Здесь

Решение в матричной форме

I = R^-1 E .

Подставим в (2.5) величины заданных сопротивлений и э.д.с.:

50 I₁₁ - 15 I₂₂ - 25 I₃₃ = -100,

-15 I₁₁ + 65 I₂₂ - 30 I₃₃ = 200,

-25 I₁₁ - 30 I₂₂ + 90 I₃₃ = 0 .

Решим полученную систему на ЭВМ:

I₁₁ = -0,4570 А ; I₂₂ = 3,4425 А ; I₃₃ = 1,0206 А.

4. Выразим токи в ветвях через контурные. Выберем направление токов в ветвях, например, такое же, как в предыдущем методе расчета,см. рис. 2.3 . Тогда имеем:

I₁ = I₁₁ = -0,4570 A,

I₂ = I₁₁ – I₂₂ = -0,4570 - 3,4425 = -3,8995 A,

I₃ = - I₂₂ = -3,4425 A,

I₄ = I₃₃ - I₁₁ = 1,0206 + 0,4570 = 1,4776 A,

I₅ = I₃₃ – I₂₂ = 1,0206 - 3,4425 = -2,4219 A,

I₆ = I₃₃ = 1,0206 A.

Отметим, что при определении токов I₂, I₄ и I₅ учитывалось, что контурный ток, совпадающий с током в ветви, берется со знаком "+", не совпадающий - со знаком "-". При этом значения контурных токов подставляются в формулы со своим знаком.

Поскольку значения токов получились практически одинаковыми

в обоих методах расчета, то проверку расчета по балансу мощностей не проводим.

Рис. 2.3