2.4. Метод двух узлов

Метод двух узлов выводится из метода узловых потенциалов. Применяется для расчета электрических цепей, имеющих два узла. Порядок расчета рассмотрим на примере, рис. 2.6 .

Дано: R₁ = 10 Oм, R₂ = 15 Oм, R₃ = 20 Oм, R₄ = 25 Oм,

E₁ = 100 Oм, E₂ = 150 Oм, E₃ = 200 Oм.

Найти: I₁, I₂, I₃, I₄ .

Рис. 2.6

1. Найдем напряжение между узлами а и b по формуле

,

где знак плюс в числителе берем, если стрелка э.д.с. направлена к узлу а, в противном случае берем знак минус; G_к = 1/R_к - проводимость к-ой ветви.

Для рассматриваемого примера

,

здесь

2. Используя обобщенный закон Ома, найдем токи в ветвях. Зададимся направлениями токов (произвольно) и запишем формулы определения токов:

I₁ = (E₁ - U_ав) G₁ = (100 - 38,96) 0,1 = 6,10 A;

I₂ = (-E₂ - U_ав) G₂ = (-150 - 38,96) 0,0667 = - 12,60 A;

I₃ = (-E₃ + U_ав) G₃ = (-200 + 38,96) 0,05 = - 8,05 A;

I₄ = U_ав G₄ = 38,96 ^. 0,04 = 1,56 A.

3. Найденное решение проверим по балансу мощностей:

Мощность источников

=4110,40 Bт .

Мощность нагрузок

.

Относительная ошибка

.

Расчет выполнен верно.

Отметим, что при этом методе расчета бывает достаточно проверить уравнения по первому закону Кирхгофа:

I₁ + I₂ – I₃ - I₄ = 6,10 - 12,60 + 8,05 - 1,56 = 0.

2.5. Метод эквивалентного генератора

Выводится из теоремы об активном двухполюснике. Применяется для расчета электрических цепей, в которых требуется найти ток в какой - либо одной ветви.

Суть метода сводится к следующему. Выделим нагрузку, в которой требуется найти ток, а оставшуюся электрическую цепь примем за активный двухполюсник (или за эквивалентный генератор), рис. 2.7. Затем опытным (с помощью приборов) или расчетным путем определим параметры схемы замещения активного двухполюсника ( эквивалентного генератора), рис. 2.8, где Е_г - э.д.с. эквивалентного генератора, равная напряжению холостого хода U_ав (при отсутствии нагрузки R_н), рис. 2.9; R _г - внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, равное входному сопротивлению двухполюсника R_ав, рис. 2.10.

Затем, по схеме рис. 2.8, находим требуемый ток:

.

Порядок расчета рассмотрим на примере, рис. 2.11.

Рис. 2.7 Рис. 2.8

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Дано: R₁ = 20 Oм; R₂= 25 Oм; R₃ = 30 Oм; R₄ = 40 Oм;

Е ₁ = 100 В; Е ₂= 150 В; Е ₄ = 50 В.

Найти: I₄ .

Рис. 2.11

1. Удалим нагрузку R₄ и найдем напряжение холостого хода U_ab

на разомкнутых зажимах а и b оставшейся схемы, рис. 2.12.

Рис. 2.12

Обойдем третий контур III (рис. 2.12), содержащий вектор U_ab, по часовой стрелке. Тогда по второму закону Кирхгофа можно записать

U_ab – R₃ I₃ = -E ₄ или E _г = U_ab = - E ₄ + R₃ I₃ , (2.11)

где I₃ - ток, который надо найти по схеме рис. 2.12.

Определим ток I₃ с помощью метода контурных токов. Выберем контурные токи I₁₁и I₂₂ , рис. 2.12, и составим систему из двух уравнений, поскольку четвертая ветвь разомкнута:

(R₁ + R₂) I₁₁ - R₂ I₂₂ = E ₁ + E ₂,

- R₂ I₁₁ + (R₂ + R₃) I₂₂ = - E ₂,

подставим значения сопротивлений:

45 I₁₁ - 25 I₂₂ = 250,

-25 I₁₁ + 55 I₂₂ = - 150,

и решим эту систему : I₁₁ = 5,405 A; I₂₂ = - 0,270 A .

Ток I₃ = I₂₂ = - 0,270 A подставим в (2.11) , тогда

E _г = U_ab = - 50 + 30 (- 0,270) = - 58,1 В.

2. Найдем сопротивление между зажимами а и b. Поскольку идеальные источники э.д.с. имеют внутреннее сопротивление, равное нулю, то расчетная схема примет вид, показанный на рис. 2.13.

Рис. 2.13

Все элементы включены параллельно:

G_ab = G₁ + G₂+ G₃ = 0,1233 См ;

Итак, R_г = R_ab = 8,11 Oм .

3. По эквивалентной схеме генератора с подключенной к нему нагрузкой R₄, рис. 2.14, находим ток в четвертой ветви:

Рис. 2.14

Очевидно, что в этом случае правильность расчета нельзя проверить по балансу мощностей.