3.4.1. Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду и обратно

Приведём формулы преобразования схем, рис. 3.9 .

Рис. 3.9

Преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду:

где Z = Z_ав+Z_вс+Z_{са .}

Преобразование звезды в треугольник:

1. 

где Y = Y_а + Y_в + Y_с .

2. 

Пример :

Даны сопротивления треугольника: Z_aв = Z_вc = Z_ca = 30 +j30 Ом.

Найти сопротивления звезды: Z_a , Z_в и Z_c .

Решение: Ом.

3.5. Баланс мощностей в электрических цепях синусоидального тока

Полная комплексная мощность источников тока должна равняться полной комплексной мощности, потребляемой нагрузкой:

_и = _н , (3.4)

здесь полная комплексная мощность источников тока равна

(3.5)

полная комплексная мощность нагрузки равна

(3.6)

где I^*_к = I_к е ^-j - ток ,сопряженный току I_к = I_к , текущему по к-ому источнику или по к-ой нагрузке; P_и, Q_и, P_н и Q_н - активная и реактивная мощности источников и нагрузки соответственно.

Уравнение (3.4) может быть записано в виде двух соотношений. Действительно,

P_и + jQ_и = P_н + jQ_н ,

отсюда P_и = P_н и Q_и = Q_н . (3.7)

Здесь активная P_н и реактивная Q_н мощности могут быть найдены по формулам:

P_н = r_к I²_к и Q_н = Q_L - Q_С,

где Q_L = Q_L,к = X_L,к I²_к - реактивная мощность индуктивных элементов;

Q_C = Q_C,к = X_C,к I²_к - реактивная мощность емкостных элементов.

Проверка расчётов определяется по относительным ошибкам:

, .

Примеры применения баланса мощностей будут разобраны ниже в разделах 3.6.1 и 3.6.2.

3.6. Методы расчета линейных электрических цепей с помощью комплексного метода

Учитывая вышеизложенное, порядок расчёта комплексным методом сводится к следующему:

1. По заданной схеме электрической цепи рисуем схему замещения. При этом находим комплексы действующих значений источников тока, определяем полные комплексные сопротивления элементов цепи (см. табл. 3.2.1).

2. Любым из известных методов расчёта, рассмотренных нами ранее при расчете линейных электрических цепей постоянного тока ( см. главу 2 ), находим требуемые комплексы действующих значений токов и напряжений.

3. Делаем проверку найденного решения с помощью баланса мощностей (раздел 3.5).

Рассмотрим на примерах применение методов расчета.

Порядок расчета во всех методах аналогичен соответствующему порядку расчета цепей постоянного тока (см. главу 2).

3.6.1. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа

Рассмотрим пример, рис. 3.10.

Дано: е₁ = 141sin (ωt - 30^o), e₃ = 141cos (ωt + 60^o),

f = 50 Гц, r₁ = 100 Oм , r₂ = 50 Oм, L = 159 мГн , С = 32 мкФ.

Найти: токи в ветвях I₁, I₂, I₃, записать законы изменения их мгновенных значений.

Рис. 3.10

Решение.

Нарисуем схему замещения, рис. 3.11 .

Рис. 3.11

Найдем комплексы действующих значений э.д.с.:

е₁ = 141sin (ωt - 30^o)  В;

e₃ = 141cos (ωt + 60^o) от косинуса перейдем к синусу

е₃ = 141sin(ωt+90^o +60^o)=141sin(ωt+150^o)  В.

Найдем полные комплексные сопротивления элементов и ветвей электрической цепи, рис. 3.11:

ω = 2πf = 2 · 3,14 · 50 = 314 c^-1 ;

Z_L = jX_L = jωL = j50 = 50 e ^j90 Ом;

Ом;

Z₁ = r₁ = 100 Ом;

Z₂ = r₂ + Z_L = 50 + j50 = 70,71 e ^j45 Ом;

Z₃ = Z_С = -j100 = 100 e ^-j90 Ом.

В общем виде схему рисунка 3.11 можно представить в виде схемы, показанной на рисунке 3.12.

Рис. 3.12

Определим число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, и запишем уравнения. Направления обхода контуров показаны на рис. 3.11 и 3.12.

₁ - ₂ + ₃ = 0 ;

Z_{1 1} + Z_{2 2} = ₁ ; (3.8)

-Z_{2 2} - Z_{3 3} = - ₃.

В уравнения (3.8) подставим числовые значения сопротивлений Z₁, Z₂, Z₃ и э.д.с. ₁, ₃ .