3. Приближенные вычисления без учета погрешности.

Опр. Значащими цифрами в десятичной записи числа называют все его цифры кроме нулей стоящих слева от первой цифры отличной от нуля.

Приближенные вычисления без учета погрешности указывают на то сколько значащих цифр сохранять в вычислениях, чтобы с одной стороны не увеличивать объем вычислений за счет большого количества значащих цифр у операндов, а с другой стороны, чтобы погрешность, появляющаяся за счет округления операндов, не доминировала над погрешностями других видов.

Правило 1: Для того чтобы вычислить алгебраическую сумму приближенных слагаемых нужно:

1)среди слагаемых выделить наименее точное;

2)все остальные слагаемые округлить, сохраняя один запасной разряд, следующий за последним разрядом в выделенном слагаемом;

3)сложить полученные после округления числа;

4)полученный результат округлить до предпоследнего разр.

Пример 1:

найти сумму слагаемых S=2,737+0,7794+27,1+0,283

1.27,1;

2.Округлить 2,74; 0,78; 0,28;

3.S=30,90

4.30,9

Правило 2: Для того чтобы умножить (разделить) приближенное значение чисел следует:

выделить сомножитель, содержащий наименьшее число значащих цифр;
остальные сомножители округлить, сохранив на одну запасную значащую цифру больше, чем в выделенном сомножителе;
произвести умножение (деление);
полученный результат округлить, сохранив в нем столько значащих цифр сколько в выделенном сомножителе.

Пример 2:P=4,748*3,34*0,7

0,7
4,7; 3,3;
10,857;
1*

Правило 3: При возведении приближенного значения в квадрат или куб, извлечения корня из него в результате стоит оставлять столько значащих цифр сколько их имеет основание.

Правило 4: При вычислении значений sin, cos, tg, ctg аргументов, выраженных в радианах – в результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их имеет аргумент.

Правило 5: При вычислении мантиссы десятичного логарифма приближенного аргумента в результате необходимо сохранять на один десятичный знак меньше, чем количество значащих цифр аргумента.

Правило 6: Если число является результатом промежуточных действий, то в нем следует оставлять на одну, две цифры запасных больше чем указано в правилах 1-5.

7. Метод границ

Существуют различные способы оценки точности приближ. знач.:

1) метод строгого учета погрешн.

2)приближ. вычисл. без учета погрешн.

3)метод границ

Метод границ позволяет установить границы в кот. закл. знач. выполняемое по ф-ле, если известны границы парам., входящих в эту же ф-лу. Пусть Х-нек. число, нижняя граница НГх, верх. граница Х ВГх , НГх≤х≤ ВГх, НГy≤х≤ ВГy справедлива теор. 1:

Теорема 1

Сумма нижн. границ слаг. явл. нижн. границей суммы слаг. Сумма верх. границ слаг. явл. верх. границей суммы слаг.

Теорема 2

НГх-у= НГх- ВГy, ВГх-у= ВГх- НГy.

Док-во:

НГх- НГy≤х-у≤ ВГх- ВГy т.о.

НГх-у= НГх- НГy

ВГх-у= ВГх- ВГy

Пример

5.7≤х≤8.4 9≤х+у≤13.8

3.3≤у≤5.4 0.3≤х-у≤5.1

Теорема 3: Если нижние границы сомнож. неотриц., то справедливо след.: НГх* НГy≤ху≤ ВГх* ВГy.