8.Математические модели и численные методы.Вспомогательные сведения из математического анализа. Метод оптимального исключения решения слау.

Бол-во физ. задач решаются при помощи мат. Знаков один из методов решения таких задач-это эксперимент.Второй-матем. исследование физ. явления.Такое исслдед. применяется не к реал. Физ. процессу, а к его мат. модели.первая стадия при решении задачи – это постановка задачи или формул- мат. модели.2-ая задача – матем. Модели в завис. От её применения.Числ. методы делятся на:

- точные(дают решение задачи через конечное число арифм. Действий причём, если

исх. данные известны точно и вычисл. производ. без округл., то и вычисл. произв. точно-м. Гауса,Крамера и процесс ортогонализации)

- приближённые или итерационные методы (дают бескон. послед. приближенный, предел кот. если он Э явл. решением задачи – метод простой итерации, метод касат. реш.ур-ний и сист. ур-ний метод секущих, метод Зейделя.

При решении мат. задач важно знать корректно ли решаемая задача. Большинство некорректных задач записано в виде операторного уравнения 1-го рода.

Ax=y (1), x X, y€Y. A:x→Y, где А не обяз. лин. оператор.

Опр: задача отыскания решения х ур-ния 1 наз. корректной по Адамару, если при любой фиксированной части у0, если ее решение:

1)существует в Х

2)единственное в Х

3)устойчивое в Х

Если, хотя бы одно из условий нарушается, то задача наз. некорректной, большинство физ. задач некорректны.

Мн-во х произв.эл-ов наз. метрическим пр-вом, если любым эл-ам х,у став. в соотв. (х,у) наз.расст.между х,у (метрикой) удовл.след.условиям:

1) (х,у) 0 и (х,у)=0 если х=у

2) (х,у)= (у,х)

3) (х,z)

Послед. {хn х наз.сходящейся если к х* х если метрика между {хn,xm} .

Послед. {хn х наз. фундаментальной или сход. в себе, если для любого ε>0 существует N, что для любых n, m>N {хn,xm} .

Метр.пр-во в коп. всякая фунд.послед.сходится наз.полным.

Пусть х,у-метр.пр-ва,отображение f:х Y наз.оператором заданное в х со знач.у,то f-отображ.метрич.пр-во на себя.Если f(х)=х,где х х,то х-неподвиж.точка отображ. f.

Говорят, что отображение f:x→X наз. сжимающим, если для любых элементов х,у Х существует q<1 (f(x), f(y))≤q

Метод оптимального исключения по существу является вариацией метода Гаусса. Идея этого метода состоит в том, что последовательным исключением неизвестных матрица системы приводится к диагональному виду. Возможность же таких эквивалентных преобразований следует из теоремы о приведении матрицы к диагональному виду.

Теорема. Для любой квадратной вещественной матрицы А порядка существуют такие квадратные вещественные матрицы и и v (п-го порядка), что матрица UAV - диагональная. (см. с. 29).