- •1. Учет погрешности вычислений.
- •3. Приближенные вычисления без учета погрешности.
- •7. Метод границ
- •8.Математические модели и численные методы.Вспомогательные сведения из математического анализа. Метод оптимального исключения решения слау.
- •9. Решение ур-ний с одним неизвестным. Дихотомия. Принцип Банаха.
- •13. Метод Гаусса.
- •14. Обращение матриц и уточнение приближенной обратной матрицы.
- •15. Метод квадратного корня решения слау.
- •19. Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •20. Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности.
- •21. Интерполяционные многочлены Ньютона.
- •22. Численное дифференцирование. Некоторые частные формулы вычисления производных.
- •23. Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.
- •24. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •26. Численное интегрирование. Квадратурная формула Симпсона.
- •27. Численное интегрирование. Квадратурные формулы прямоугольников. Правило Рунге выбора шага интегрирования.
24. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
Точное вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница выглядит так:
, где F(x) – первообразная для f(x), т.е. (x)=f(x).
Использование этой формулы не всегда предоставляется возможным, т.к. первообразная подынтегральной ф-ции не всегда выражается в интегральных ф-ях – не берущийся интеграл, или не целесообразно,т.к. нахождение первообразной часто связано с очень громоздкими преобразованиями. В этих случаях, а так же, когда подынтегральная ф-ция задана таблично целесообразно вычислять определенные интегралы приближенно. Существуют различные методы численного интегрирования.
Формулы Ньютона-Котеса.
Пусть требуется вычислить определенный интеграл Заменим подынтегральную ф-цию ее интерполяционным многочленом (x), т.е. f(x)= (x)+ (x), тогда (x)= (x)= (x), где , =
Очевидно, что коэффициенты зависят от узлов интерполяции . Таким образом, мы можем записать, что В этой формуле правая часть называется квадратурной суммой, - квадратурные коэффициенты, – квадратурные узлы.
В то же время - формула механических квадратур.
Введем новую переменную t=
x- =x-( )=(x- )-ih=th-ih=(t-i)h
(x)=(x- )(x- )…(x- )=th(t-1)h*…*(t-n)h= (t-n)= , где
=( …(i-n)h=( )( )=
Отсюда получим:
= – формула показывает, что квадратурные коэффициенты зависят от отрезка интегрирования, т.к. в формуле присутствует h (шаг). Введем коэффициенты которые будут получаться:
= , h= , тогда
Коэффициенты уже не зависят от h, а только лишь от числа точек разбиения.
Таким образом, окончательно мы можем записать:
=(b-a) - квадратурная формула Ньютона-Котеса.
Коэффициенты носят название коэффициентов Ньютона-Котеса.
25. Численное интегрирование. Квадратурная формула трапеций. Квадратурная формула Ньютона-Котеса имеет вид: , где и Найдем явный вид коэффициентов (при n=1 имеет 2 узла: ): Таким образом, формула трапеции имеет вид: .
Выделим остаточный член для трапеции ( ), если в общем случае . В нашем случае . Тогда =
Если - непрерывна на отрезке [a,b], то так как множитель сохраняет знак на этом отрезке, то на нем существует такая точка η, что = , где Следовательно, , где
Для увеличения точности формулы трапеции разделим отрезок [a,b] на n частей длины и рассмотрим Тогда общая квадратурная формула трапеции имеет вид:
.
Остаточный член формулы имеет вид:
, где
26. Численное интегрирование. Квадратурная формула Симпсона.
Пусть n=2, тогда коэффициенты в формуле Ньютона-Котеса равны Из формулы Ньютона-Котеса следует формула Симпсона: , где
Если отрезок [a,b] разбить на четное число n=2m, тогда и
Общая квадратурная формула Симпсона: Остаточный член: , где
Остаточный член в формуле трапеции уменьшается пропорционально величине , а в формуле параболы - . Формула Симпсона сущ-но точнее, чем формулы прямоугольников и трапеций.