23. Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.
Нередко при обработке данных эксперимента встречаются со следующей задачей. В итоге опыта получен ряд значений x и y? однако характер функциональной зависимости между x и y неизвестен. Требуется по полученным данным найти аналитическое выражение зависимости между x и y. Формулы, которые получены в результате решения такого рода задач, называются эмпирическими.
Использование интерполяционных многочленов для этой цели не всегда целесообразно, т.к. совпадение значений полученной ф-ции с табличными значениями в узлах интерполяции не гарантирует достаточно малого различия указанных значений в других точках отличных от узлов.
Задача о построении эмпирической формулы состоит в следующем:
x |
|
|
… |
|
y |
|
|
… |
|
И
пусть в y=φ(x;
)
искомая эмпирическая формула, где
параметры
неизвестны. Обозначим через
φ(
)-
,
i=
,
─
уклонения эмпирической формулы, т.е.
погрешности.
─ значения из верхней строчки таблицы, ─ из нижней.
Требуется
так подобрать параметры
,
чтобы эти уклонения
оказались наименьшими (в каком-то
смысле). Для нахождения параметров
используются методы:
метод средних
метод выбранных точек
метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов.
Пусть известен вид эмпирической формулы y=φ(x; ) и φ( )- , i= , ─ уклонения эмпирической формулы.
По методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами считаются те, при которых сумма квадратов уклонений является минимальной:
S(
)=
Воспользуемся необходимым условием экстремума ф-ций нескольких переменных, по которому частные производные равны 0:
;
;
…;
;
Получили, так называемую нормальную систему для нахождения параметров . Если полученная система имеет единственное решение, то оно будет искомым.
Метод наименьших квадратов обладает тем преимуществом, что если сумма S квадратных уклонений мала, то сами эти уклонения также малы по абсолютной величине, чего нельзя сказать о методе средних. Недостаток метода наименьших квадратов – громоздкость вычислений.
Определение параметров эмпирических формул по методу наименьших квадратов в случае квадратичной зависимости.
Дана таблица:
x |
|
|
… |
|
y |
|
|
… |
|
Рассмотрим
пары (
)
как прямоугольные координаты на
плоскости и предположим, что точки
M(
),
i=
,
почти лежат на параболе. В этом случае
естественно предположить, что между x
и y
существует квадратичная закономерность:
,
i=
,
i=
Выберем
параметры a,
b,
c
так, чтобы выполнялось S=
Необходимо,
чтобы сумма была наименьшей. Для этого
необходимо, чтобы
=0;
=0;
=0;
Находя выражение для частных производных для ф-ции S по переменным a, b, c получим так называемую систему уравнений:
Из этой системы, используя, например метод Гаусса, и определяются параметры a, b, c эмпирической формулы.