- •1. Учет погрешности вычислений.
- •3. Приближенные вычисления без учета погрешности.
- •7. Метод границ
- •8.Математические модели и численные методы.Вспомогательные сведения из математического анализа. Метод оптимального исключения решения слау.
- •9. Решение ур-ний с одним неизвестным. Дихотомия. Принцип Банаха.
- •13. Метод Гаусса.
- •14. Обращение матриц и уточнение приближенной обратной матрицы.
- •15. Метод квадратного корня решения слау.
- •19. Интерполирование функций. Интерполяционный многочлен Лагранжа.
- •20. Интерполирование функций. Конечные разности. Разделённые разности.
- •21. Интерполяционные многочлены Ньютона.
- •22. Численное дифференцирование. Некоторые частные формулы вычисления производных.
- •23. Обработка результатов эксперимента. Метод наименьших квадратов.
- •24. Численное интегрирование. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса.
- •26. Численное интегрирование. Квадратурная формула Симпсона.
- •27. Численное интегрирование. Квадратурные формулы прямоугольников. Правило Рунге выбора шага интегрирования.
13. Метод Гаусса.
Пусть дана система ур-й:
Метод Гаусса состоит в том, что система (1) с произвольной матрицей А приводится к системе (3), где – верхняя треугольная матрица.
Из сис-мы (3) из посл-го ур-я нах xn , из предпосл-го xn-1 и т д. Сведение сис-мы (1) к к сис-ме (3) наз прямым ходом метода Гаусса, а нах-ние xn , xn-1, …, x1 обратным ходом.
При вычислении по этому методу велика вер-ть ошибок. Поэтому вводят контр столбец , где . Эл-ты контр столбца преобр по тем же ф-лам что и эл-ты строк матрицы, а затем провер рав-ство суммы эл-тов преобр-х строки и контр эл-та. Они должны совп с точностью до 1-2 единиц последнего разряда. При необходимости т/ой же контроль и в оьратном ходе м-да Гаусса м проводить.
Mетод Гаусса с выбором главного элемента решения СЛАУ.
Сначала выбираем ур-е, содержащее наибольший по абсол величине коэф-т, и делим данное ур-ние на этот коэф. Если этот эл-нт стоит при х1,то при х1 получится 1 и с пом этой 1 исключим перем х1 из всех ост ур-ний. Если же гл эл-нт не при х1 , то для удобства его надо переставить в первую строку в первый столбец.
Далее, оставляя неизменным ур-ние с гл эл, ищут наиб по абс величине коэф в ост ур-ниях, делят на него ур-ние, в кот нах-ся, и искл-ют из ост ур-ний соотв-щее неизвестное. В рез-те получ матрица диагонального вида.
Вычисление определителя.
Идея способа Гаусса посл-ного исключения неизв перем в системе ур-й также м б перенесена на задачу выч-ния определителя, только здесь она переходит в способ послед-го понижения порядка n опр-ля. Рассмотрим схему единственного деления. Пусть дан определитель
Выберем ведущий элемент первого шага преобразований. Он д б отличным от 0; чтобы избежать сильного разброса в порядках чисел, за него принимают либо наиб по модулю элемент опр-ля D, либо наиб эл-нт в избранной строке или избранном столбце. Выполняя т. о. перестановку строк и столбцов, можно считать, что за ведущий элемент принят . Вынося из первой строки (столбца) за знак D, приведем определитель к виду
Умножая первую строку последовательно на , , …, и вычитая из второй, третьей и т.д. строк, получим
Этим мы понизим порядок определителя на единицу и можем перейти ко второму шагу преобразований, применяя к полученному порядку n-1 такие же преобразования. Выполнив все n шагов, найдем определитель D как произведение ведущих элементов:
14. Обращение матриц и уточнение приближенной обратной матрицы.
Пусть дана невырожд (неособен) матрица, т е детерминант А 0.
. Для невырожд матрицы всегда обратная:
1) А-1= , где Aij=(-1)i+j∙Mij. Здесь нам придется выч-ть один опр-ль n-го порядка и n2 опр-ль (n-1)-го порядка.
2) Если обозн через x=A-1, то обр матр будет решением матр-го ур-я Ax=E, т е . Решая данное ур-ние, будем иметь дело с n-системами ур-ний, сод-щих n2 переменных .
3) Составим расшир м-цу и с помощью преобраз получ .
В рез-те будет получено неточно (из-за округлений), т е получим . Необходимо уточнить , так чтобы выполнялось нер-во: . Где -заданная точность.
Для уточнения эл-тов исп итерационный процесс:
Дn=Дn-1+ Дn-1∙Fn-1. (1)
Fn-1=Е-А∙ Дn-1 (2)
Д0= .
Если будет вып-ся , то Дn выберем в качестве решения задачи.