Тема 10.Изучение сезонных колебаний способом переменной средней.

1.Теоритическая база

Для выполнения данной практической работы необходимо знать теорию рядов динамики, тренда и основных способов изучения сезонных колебаний. В качестве базового учебника по данной теме рекомендуется [5] (стр.187-205).

2.Краткие основы теории по данному вопросу. Основные формулы, определения, алгоритм расчёта.

Как известно, для измерения сезонных колебаний рассчитываются индексы сезонности (i_si), которые представляют собой отношение эмпирических уровней ряда динамики (yi) к теоретическим (расчётным) уровням y_t, которые используются как базовые.

y_i

i_si = -------- (10.1)

y_ti

Для элиминирования случайных отклонений на индивидуальные индексы сезонности для каждого периода годового цикла рассчитывается индекс сезонности

∑ i_si

i_s = -------- (10.2)

n

Причём, для рядов внутригодовой динамики, у которых тренд явно выражен, используйте формулу (10.2), а для рядов где тренд явно повышающийся или понижающийся отсутствует определение средних индексов сезонности производится по формуле (10.3). В первом случае говорят о способе переменной средней, во втором – постоянной переменной.

Методику применения способа переменной средней при анализе сезонных колебаний поясним на следующем примере:

Имеются следующие данные о среднемесячной реализации пива в торговых точках города (цифры условные):

Квартал	97	98	99	2000
1	60	68	71	73
2	85	90	96	98
3	78	82	84	84
4	54	59	62	65
Итого по году	69,2	74,7	78,2	80

Требуется рассчитать средние индексы сезонности и построить сезонную волну продажи пива.

Алгоритм, в общем виде, этого следующий:

2.1.Определим показатели анализа ряда динамики по кварталам:

Показатели	97	98	99	2000
1.Темп роста, в % к 1997 г.(базисный)	100	107,9	113	115,6
2.Темп роста, в % к 1997 г.(цепной)	------	107,9	104,6	102,3
3.Абсолютный прирост (цепной)	-------	5,5	3,5	1,8
4.Темп наращивания		7,9	5	2,6

При анализе показателей таблицы видно, что средний базисный темп роста составил

112 % , т.е. существует устойчивая тенденция роста продажи пива при снижении темпов наращивания. В связи с этим можно предположить, что в данном случае тренд, с известной степенью вероятности, может быть описан прямолинейной функцией y_t = a₀ + a₁t (10.4) или (т.к. имеется тенденция затухания темпов роста по цепи) параболой второго порядка y_i = a₀ + a₁t + a₂t² (10.5). Т.е. функции (10.4) и (10.5) могут быть использованы при расчёте теоретических уровней тренда y_ti.

Использовать способ определителей, параметры уравнения (10.4) при ∑ t = 0 (способ отсчёта от условного начала) рассчитывается как:

∑ y

a₀ = ------- (10.6)

n

∑ t * y

a₁ = ---------- (10.7)

∑ t²

Параметры уравнения (10.5) при ∑ t = 0 рассчитываются как:

∑ t⁴ * ∑ y - ∑ t² * ∑ t² y

a₀ = ------------------------------- (10.8)

n ∑ t⁴ - ∑ t² * ∑ t²

∑ t * y

a₁ = ------------ (10.9)

∑ t²

n ∑ t²y - ∑ t² ∑ y

a₂ = ------------------------ (10.10)

n ∑ t⁴ - ∑ t² * ∑ t²

Для определения параметров уравнений (10.4) и (10.5) по исходным данным формируем таблицу 1.

Год, квартал	ti	ti^2	ti^4	yi	ti * y1	ti^2* yi
97 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 98 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 99 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 2000 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв.	- 15 - 13 - 11 - 9 - 7 - 5 - 3 - 1 1 3 5 7 9 11 13 15	225 169 121 81 49 25 9 1 1 9 25 49 81 121 169 225	50625 28561 14641 6561 2401 625 81 1 1 81 625 2401 6561 14641 28561 50625	60 85 78 54 68 90 82 59 71 96 84 62 73 98 84 65	- 900 - 1105 - 858 - 485 - 476 - 450 - 246 -59 71 288 420 434 657 1078 1092 975
∑ 16	0	1360	206992	1209	435

2.3. На основании итоговых таблицы 1 определяем параметр уравнения (10.4) по формулам (10.6) и (10.7) тогда:

1209

a₀ = -------- = 75,5

16

435

a₁ = --------- = 0,31

1360

2.4.По вычислительным параметрам синтезируем модель тренда по функциям (10.4) тогда: y_t = 75,5 + 0,31 * t (10.10)

2.5.По модели (10.10) производим расчёт теоретических уровне тренда yt_i :

97 г. yt₁ = 75,5 + 0,31 * (-15) = 70,8 99 г. yt₁ = 75,5 + 0,31*( 1) = 75,8

yt₂ = 75,5 + 0,31 * (-13) = 71,5 yt₂ = 75,5 + 0,31*( 3) = 76,4

yt₃ = 75,5 + 0,31 * (-11) = 72,1 yt₃ = 75,5 + 0,31*( 5) = 77,1

yt₄ = 75,5 + 0,31 * (- 9) = 72,7 yt₄ = 75,5 + 0,31*( 7) = 77,7

98 г. yt₁ = 75,5 + 0,31 * (- 7) = 73,3 2000 г yt₁ = 75,5 + 0,31*( 9) = 78,3

yt₂ = 75,5 + 0,31 *(- 5) = 73,9

yt₂ = 75,5 + 0,31*( 11) = 78,9

yt₃ = 75,5 + 0,31 *(- 3) = 74,5

yt₃ = 75,5 + 0,31*( 13) = 79,5

yt₄ = 75,5 + 0,31 *(- 1) = 75,2

yt₄ = 75,5 + 0,31*( 15) = 80,2

2.6.Проведём расчёт индексов сезонности i_si, для чего построим расчётную таблицу 2.

Год, квартал	yi	yti	isi % (yi : yti * 100)	Год, квартал	yi	yti	isi % (yi : yti * 100)
1	2	3	4	1	2	3	4
97 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 98 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв.	60 85 78 54 68 90 82 59	70,8 71,5 72,1 72,7 73,3 73,9 74,5 75,2	84,7 118,8 108 74,2 92,7 121,7 110 78	99 г., 1кв 2кв. 3кв. 4кв. 2000 г,1кв. 2кв. 3кв. 4кв.	71 96 84 62 73 98 84 65	75,3 76,4 77,1 77,7 78,3 78,9 79,5 80,2	94,2 125,6 108,9 79,7 93,2 124,2 105,6 79,2

2.7.Произведем расчёт средних индексов сезонности по одноименным кварталам исследуемого ряда внутригодовой динамики (i_si) по формуле (10.2).

84,7+92,7+94,2+93,2

i_{si 1кв.}= --------------------------- = 91,2 %

4

118,8+121,7+125,6+124,2

i_{si 2 кв} = --------------------------------- = 122,5 %

4

108+110+108,9+105,6

i_{si 3 кв} = ---------------------------- = 108,1 %

4

74,2+78+79,7+79,2

i_{si 4 кв} = ------------------------- = 77,7 %

4

Рассчитанные средние индексы сезонности представляют модель сезонной волны реализации пива в торговых точках города во внутригодовом цикле.

Графически эту ситуацию можно представить следующим образом:

Сезонная волна продажи пива 1997-2000 гг.

Т.е. наибольший объём продажи пива приходится на 2 и 3 кварталы, что превышает среднегодовой уровень (100%) соответственно на 22,5 (2кв.) и 8,1 (3кв.). Значительный спад продажи пива наблюдается в 4 кв. – на 22,3 %. В 1кв. снижение продажи составляет 8,6 %.

Как уже говорилось ранее, в исследовании тренда одной из проблем является подбор наиболее адекватной математической функции, отражающей тренд. То же самое относится к изучению сезонных колебании, способом переменной средней. При использовании ПК эта проблема перестаёт быть актуальной.

Студенту предлагается самостоятельно применить при изучении сезонных колебаний по исходным данным таблицы 1 функцию (10.5), рассчитать ошибку аппроксимации для трендовых моделей по (10.4) и (10.5) и сравнить их по критерию минимальности.

3.Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.Имеются данные о среднедневной реализации торговой фирмой безалкогольных напитков за 1995 – 1998 гг. (тыс. руб.) в сопоставимых ценах.

Квартал	1995	1996	1997	1998
1кв 2кв 3кв 4кв	12 20 19 11	10 23 24 14	12 28 29 16	16 32 34 19

По исходным данным необходимо:

1. Рассчитать цепные и базисные темпы роста по годам в разрезе кварталов и среднем по годам.

2. Рассчитать цепные абсолютные приросты аналогично п. 1.

3. Рассчитать темпы наращивания аналогично п. 1.

4. Исчислить индексы сезонности способом переменной средней, представить трендовую модель графически.

Для определения тренда применить уравнение прямолинейной функции и параболы 2-го порядка. При определении параметров функции использовать способ отсчёта t от условного начала.

Задача 2. Имеются следующие данные о среднемесячном объёме земляных работ СМУ 1997-2000 г. по кварталам:

Год, квартал	Объём земляных работ (тыс. м^3)	Год, квартал	Объём земляных работ (тыс. м^3)
1	2	1	2
97 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 98 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв.	25 42 47 32 29 46 52 39	99 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 2000 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв.	32 50 59 41 33 52 61 41

Необходимо:

1. Способом переменной средней рассчитать средние индексы сезонности.

2. Отобразить ситуацию графически.

3. Сделать выводы по результатам анализа сезонных колебаний по объёмам среднемесячных земляных работ СМУ.

Задача 3.Сезонные колебания продажи безалкогольных напитков фирмой во внутригодовом цикле характеризуется следующими данными:

Год, квартал	Объём земляных работ (тыс. м^3)	Год, квартал	Объём земляных работ (тыс. м^3)
1	2	1	2
98 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв. 99 г., 1кв. 2кв	55 70 82 46 58 76	.3кв. 4кв. 2000 г., 1кв. 2кв. 3кв. 4кв.	88 50 59 81 92 52

Необходимо:

1. Рассчитать индексы сезонности и определить сезонную волну среднесуточной продажу.

2. Отобразить ситуацию графически. Экстраполируйте колебания сезонности продаж на 2001-2002 гг.

4.Вопросы для самоконтроля.

1. Что такое тренд и почему его надо изучать?

2. Какие факторы могут оказывать влияние на тренд?

3. В чём суть проблемы и метода, «переменной средней» изучение тренда?

4. Что такое «стандартизированная ошибка аппроксимации»?