Тема 4. Структурные средние. Мода, медиана.

1.Теоретическая база.

Для выполнения заданий данного практического занятия студент должен знать теорию рядов распределения, средних величин, уметь практически их рассчитывать. Иметь общее представление о структурных средних величинах их значении и месте в процессе экономического исследования, способах их расчета.

2.Общие теоретические вопросы, термины, определения, основные расчетные формулы.

В ряде случаев при анализе данных, представленных в виде распределений еще не достаточно знать значение средней величины группировочного признака. В этом случае исследуются показатели, характеризующие структуру ряда. Показатели колеблемости (вариации), симметрии и др.

В данной теме рассматривается методика расчета структурных средних – моды и медианы.

Мода (М0) – наиболее часто встречающееся значение признака в ряду распределения. В дискретном ряду распределения мода – это значение варианты с наибольшей частотой. В интервальном симметричном ряду мода – это серединное значение модального интервала.

В других случаях значение моды определяется по формуле:

f M0 – f M0 - 1

М0 = x M0 + i M0 ------------------------------- (4.1)

( f M0 -- f M0 -1) + (f M0 - f M0 + 1)

где: x M0 – нижняя граница модального интервала;

i M0 – величина модального интервала;

f M0 – частота модального интервала;

f M0 -1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f M0 + 1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медиана (Ме) – делит упорядоченный (ранжированный) в порядке возрастания варианты ряд распределения на две равные части. В одновариантном ряду распределения с нечетным числом вариант медиана – это серединная варианта, а с четным числом вариант медиана – это среднее значение двух серединных вариант. В интервальном симметричном ряду распределения медиана – это

середина медианного интервала. В других случаях значение медианы определяется по формуле:

∑ f

-------- - ∑ f Me -1

2

Ме = x Mе + i Mе -------------------- (4.2)

f Mе

где: x Mе – нижняя граница медианного интервала;

i Mе – величина медианного интервала;

∑ f

----- - полусумма частот ряда;

2

∑ f Me -1 – сумма частот до частоты медианного интервала (накопленная частота до мед. интервала);

f Mе – частота медианного интервала.

Нахождение медианного интервала. Для нахождения медианного интервала в ассиметричных рядах необходимо вначале определить медианную накопленную частоту (номер медианы) f MЕS:

∑ f

f MЕS = -------- (4.3)

2

Затем по значению f MCS определяется интервал, в котором она находится. Следует иметь в виду, что ранжированный ряд распределения может быть рассечен на 4 части (квартили), на 5 частей (квантили) и на 10 частей (депили), которые нумеруются в порядке вырастания 1я, 2я, 3я, 4я, 5я, …, 9я.

Примеры решения задач.

Задача 1. В результате предварительной группировки рабочих цеха по размеру заработной платы получено следующее распределение:

Заработная плата	Середина интервала	Число рабочих f i	Накопленные частоты
за месяц (у.д.е.)			S
1	2	3	4
600-800	700	15	15
800-1000	900	35	50
1000-1200	1100	10	60
1200-1400	1300	8	68
1400-1600	1500	6	74
> 1600	1700	4	78

Требуется:

1.Рассчитать среднюю, модальную и медианную заработную плату.

2.Построить кумуляту и гистограмму распределения рабочих по размеру заработной платы (графическое определения Ме и М0).

3.сделать выводы по результатам расчетов.

Решение:

1.Определяем среднюю заработную плату данной группы рабочих по формуле средней арифметической взвешенной:

700*15+900*35+1100*10+1300*8+1500*6+1700*4

Зпл = =

78

79200

= -------- = 1015 руб.

78

2.Опрделяем модальную зар. плату по ф. 4.1:

13 -15

Зпл М0 = 800 + 200 ------------------------- = 800 + 200*0,44 =889 руб.

(35 – 15) + (35 -10)

3.Определяем медианную зар. плату для чего:

3.1.Находим медианную накопленную частоту по ф.4.3:

78

f MЕS = -------- = 39

2

Это частота находится в интервале заработной платы от 800 до 1000 у.д.е.

3.2.Определим медианную заработную плату

39 - 15

Ме зпл = 800 + 200 ---------- = 800 + 200*0,68 = 937 у.д.е.

35

4.Построим кумуляту распределения рабочих по размеру заработной платы (графическое определение медианы).

f i

78

50

39

15

889 X i

Общий вид кумуляты

Рис.1. Кумулята распределения рабочих (78 чел.) по размеру заработной платы.

Построим гистограмму распределения рабочих по размеру заработной платы (графическое определение моды). Самостоятельно определить точки.

35

15

10

8

6

4

600.800.1000.1200.1400.1600.1700

Общий вид гистограммы

Рис. 2.Гистограмма распределения рабочих (78 чел.) по размеру заработной платы.

6.Выводы:

Таким образом, исследование показало, что основная часть рабочих получает заработную плату значительно ниже средней (889 у.д.е. < 1015 у.д.е.), а у половины рабочих цеха заработная плата не достигает одной тысячи рублей в месяц при среднем ее значение в данной группе 1015 у.д.е..

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 1. По результатам предварительного обследования населения районного центра по уровню среднемесячного дохода получено следующее распределение:

Среднемесячный доход, у.д.е.	Уд. Вес населения в %
До 500	5
500-1000	25
1000-1500	35
1500-2000	15
2000-2500	6
Более 2500	2

Требуется:

1.Определить средний модальный и медианный доход, отобразить их графически.

2.Сделать выводы по результатам анализа.

Задача 2.Предварительная группировка предприятий региона по эффективности использования основных фондов (показатель фондоотдачи) дала следующее распределение:

Коэффициент фондоотдачи	Кол-во предприятий
1	2
0,15-0,35	12
0,35-0,55	22
0,55-0,75	7
0,75-0,95	4
0,95-1,15	3
>1,15	2

Требуется:

1.Рассчитать среднее, модальное и медианное значение рентабельности предприятий концерна. Отобразить ситуацию графически.

2.Сделать выводы по результатам исследования.

Задача 4.Имеются следующие данные о выполнении норм выработки 10-ти рабочих-станочников цеха:

Таб. № рабочего	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
% вып. Норм выработки	92	110	96	115	120	110	97	98	100	105

Требуется:

1.Средний и медианный процент выполнения норм данной группы рабочих. Отобразить ситуацию графически.

2.Сделать выводы по результатам исследования.

Контрольные вопросы.

1.Для каких целей рассчитываются показатели моды и медианы?

2.Как определяются мода и медиана для дискретных и интервальных вариационных рядов распределения.

3.Каким образом графически определить моду и медиану.