Тема 3. Средние величины. Средняя арифметическая, средняя гармоническая. Область применения в экономическом анализе.

Теоретическая база: Общая теория средних величин, виды средних, способы расчета, свойства.

В практике экономического анализа часто возникает необходимость расчета показателей, характеризующих общие, средние характеристики исследуемой совокупности. Математическая статистика рассматривает несколько видов средних. В практике анализа наиболее распространенной является средняя арифметическая.

Средняя арифметическая может быть рассчитана как простая и как взвешенная по формулам:

n

∑ xi

i = 1

x = ------------ (3.1)

n

Средняя арифметическая для не сгруппированных данных

n

∑ xi * fi

i = 1

x = ------------ (3.2)

n

∑ fi

i=1

Средняя арифметическая взвешенная по частотам (fi) (сгруппированные данные)

n

∑ xi * wi

_ i = 1

x = ------------ (3.3)

n ∑ wi

i=1

Средняя арифметическая взвешенная по частостям (wi)

где: xi – значение усредняемого группировочного признака (варианты);

fi – частота (повторяемость) вариант в ряду распределения;

wi–частость(уд. вес частот в общем итоге в % или коэффициентах);

n – количество вариант в ряду распределения.

Средняя арифметическая по формуле 3.1 рассчитывается только для не сгруппированных данных (fi =1). Во всех остальных случаях при расчете средней используются формулы 3.2 и 3.3, т.к. на значение средней помимо значения усредняемого группировочного признака значительное влияние оказывают его частоты.

В тех случаях, когда в исходных данных для анализа, организованных в виде ряда распределения, частоты ряда отсутствуют явно при наличии общего показателя «V», представляющего произведение варианты на частоту (xi*fi), например, выручка – это сложный показатель, представляющий собой произведение цены единицы товара на количество проданных товаров (pigi).

В этом случае при расчете средней используется формула средней гармонической

_ ∑ vi

x = --------- (3.4)

vi

∑ -----

xi

Это формула является производной формулы(3.2)

В тех случаях, когда исходные данные предоставлены в виде интервального вариационного ряда для расчета средней необходимо предварительно преобразовать интервальный вариационный ряд в дискретный по следующему правилу:

1.Для определения интервалов дискретное значение варианты определяются как средняя арифметическая нижней и верхней границ, т.е. середина интервала.

2.Величина первого неопределенного интервала «до» берется равной следующему за ним определенному интервалу.

3.Величина последнего неопределенного интервала «больше» берется равной величине предыдущего определенного интервала.

Ниже приводятся примеры решения задач с использованием формул 3.1 – 3.4.

Задача 1. Имеются следующие данные о заработной плате (в месяц) у 6-ти рабочих-станочников.

Номер п/п	1	2	3	4	5	6
Зарплата за месяц (у.д.е.)	700	840	1200	1220	1800	2300

Требуется рассчитать среднюю месячную зарплату по данной группе рабочих. Решение:

Поскольку исходные данные представлены в виде вариационного ряда с одиночными значениями вариант (не сгруппированные данные), то для расчета средней используется ф. 1.3

n

∑ xi

_ i = 1 700 + 840 + 1200 + 1220 + 1800 + 2300

x = ------------ = -------------------------------------------------------------

n 6

= 1343,3 руб.

т.е. средняя заработная плата в месяц по данной группе рабочих составляет 1343,3 руб.

Задача 2. В результате предварительной группировки по квалификации (тарифному разряду) 50-ти рабочих цеха получено следующие распределение:

Разряд	2	3	4	5	6
Количество рабочих fi	3	12	19	11	5

Требуется рассчитать средний разряд 50-ти рабочих цеха.

Решение:

Поскольку исходные данные представляют дискретный сгруппированный вариационный ряд, для расчета средней используется формула:

n

∑ xi * fi

_ i = 1 2*3+3*12+4*19+5*11+6*5 6+36+76+55+30

x = ------------ = ------------------------------------------ = ----------------------

n 50 50

∑ fi

i=1

203

= ------- 4,0

50

Т.е. данная группа рабочих цеха имеет в среднем 4-ый квалификационный разряд.

Задача 3. Имеются следующие данные о ценах и объемах реализации(выручке) товара М по четырем магазинам города.

№ магазина	Цена за ед.,руб.(xi)	Выручка в день, руб.(vi)
1	42	900
2	44,2	600
3	41,5	1200
4	45	500

Требуется распределить среднюю цену реализации товара М по группе магазинов.

Решение:

В данном случае в ряду распределения отсутствуют явно частоты, тогда для решения данной задачи применяется формула средней гармонической.

_ ∑ vi 900+600+1200+500 3200

x = --------- = ------------------------------- = -------------------------- =

vi 900 600 1200 500 21,4+13,6+28,9+11,1

∑ ----- ----- + ---- + ------ + -----

xi 42 44,2 41,5 45

3200

= -------- = 42,6

75

т.е. средняя цена реализации товара М по данной группе магазинов составляет 42,6 руб. за ед.

Задачи для самостоятельного решения:

Задача 1.Имеются следующие данные о себестоимости производства изделия «А» на предприятиях отрасли:

Предприятие	1	2	3	4	5	6	7	8
Себестоимость ед.,руб.	2100	1900	2200	1950	2400	2600	1980	2260

Требуется определить среднюю себестоимость изделия А по данной группе предприятий отрасли.

Задача 2. Имеются следующие данные о возрастных группах детей спортивном лагере.

Возрастная группа (лет)	Кол-во детей в группе
8	25
9	42
10	60
11	38
12	22
13	16

Требуется:

1.Определить средний возраст детей в лагере.

2.Ростроить полигон распределения детей по возрасту.

Задача 3.В результате предварительной группировки рабочих цеха по размеру месячной заработной платы получено следующее распределение:

Заработная плата за месяц, у.д.е.	Количество рабочих
До 600	12
600 - 800	18
800 - 1000	34
1000 - 1200	45
1200 - 1400	39
1400 - 1600	20
> 1600	16

Требуется:

1.Рассчитать среднюю зарплату данной группы рабочих.

2.Построить гистограмму распределения рабочих цеха по размеру заработной платы.

Задача 4.Имеются следующие данные о выпуске сыра на молсыркомбинате.

Жирность сыра, %	Удельный вес выпуска к общ. Итогу, %
20	20
25	27
30	20
35	15
40	10
45	5
50	3

Требуется:

1.Опрделить средний процент жирности выпускаемого комбинатом сыра.

2.Построить полигон распределения выпуска сыра по проценту гистограммы.

Задача 5.Имеются следующие данные о затратах на производство продукции «А» на предприятиях отрасли.

Предприятие	Себестоимость ед. продукции	Себестоимость выпуска
1	1200	4800
2	900	4500
3	950	4275
4	1300	4940
5	1400	3500

Требуется рассчитать среднюю цену реализации шины типоразмера «А» по данной группе регионов.

Контрольные вопросы:

1.Какие виды средних величин применяются в экономических

исследования данных, представленных рядами распределения?

2.Как исчисляются средние арифметические: простая и взвешенная?

3.В каких случаях применяется средняя гармоническая?