Тема 6. Показатели исследования распределений. Коэффициент концентрации Джин.

1. Теоретическая база

Для выполнения данной практической работы студент должен владеть лекционным материалом по данной теме, а также быть знакомым с литературой! данному вопросу. При предварительном изучении теории и практики в разрезе данной темы рекомендуется внимательно ознакомиться с[1]стр. 10-14, 32-35.

2 Основы теории по данной теме.

Очень важным моментом при анализе распределений является изучение степ их неравномерности. Степень неравномерности распределений может быть охарактеризована показателями моды, медианы, квартальных, квантильных и цедильных коэффициентов дифференциации, а также коэффициента концентра] Джини.

Методика расчёта структурных средних рассматривалась в практических работах по теме 4, поэтому здесь рассматривается методика расчёта коэффициента концентрации Джини и децильных коэффициентов дифференциации.

Расчёт коэффициента Джини (G_джи) основан на исследовании кривой Лоренца, которая строится в осях кумулятивных частостей (ось абсцисс) и кумулятивных суммарных показателей варианты (в % к итогу).

Кумулятивные доли частот

В сущности, коэффициент Джини (G_джи) рассчитывается как отношение площади (S1), ограниченной линией равномерного распределения (диагональ квадрата) и кривой Лоренца, к половине площади квадрата, которую можно представить как

S1

(S1 + S2), т.е. G = -------- (6.1)

S1 + S2

Поскольку S1 + S2 = 0,5 , то

0,5 – S2

G = ---------- = 1 – 2S2

0,5

Для упрощения расчётов коэффициента Джини приближённо может быть использована формула, предложенная проф. Громыко Г. Л.[2], по которой G = cumWi * cumYi+1 - cumWi+1 * cumYi, (6.2), где:

cum Wi - кумулятивные доли частот (частости) распределения

cum Yi, - кумулятивные доли суммарного показателя

Для оценки дифференциации ряда распределения при анализе могут рассчитываться децильные коэффициенты дифференциации (ДКД)

Д9

ДКД = ---- (6.3)

Д1 ,

где Д9 и Д1-соответсвенно девятая и первая децилы.

Причём:

SД1 - 10

Д1=X_B1-i ----------- (6.4)

WД1

90% - SД9 - 1

Д9 = XH₉+ i ----------------- (6.5)

WД9

где: X_B1 и XH₉ - верхняя и нижняя границы интервалов соответственно первой и девятой децилей. i - величина интервала

SД1 - кумулятивная частость 1-го интервала

SД9-1 - кумулятивная частость, предшествующего (предпоследнего), 8-го интервала.

Пример расчёта показателей неравномерности распределения. Имеются следующие данные о среднемесячной зарплате работников учреждения

Зарплата (руб.) Xi;	Количество работников fi
150-600	25
600-1050	30
1050-1500	28
1500-1950	20
1950-2400	14
2400-2950	7
>2950	3

Требуется:

1. Рассчитать коэффициент концентрации Джини.

2. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.

3. Сделать выводы по результатам расчётов.

Решение:

1. Построим расчётную таблицу

Зарплата Xi	Сере­дина интер­вала Xi	Кол-во работы. fi	Суммар­ная зарплата Xi, fi	Доля суммарной зарплаты в общем итоге %	Накопл. итоги суммарной зарплаты cum Уi	Частост кол-ва работни­ков Wi	Кумуля­тивные частости cum Wi
150-600	375	25	9375	5,8	5,8	19,6	19,6
600-1050	825	30	24750	15,3	21,1	23,6	43,2
1050-1500	1245	28	34860	21,7	42,8	22,0	65,2
1500-1950	1725	20	34500	21,4	64,2	15,8	81,0
1950-2400	2175	15	32625	20,2	84,4	11,8	92,9
2400-2950	2625	6	15750	9,7	94,1	4,7	47,4
>2950	3175	3	9525	5,9	100	2,4	100

2. Рассчитаем коэффициент концентрации Джини по формуле 6.2 (предварительно переведём проценты в коэффициенты делением на 100)

G = (0,196-0,211 + 0,432-0,428 + 0,652-0,642+ 0,81-0,844 + 0,929-0,941+ 0,974-1) - (0,432 * 0,058 + 0,652 * 0,211 + 0,81 * 0,428 + 0,929 * 0,642 + 0,976 * 0,844 +1 * 0,941) = 0,296

3. Для расчёта децильного коэффициента дифференциации по формуле 6.3. предварительно определим:

4. Децильную зарплату первой децили по формуле (6.4)

19.6 – 10%

Д₁₌600-450 -------------- = 379.5руб.

19.6

5. Зарплату девятой децили по формуле (6.5)

90 - 81

Д₉=1950+450 ------------ = 2293руб.,тогда

11,8

2293

ДКД = ----------- = 6

379,5

6. Таким образом, коэффициент Джини в данном коллективе довольно значителен, а зарплата высокооплачиваемой категории превышает зарплату низкооплачиваемой категории в 6 раз.

3 Задачи для самостоятельного решения

Задача 1 . В результате предварительной группировки населения рабочего посёлка по возрастному составу получено следующее распределение:

Возраст (лет)	Уд. вес в % от общей численности	Возраст (лет)	Уд. вес в % от общей численности
1	2	1	2
1-8	3	29-36	12
8-15	4	36-43	15
15-22	7	43-50	28
22-29	9	>50	22

Требуется:

1. Рассчитать коэффициент концентрации.

2. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.

3. Рассчитать модальный и медианный возраст жителей посёлка.

4. Сделать выводы о демографической ситуации в рабочем посёлке.

Задача 2. Имеются следующие данные о распределении доходов населения районного центра;

Среднемесячный доход (руб.)	Численность насе­ления в % к итогу	Среднемесячный доход (руб.)	Численность насе­ления в % к итогу
1	2	1	2
500-1000	20	2500 - 3000	8
1000-1500	30	3000 - 3500	7
1500-2000	15	3500-4000	4
2000 - 2500	10	>4000	6

Требуется:

1. Определить среднемесячный доход, моду, медиану.

2. Рассчитать децильный коэффициент дифференциации.

3. Определить коэффициент Джини.

4. Сделать выводы по результатам исследования.

Задача 3. Имеются следующие данные о распределении предприятий отрасли по уровню рентабельности:

Рентабельность (%)	Количество предприятий	Рентабельность (%)	Количество предприятий
1	2	1	2
до 10	2	50-70	5
10-30	4	70-90	4
30-50	8	90-110	3
		>110	2

Требуется:

1. Определить средние, модальные и медианные показатели распределения.

2. Определить квантильный коэффициент дифференциации.

3. Определить коэффициент концентрации.

4. Сделать выводы по результатам анализа.

Задача 4. Предварительная группировка предприятий отрасли по фондоотдаче дала следующее распределение:

Фондоотдача	Количество предприятий	Фондоотдача	Количество предприятий
1	2	1	2
0,15-0,35	12	0,75 - 0,95	4
0,35 - 0,55	22	0,95-1,15	3
0,55-0,75	7	>1Д5	2

Требуется:

1. Определить средние, модальные и медианные показатели распределения.

2. Определить квантильный коэффициент дифференциации.

3.Определить коэффициент концентрации.

4. Сделать выводы по результатам анализа.

Задача 5. По результатам предварительной группировки населения по среднемесячному доходу сложилось следующее распределение:

Доход в месяц	Удельный вес населения (в % к итогу), по группам
	1	2	3
90-600	4		5
600-1200	25	18	8
1200-1800	55	42	12
1800-2400	10	30	30
2400-3000	6	10	25
3000-3600			12
3600-4200			6
>4200			2

Требуется:

1. Произвести сравнительный анализ, в разрезе трёх групп населения, коэффициентов дифференциации (децильных) и показателей концентрации.

2. Сделать выводы по результатам расчётов.

4 Контрольные вопросы:

1. Что представляет собой кривая Лоренца, как она строится?

2. Что будет означать примерное равенство Sin S2?

3. Если рассчитывать квантильный коэффициент дифференциации, то какое значение % будет в числителе соответственно формул (6.4) и (6.5)?