Задание № 3.

1. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OX декартовой системы координат, причем начало координат O находится в середине стержня. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OY?

2. Пружину с жесткостью с = 150 Н/м сжали до длины l₀ = 0,06 м и отпустили. Длина восстановленной пружины l = 0,12 м. Чему равна работа, совершенная силой упругости при восстановлении пружины?

3. Материальная точка массой m, кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Выразите мощность силы тяжести, действующей на точку как функцию времени.

4. Однородная квадратная пластина со стороной a, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через одну из ее вершин перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью , с^-1. Вычислите кинетический момент данной механической системы.

5. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = t³/3, рад. По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = sin(t²/2), м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.

6. Материальная точка движется вдоль оси OX. Скорость точки изменяется по закону v(t) = 5t² + 3, мс^-1. Начальная координата точки x₀ = 2 м. Определить путь, который пройдет точка к моменту времени t = 3 c.

7. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

8. Материальная точка массой m = 0.1 кг движется горизонтально под действием постоянной силы. За промежуток времени  = 2 с скорость точки возросла с величины v₁ = 3 м/с до v₂ = 9 м/с. Вычислите величину силы, действующей на точку.

9. Математическая постановка и решение двух основных задач динамики точки.

Задание № 4.

1. Динамика относительного движения точки. Инерциальные и неинерциальные системы отсчета. Дифференциальное уравнение относительного движения. Переносная и кориолисова силы инерции.

2. Используя теорему об изменении количества движения материальной точки вычислить время за которое тело, брошенное под углом  к горизонту с начальной скоростью v₀, поднимается на максимальную высоту.

3. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 3t², y(t) = 5, z(t) = t⁴. Вычислите вектор момента количества движения точки относительно начала координат.

4. Однородная прямоугольная пластина со сторонами a и b, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью , с^-1. Вычислите кинетический момент данной механической системы.

5. Однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси OX, проходящей через его центр. На боковую поверхность цилиндра наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра, если на него действует пара сил с моментом M_x = bt² + a, Нм.

6. Вычислите момент инерции и радиус инерции однородного круглого диска массой m, кг и радиусом R, м относительно оси L, лежащей в плоскости диска и отстоящей от оси, проходящей через его центр тяжести, на расстоянии, равном четверти радиуса.

7. Груз А удерживается в равновесии на гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, с помощью пружины параллельной линии ската наклонной плоскости. Вследствие полученного толчка груз переместился вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние l, м. Вычислите сумму работ сил, действующих на груз А, на данном перемещении, если жесткость пружины равна с Н/м.

8. Кинетическая энергия материальной точки при ее движении по пространственной кривой под действием постоянной силы увеличилась на 20 Дж за промежуток времени равный 2 с. Вычислите мощность силы, действующей на материальную точку.

9. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.