Задание № 27.

1. Дифференциальное уравнение относительного движения материальной точки. Переносная и кориолисова силы инерции.

2. Материальная точка массой m = 2 кг движется вдоль оси OX под действием силы F = 18 – 4t, Н. Начальная скорость точки равна 5м/с. В какой момент времени точка изменит направление своего движения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону x(t) = 3 sin(t²), y(t) = 6t³, z(t) = 3cos(t²). Вычислите величину и проекции силы инерции точки на оси декартовой системы координат.

4. Тележка движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_т(t) = 2t⁴ + 5t² + 4, м. Относительно тележки по желобу, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 3 м, движется материальная точка массой m по закону s_r = 3sin(t/2), м. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость центра масс каждого из цилиндров равна v м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Определить модуль вектора количества движения системы.

6. Однородный горизонтальный диск массой m₁, кг и радиусом R, м вращается вокруг неподвижной вертикальной оси OZ, проходящей через его центр, по закону (t) = ct²/4, рад (c > 0). По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂, кг по закону s_r(t) = at³/2, м. Вычислите кинетический момент данной механической системы относительно оси вращения диска.

7. Вычислите момент инерции и радиус инерции однородного круглого диска массой m, кг и радиусом R, м относительно оси L, лежащей в плоскости диска и отстоящей от оси, проходящей через его центр тяжести, на расстоянии, равном четверти радиуса.

8. Груз А удерживается в равновесии на гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, с помощью пружины параллельной линии ската наклонной плоскости. Вследствие полученного толчка груз переместился вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние l, м. Вычислите сумму работ сил, действующих на груз А, на данном перемещении, если жесткость пружины равна с Н/м.

9. Материальная точка массой m, кг движется по пространственной кривой по закону s(t) = 1 + 2sin(t²), м. Вычислите кинетическую энергию точки.

Задание № 28.

1. Моменты инерции. Связь между полярным и осевыми моментами инерции.

2. Материальная точка массой m = 3 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности под действием силы F = 4, Н с постоянной скоростью. Принимая величину ускорения свободного падения равной 10 м/с². Определить коэффициент трения скольжения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиуса R = 5 м по закону s(t) = t³ + 2t² + 3. Вычислите величину и проекции силы инерции точки на естественные оси координат.

4. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону  = аt²/2. По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Используя теорему об изменении количества движения материальной точки вычислить время, за которое тело, брошенное под углом  к горизонту с начальной скоростью v₀, поднимается на максимальную высоту.

6. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 3t², y(t) = 5, z(t) = t⁴. Вычислите вектор момента количества движения точки относительно начала координат.

7. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OY декартовой системы координат, причем левая граничная точка стержня совпадает с началом координат O. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OZ?

8. Кинетическая энергия материальной точки при ее движении по пространственной кривой под действием постоянной силы увеличилась на 20 Дж за промежуток времени равный 2 с. Вычислите мощность силы, действующей на материальную точку.

9. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость балки А равна v, м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.