Задание № 29.

1. Количество движения точки и механической системы. Элементарный и полный импульс силы.

2. Материальная точка движется вдоль оси OX. Скорость точки изменяется по закону v(t) = 4t³ + 2, мс^-1. Начальная координата точки x₀ = 1 м. Определить путь, который пройдет точка к моменту времени t = 5 c.

3. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиусом R = 5 м с постоянной скоростью v = 3 м/с. Как направлена и чему равна сила инерции точки?

4. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t² + 2, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2сos(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

5. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость центра масс каждого из цилиндров равна v м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Определить модуль вектора количества движения системы.

6. Однородный горизонтальный диск массой m₁, кг и радиусом R, м вращается вокруг неподвижной вертикальной оси OZ, проходящей через его центр, по закону (t) = ct²/4, рад (c < 0). По ободу диска в сторону вращения движется материальная точка массой m₂, кг по закону s_r(t) = at³/2, м. Вычислите кинетический момент данной механической системы относительно оси вращения диска.

7. Вычислите момент инерции и радиус инерции однородного круглого диска массой m, кг и радиусом R, м относительно оси L, лежащей в плоскости диска и отстоящей от оси, проходящей через его центр тяжести, на расстоянии, равном четверти радиуса.

8. Пружину с жесткостью с = 150 Н/м сжали до длины l₀ = 0,06 м и отпустили. Работа, совершенная силой упругости при восстановлении пружины равна 0,27 Дж. Чему равна длина восстановленной пружины?

9. Материальная точка массой m, кг движется по закону x(t) = 2t³, y(t) = 4t², z(t) = e^t. Вычислите кинетическую энергию точки.

Задание № 30.

1. Элементарная и полная работа силы. Мощность силы.

2. Материальная точка массой m = 2 кг движется вдоль оси OX под действием силы F = 8 – 4t, Н. Начальная скорость точки равна 5м/с. В какой момент времени точка изменит направление своего движения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону x(t) = 3 sin(t²), y(t) = 6t³, z(t) = 3cos(t²). Вычислите величину и проекции силы инерции точки на оси декартовой системы координат.

4. Тележка движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_т(t) = 2t⁴ + 5t² + 4, м. Относительно тележки по желобу, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 3 м, движется материальная точка массой m по закону s_r = 3sin(t/2), м. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг и радиусом R = 3 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Угловая скорость вращения диска постоянна и равна  = 4 с^-1. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной относительной скоростью u = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 30^о.

6. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 2t³, y(t) = 3t², z(t) = 4t (x, y, z – измеряются в м). Вычислите момент количества движения точки относительно координатных осей OX, OZ.

7. На однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, намотана невесомая нить, которую начинают тянуть с постоянной по величине силой F, Н. Кроме того, к поверхности цилиндра с силой N, Н прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о поверхность цилиндра равен f. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра.

8. Материальная точка массой m, кг движется в вертикальной плоскости. Сначала она проходит расстояние S₁ вниз по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом, затем расстояние S₂ вдоль шероховатой горизонтальной поверхности (коэффициент трения скольжения равен f) и, в заключение, расстояние S₃ вверх по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. Вычислить суммарную работу сил, действующих на точку на данном перемещении.

9. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = sin(t²/2), рад. По ободу диска в направлении вращения движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = t³/3, м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.