Задание № 21.

1. Кинетическая энергия твердого тела в различных случаях его движения.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ > v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиуса R = 5 м по закону s(t) = t² + 2t + 3. Вычислите величину и проекции силы инерции точки на естественные оси координат.

4. Тележка движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_т(t) = 2t⁴ + 5t² + 4, м. Относительно тележки по желобу, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 3 м, движется материальная точка массой m по закону s_r = 3sin(t/2), м. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска постоянна и равна v₁= 4 м/с. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной скоростью v₂ = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 60^о.

6. Однородная квадратная пластина со стороной a, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через середину одной из ее сторон перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью . Вычислите кинетический момент данной механической системы.

7. На однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, намотана невесомая нить, которую начинают тянуть с постоянной по величине силой F, Н. Кроме того, к поверхности цилиндра с силой N, Н прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о поверхность цилиндра равен f. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра.

8. Груз А удерживается в равновесии на гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, с помощью пружины параллельной линии ската наклонной плоскости. Вследствие полученного толчка груз переместился вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние l, м. Вычислите сумму работ сил, действующих на груз А, на данном перемещении, если жесткость пружины равна с Н/м.

9. Прямоугольная призма массой m₁, кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v м/с. По боковой поверхности призмы, наклоненной под углом  к горизонту, скользит тело массой m₂, кг, имея в данный момент времени относительную скорость u, м/с. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.

Задание № 22.

1. Теорема об изменении кинетической энергии точки.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ < v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону r(t) = 3ti + sin(t)j + 4t³k. Вычислите вектор силы инерции точки.

4. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Прямоугольная призма массой m₁, кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v, м/с. По боковой поверхности призмы, наклоненной под углом  к горизонту, скользит тело массой m₂, кг, имея в данный момент времени относительную скорость u м/с. Вычислите проекции вектора количества движения системы на оси декартовой системы координат OX, OZ.

6. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону r(t) = 2t²i + 6tj + 4t³k. Вычислите величину моментов количества движения точки относительно декартовых осей координат.

7. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OX декартовой системы координат, причем начало координат O находится в середине стержня. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OY?

8. Колесо радиуса R, м и массой m, кг катится без скольжения по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием постоянного вращающего момента M_вр, f – коэффициент трения скольжения,  – коэффициент трения качения. Вычислите сумму работ всех внешних сил, действующих на колесо, если центр тяжести колеса переместился на расстояние s.

9. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость балки А равна v, м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.