Задание № 23.

1. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ = v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону x(t) = 3 sin(t²), y(t) = 6t³, z(t) = 3cos(t²). Вычислите величину и проекции силы инерции точки на оси декартовой системы координат.

4. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

5. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость центра масс каждого из цилиндров равна v м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Определить модуль вектора количества движения системы.

6. Однородный горизонтальный диск массой m₁, кг и радиусом R, м вращается вокруг неподвижной вертикальной оси OZ, проходящей через его центр, по закону (t) = ct²/4, рад (c > 0). По радиусу диска к его центру движется материальная точка массой m₂, кг по закону s_r(t) = at³/2, м. Вычислите кинетический момент данной механической системы относительно оси вращения диска.

7. Круглый однородный цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м вращается относительно горизонтальной неподвижной оси, проходящей через его центр. При вращении цилиндра на его боковую поверхность наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. К цилиндру приложен вращающий момент M_x = a² + b + c, где a, b, c – постоянные величины. Вычислите сумму работ всех сил, приложенных к данной системе, при повороте цилиндра на угол  = 180⁰.

8. Кинетическая энергия материальной точки при ее движении по пространственной кривой под действием постоянной силы увеличилась на 20 Дж за промежуток времени равный 2 с. Вычислите мощность силы, действующей на материальную точку.

9. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = t³/3, рад. По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = sin(t²/2), м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.

Задание № 24.

1. Основные понятия и законы динамики.

2. Материальная точка массой m = 2 кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = 0,05mv², Н. Определить величину предельной скорости точки.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиуса R = 5 м по закону s(t) = t² + 2t + 3. Вычислите величину и проекции силы инерции точки на естественные оси координат.

4. Тележка движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_т(t) = 2t⁴ + 5t² + 4, м. Относительно тележки по желобу, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 3 м, движется материальная точка массой m по закону s_r = 3sin(t/2), м. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Материальная точка массой m = 0.1 кг ударяется о неподвижную, горизонтальную негладкую поверхность и отражается от нее. Скорость точки до удара v₁ = 4 м/с, угол падения ₁ = 30^о. Скорость точки после удара v₂ = 2 м/с, а угол отражения ₂ = 60^о. Вычислить величину полного импульса силы взаимодействия между точкой и поверхностью.

6. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 2t³, y(t) = 3t², z(t) = 4t (x, y, z – измеряются в м). Вычислите момент количества движения точки относительно координатных осей OX, OZ.

7. На однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, намотана невесомая нить, которую начинают тянуть с постоянной по величине силой F, Н. Кроме того, к поверхности цилиндра с силой N, Н прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о поверхность цилиндра равен f. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра.

8. Материальная точка массой m, кг движется в вертикальной плоскости. Сначала она проходит расстояние S₁ вниз по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом, затем расстояние S₂ вдоль шероховатой горизонтальной поверхности (коэффициент трения скольжения равен f) и, в заключение, расстояние S₃ вверх по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. Вычислить суммарную работу сил, действующих на точку на данном перемещении.

9. Прямоугольная призма массой m₁, кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v м/с. По боковой поверхности призмы, наклоненной под углом  к горизонту, скользит тело массой m₂, кг, имея в данный момент времени относительную скорость u, м/с. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.