Задание № 11.

1. Количество движения точки и механической системы. Элементарный и полный импульс силы.

2. Материальная точка массой m = 2 кг движется по шероховатой горизонтальной поверхности под действием силы F = 2, Н с постоянной скоростью. Принимая величину ускорения свободного падения равной 10 м/с². Определить коэффициент трения скольжения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону x(t) = 3 sin(t²), y(t) = 6t³, z(t) = 3cos(t²). Вычислите величину и проекции силы инерции точки на оси декартовой системы координат.

4. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг и радиусом R = 3 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Угловая скорость вращения диска постоянна и равна  = 4 с^-1. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной относительной скоростью u = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 30^о.

6. Однородная квадратная пластина со стороной a, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через одну из ее вершин перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью , с^-1. Вычислите кинетический момент данной механической системы.

7. На однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, намотана невесомая нить, которую начинают тянуть с постоянной по величине силой F, Н. Кроме того, к поверхности цилиндра с силой N, Н прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о поверхность цилиндра равен f. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра.

8. Круглый однородный цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м вращается относительно горизонтальной неподвижной оси, проходящей через его центр. При вращении цилиндра на его боковую поверхность наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. К цилиндру приложен вращающий момент M_x = a² + b + c, где a, b, c – постоянные величины. Вычислите сумму работ всех сил, приложенных к данной системе, при повороте цилиндра на угол  = 180⁰.

9. Материальная точка массой m, кг движется по закону x(t) = 2t³, y(t) = 4t², z(t) = e^t. Вычислите кинетическую энергию точки.

Задание № 12.

1. Теорема об изменении количества движения точки и механической системы.

2. Материальная точка движется вдоль оси OX. Скорость точки изменяется по закону v(t) = 5t² + 3, мс^-1. Начальная координата точки x₀ = 2 м. Определить путь, который пройдет точка к моменту времени t = 3 c.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиуса R = 5 м по закону s(t) = t² + 2t + 3. Вычислите величину и проекции силы инерции точки на естественные оси координат.

4. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

5. Прямоугольная призма массой m₁, кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v, м/с. По боковой поверхности призмы, наклоненной под углом  к горизонту, скользит тело массой m₂, кг, имея в данный момент времени относительную скорость u м/с. Вычислите проекции вектора количества движения системы на оси декартовой системы координат OX, OZ.

6. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону r(t) = 2ti + 3t²j + 4k. Вычислите вектор момента количества движения точки относительно начала координат.

7. Вычислите момент инерции и радиус инерции однородного круглого диска массой m, кг и радиусом R, м относительно оси L, лежащей в плоскости диска и отстоящей от оси, проходящей через его центр тяжести, на расстоянии, равном четверти радиуса.

8. Материальная точка массой m, кг движется в вертикальной плоскости. Сначала она проходит расстояние S₁ вниз по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом, затем расстояние S₂ вдоль шероховатой горизонтальной поверхности (коэффициент трения скольжения равен f) и, в заключение, расстояние S₃ вверх по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. Вычислить суммарную работу сил, действующих на точку на данном перемещении.

9. Материальная точка массой m, кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Выразите мощность силы тяжести, действующей на точку как функцию времени.