Задание № 9.

1. Вычисление моментов инерции прямоугольника, окружности и круглого цилиндра.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ = v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

4. Материальная точка массой m = 0.1 кг движется горизонтально со скоростью v = 4 м/с. Точка ударяется о вертикальную стену и отскакивает. Удар абсолютно упругий, время соударения  = 0.01 с. Чему равна сила взаимодействия между точкой и стеной?

5. Однородная квадратная пластина со стороной a, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через середину одной из ее сторон перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью . Вычислите кинетический момент данной механической системы.

6. Однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси OX, проходящей через его центр. На боковую поверхность цилиндра наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра, если на него действует пара сил с моментом M_x = bt² + a, Нм.

7. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OX декартовой системы координат, причем начало координат O находится в середине стержня. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OY?

8. Пружину с жесткостью с = 150 Н/м сжали до длины l₀ = 0,06 м и отпустили. Длина восстановленной пружины l = 0,12 м. Чему равна работа, совершенная силой упругости при восстановлении пружины?

9. Кинетическая энергия материальной точки при ее движении по пространственной кривой под действием постоянной силы увеличилась на 20 Дж за промежуток времени равный 2 с. Вычислите мощность силы, действующей на материальную точку.

Задание № 10.

1. Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей.

2. Материальная точка массой m = 2 кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = 0,05mv², Н. Определить величину предельной скорости точки.

3. Тележка движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_т(t) = 2t⁴ + 5t² + 4, м. Относительно тележки по желобу, который представляет собой дугу окружности радиуса R = 3 м, движется материальная точка массой m по закону s_r = 3sin(t/2), м. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

4. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска постоянна и равна v₁= 4 м/с. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной скоростью v₂ = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 60^о.

5. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 2t³, y(t) = 3t², z(t) = 4t. Вычислите момент количества движения точки относительно координатных осей OY, OZ.

6. Однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси OX, проходящей через его центр. На боковую поверхность цилиндра наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра, если на него действует пара сил с моментом M_x = bt² + a, Нм.

7. Груз А удерживается в равновесии на гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, с помощью пружины параллельной линии ската наклонной плоскости. Вследствие полученного толчка груз переместился вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние l, м. Вычислите сумму работ сил, действующих на груз А, на данном перемещении, если жесткость пружины равна с Н/м.

8. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость балки А равна v, м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.

9. Материальная точка массой m = 2 кг начинает движение из состояния покоя и движется вдоль пространственной кривой под действием силы, проекция которой на направление касательной равна F_ = 2s² + 3s + 5, Н, где s– дуговая координата. Начало отчета совмещено с начальным положением точки. Вычислите скорость точки к тому моменту, когда она пройдет вдоль кривой расстояние 10 м.