Задание № 19.

1. Работа внутренних сил твердого тела.

2. Материальная точка движется вдоль оси OX. Скорость точки изменяется по закону v(t) = 5t² + 3, мс^-1. Начальная координата точки x₀ = 2 м. Определить путь, который пройдет точка к моменту времени t = 3 c.

3. Материальная точка массой m = 2 кг движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиусом R = 5 м с постоянной скоростью v = 5 м/с. Как направлена и чему равна сила инерции точки?

4. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг и радиусом R = 3 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Угловая скорость вращения диска постоянна и равна  = 4 с^-1. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной относительной скоростью u = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 30^о.

6. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 3t², y(t) = 5, z(t) = t⁴. Вычислите вектор момента количества движения точки относительно начала координат.

7. Однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси OX, проходящей через его центр. На боковую поверхность цилиндра наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра, если на него действует пара сил с моментом M_x = bt² + a, Нм.

8. Пружину с жесткостью с = 150 Н/м сжали до длины l₀ = 0,06 м и отпустили. Работа, совершенная силой упругости при восстановлении пружины равна 0,27 Дж. Чему равна длина восстановленной пружины?

9. Материальная точка массой m, кг движется по закону r(t) = 3t³i + 5t²j + 4tk. Вычислите кинетическую энергию точки.

Задание № 20.

1. Кинетическая энергия точки и механической системы. Теорема Кенига.

2. Материальная точка массой m = 2 кг движется вдоль оси OX под действием силы F = 8 – 4t, Н. Начальная скорость точки равна 5м/с. В какой момент времени точка изменит направление своего движения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону x(t) = 3 sin(t²), y(t) = 6t³, z(t) = 3cos(t²). Вычислите величину и проекции силы инерции точки на оси декартовой системы координат.

4. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

5. Используя теорему об изменении количества движения материальной точки вычислить время, за которое тело, брошенное под углом  к горизонту с начальной скоростью v₀, поднимается на максимальную высоту.

6. Однородный горизонтальный диск массой m₁, кг и радиусом R, м вращается вокруг неподвижной вертикальной оси OZ, проходящей через его центр, по закону (t) = ct²/4, рад (c < 0). По ободу диска в сторону вращения движется материальная точка массой m₂, кг по закону s_r(t) = at³/2, м. Вычислите кинетический момент данной механической системы относительно оси вращения диска.

7. Пружину с жесткостью с = 150 Н/м сжали до длины l₀ = 0,06 м и отпустили. Длина восстановленной пружины l = 0,12 м. Чему равна работа, совершенная силой упругости при восстановлении пружины?

8. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OY декартовой системы координат, причем левая граничная точка стержня совпадает с началом координат O. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OZ?

9. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = t³/3, рад. По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = sin(t²/2), м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.