Задание № 15.

1. Главный момент количества движения твердого тела относительно оси вращения.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ < v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

4. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость центра масс каждого из цилиндров равна v м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Определить модуль вектора количества движения системы.

5. Материальная точка массой m, кг движется относительно декартовой системы координат по закону x(t) = 3t², y(t) = 5, z(t) = t⁴. Вычислите вектор момента количества движения точки относительно начала координат.

6. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OX декартовой системы координат, причем начало координат O находится в середине стержня. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OY?

7. Груз А удерживается в равновесии на гладкой наклонной плоскости, расположенной под углом  к горизонту, с помощью пружины параллельной линии ската наклонной плоскости. Вследствие полученного толчка груз переместился вниз вдоль наклонной плоскости на расстояние l, м. Вычислите сумму работ сил, действующих на груз А, на данном перемещении, если жесткость пружины равна с Н/м.

8. Материальная точка массой m, кг движется по пространственной кривой по закону s(t) = 1 + 2sin(t²), м. Вычислите кинетическую энергию точки.

9. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = sin(t²/2), рад. По ободу диска в направлении вращения движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = t³/3, м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.

Задание № 16.

1. Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ = v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по закону r(t) = 3ti + sin(t)j + 4t³k. Вычислите вектор силы инерции точки.

4. Материальная точка массой m = 0.1 кг ударяется о неподвижную, горизонтальную негладкую поверхность и отражается от нее. Скорость точки до удара v₁ = 4 м/с, угол падения ₁ = 30^о. Скорость точки после удара v₂ = 2 м/с, а угол отражения ₂ = 60^о. Вычислить величину полного импульса силы взаимодействия между точкой и поверхностью.

5. Однородный горизонтальный диск массой m₁, кг и радиусом R, м вращается вокруг неподвижной вертикальной оси OZ, проходящей через его центр, по закону (t) = ct²/4, рад (c > 0). По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂, кг по закону s_r(t) = at³/2, м. Вычислите кинетический момент данной механической системы относительно оси вращения диска.

6. Однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси OX, проходящей через его центр. На боковую поверхность цилиндра наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра, если на него действует пара сил с моментом M_x = bt² + a, Нм.

7. Круглый однородный цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м вращается относительно горизонтальной неподвижной оси, проходящей через его центр. При вращении цилиндра на его боковую поверхность наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. К цилиндру приложен вращающий момент M_x = a² + b + c, где a, b, c – постоянные величины. Вычислите сумму работ всех сил, приложенных к данной системе, при повороте цилиндра на угол  = 180⁰.

8. . Материальная точка массой m, кг падает вертикально вниз без начальной скорости. Выразите мощность силы тяжести, действующей на точку как функцию времени.

9. Однородный круглый горизонтальный диск массой m₁ = 2, кг и радиусом R = 3, м вращается относительно неподвижной вертикальной оси, проходящей через его центр, по закону (t) = sin(t²/2), рад. По ободу диска в направлении вращения движется материальная точка массой m₂ = 4, кг по закону s_r(t) = t³/3, м. Вычислите кинетическую энергию данной системы.