Задание № 5.

1. Интегрирование дифференциального уравнения прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей только от времени.

2. Материальная точка падает вертикально вниз. Величина силы сопротивления воздуха выражается следующей зависимостью R_c = kv, Н. Нарисуйте график зависимость скорости от времени, если начальная скорость точки v₀ > v_пред. Вычислите предельную скорость падения.

3. Платформа движется в вертикальной плоскости прямолинейно вдоль оси OX по закону x_п(t) = 4t³ + 5t + 4, м. Относительно платформы также прямолинейно движется материальная точка массой m по закону x_r = 2sin(t). Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде и в проекциях на оси декартовой системы координат OX, OZ.

4. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Скорость центра диска постоянна и равна v₁= 4 м/с. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной скоростью v₂ = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 60^о.

5. Однородная прямоугольная пластина со сторонами a и b, м и массой m, кг вращается вокруг оси, проходящей через точку пересечения диагоналей перпендикулярно плоскости пластины, с угловой скоростью , с^-1. Вычислите кинетический момент данной механической системы.

6. На однородный круглый цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м, намотана невесомая нить, которую начинают тянуть с постоянной по величине силой F, Н. Кроме того, к поверхности цилиндра с силой N, Н прижата тормозная колодка, коэффициент трения которой о поверхность цилиндра равен f. Запишите дифференциальное уравнение вращения цилиндра.

7. Круглый однородный цилиндр массой m₁, кг и радиусом R, м вращается относительно горизонтальной неподвижной оси, проходящей через его центр. При вращении цилиндра на его боковую поверхность наматывается невесомая нить, к которой прикреплен груз массой m₂, кг. К цилиндру приложен вращающий момент M_x = a² + b + c, где a, b, c – постоянные величины. Вычислите сумму работ всех сил, приложенных к данной системе, при повороте цилиндра на угол  = 180⁰.

8. Балка А массой m₁, кг перемещается по горизонтали посредством двух однородных круглых цилиндров В и С массой m₂, кг и радиусом R, м каждый, катящихся без скольжения по гладкой горизонтальной поверхности. Скорость балки А равна v, м/с. Балка движется по поверхности цилиндров без проскальзывания. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.

9. Кинетическая энергия материальной точки при ее движении по пространственной кривой под действием постоянной силы увеличилась на 20 Дж за промежуток времени равный 2 с. Вычислите мощность силы, действующей на материальную точку.

Задание № 6.

1. Механическая система. Классификация сил действующих на систему. Дифференциальные уравнения движения механической системы.

2. Материальная точка массой m = 2 кг движется вдоль оси OX под действием силы F = 8 – 4t, Н. Начальная скорость точки равна 5м/с. В какой момент времени точка изменит направление своего движения.

3. Материальная точка массой m движется относительно инерциальной системы отсчета по окружности радиуса R = 5 м по закону s(t) = t² + 2t + 3. Вычислите величину и проекции силы инерции точки на естественные оси координат.

4. Горизонтальный диск радиуса R = 3 м вращается относительно вертикальной оси, проходящей через его центр, с постоянной угловой скоростью . По ободу диска с постоянной скоростью u движется материальная точка массой m. Запишите уравнение относительного движения точки в векторном виде. Из каких составляющих будет складывать сила инерции точки? Запишите величину каждой из составляющих силы инерции.

5. Однородный круглый диск массой m₁ = 2 кг и радиусом R = 3 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности. Угловая скорость вращения диска постоянна и равна  = 4 с^-1. По ободу диска, в сторону противоположную вращению, движется материальная точка массой m₂ = 0.5 кг с постоянной относительной скоростью u = 3 м/с. Вычислите количество движения данной механической системы в момент времени, когда радиус, соединяющий точку и центр диска, образует с горизонтальной прямой угол  = 30^о.

6. Материальная точка массой m, кг движется в вертикальной плоскости. Сначала она проходит расстояние S₁ вниз по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом, затем расстояние S₂ вдоль шероховатой горизонтальной поверхности (коэффициент трения скольжения равен f) и, в заключение, расстояние S₃ вверх по гладкой наклонной плоскости, образующей угол  с горизонтом. Вычислить суммарную работу сил, действующих на точку на данном перемещении.

7. Однородный горизонтальный диск массой m₁, кг и радиусом R, м вращается вокруг неподвижной вертикальной оси OZ, проходящей через его центр, по закону (t) = ct²/4, рад (c > 0). По ободу диска в сторону противоположную вращению движется материальная точка массой m₂, кг по закону s_r(t) = at³/2, м. Вычислите кинетический момент данной механической системы относительно оси вращения диска.

8. Однородный стержень длиной 2l, м и массой m, кг лежит на оси OX декартовой системы координат, причем начало координат O находится в середине стержня. Запишите моменты инерции стержня относительно осей OX, OY, OZ. Чему равен радиус инерции стержня относительно оси OY?

9. Прямоугольная призма массой m₁, кг движется поступательно по гладкой горизонтальной плоскости со скоростью v м/с. По боковой поверхности призмы, наклоненной под углом  к горизонту, скользит тело массой m₂, кг, имея в данный момент времени относительную скорость u, м/с. Вычислите кинетическую энергию данной механической системы.