книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

заменяют приближенной зависимостью, нелинейной относительно математического ожидания тх и формально линейной относительно Х°:

У = Ф о + й1Х®.

(1.70)

Величина ср„ представляет собой среднюю статистическую характеристику нелинейности; k l — статистический коэффициент усиления нелинейности по случайной составляющей. Для нелиней­ ностей, имеющих нечетные характеристики, функцию ср0 можно выразить в виде

ср0 = /е 0тх,

(1.71)

где /г0 — статистический коэффициент усиления по математиче­ скому ожиданию.

Функция ср0 и статистические коэффициенты усиления /г0, k x определяются на основании критерия вероятностной эквивалентности зависимостей (1.65) и (1.70). С точки зрения корреляционной теории таким критерием является условие равенства соответственно матема­ тических ожиданий п дисперсий истинной и аппроксимирующей слу­ чайных функций или условие минимума средней квадратической

ошибки аппроксимации функции (1.65) линеаризованной	зависи­
мостью (1.70).
При применении первого критерия имеем
Шу = фо> Dy = k\Dx,	(1. /2)

где niy — математическое ожидание функции У; ср0— математиче­ ское ожидание аппроксимирующей зависимости (1.70); Dx, Dy —■ дисперсии переменных X, Y соответственно. Второе равенство (1.72)

служит для определения коэффициента

			(1.73)
где введены	обозначения ау = ]/D '	ах =	] /Dx— средние квад­
ратические	отклонения функций Y	и X.	Знак коэффициента k x

определяется направлением возрастания или убывания в функции ср при изменении аргумента. Если функция нечетная, то коэффициент k 0 определяется формулой

* . = * ■ •	0 -7 4 )
"< Х

Второй критерий состоит в выполнении условия минимума вто­

рого начального момента ошибки за	счет выбора ср0, /ех:
г) = М { [ К - Фо- Л 1Х»Н,		(1-75)
где М — оператор математического ожидания.		(1.75),
Выполняя операции, указанные в правой части выражения
получим
г) = М [У2] -j- Фд -|- k f i x	2ф0ту 2kyM [УХО].	(1.76)

30

При известных М [F 2], ту, Dx, М [FX0] величина г) является функцией сро и /гх. Приравнивая нулю частные производные г) по ф0 и /гх, получим

Фо = ту- /гх = -L М [КХ°] •	(1.77)
и Х

Для вычисления функции ср0 и коэффициентов /г0 и /гх необходимо знать одномерную плотность вероятности f (х) для каждого текущего момента времени t на входе в нелинейность. Формулы (1.73), (1.77) принимают вид

00

Фо =	\ Ф {x)f(x)dx;	(1.78)
	— СО
	СО
	j Ф2(* )/М — фо	(1.79)
	— со
00
*12)=-$■ j	(X — тх) ф (х) f (х) dx,	(1.80)

■*—со

где верхние индексы у коэффициентов k[l) указывают способ линеари­

зации. Расчетные формулы для /г{2) проще формул для Ар. Точность же окончательных расчетов практически одинакова.

В общем случае при вероятностном исследовании нелинейные безынерционные элементы автоматических систем управления можно представить как многомерные функциональные зависимости с неадди­ тивными связанными входными случайными сигналами:

Г = ф (Хх, . . ., Х п),

(1.81)

где ф — произвольная однозначная нелинейная функция входных не­ аддитивных связанных случайных переменных Х х, . . ., Х п. В част­ ности это относится к однозначным характеристикам реальных одно­ мерных нелинейных и множительных элементов. К такому же виду приводятся неоднозначные нелинейные характеристики гистерезис­ ного типа, если в число входных переменных включить производную, определяющую неоднозначность. Наконец, безынерционные нели­ нейные и линейные элементы со случайными параметрами также можно рассматривать как многомерные функциональные зависимости с неаддитивными входными случайными сигналами.

Представим каждую случайную переменную Х£(t) в виде

X l (l) = mXi(l) + X? (О,

где mx (i) — математическое ожидание; Х° (I) — центрированная

составляющая случайной функции Х(. (/). Линеаризованную зави­ симость для нелинейности (1.81) примем в форме выражения

>" = Фо+

(1.82)

i= i

31

где ср0 и k t — неизвестные неслучайные функции вероятностных ха­ рактеристик входных случайных процессов.

Функция ф0 называется статистической характеристикой нелиней­ ности, a ki — статистическими коэффициентами усиления случай­ ных составляющих. Для их определения применим критерий мини­ мума средней квадратической ошибки аппроксимации

т) = М Ф № . ■• •, Х „ ) - Ф о - £ ktX\	(1.83)
i=I

где М — оператор математического ожидания. Выполнив операции, указанные в выражении (1.83), получим

Ч = М [ср2] + Ф5 -f £	kik/MlxUl] —
L, /=I
— 2<р0М [ср] — 2 Д	к.М [срХ°].	(1.84)

При известных М [ср2], М [ср], М [Х9Х9], М [срХ?] величина т)

является функцией параметров ср0, к... Поэтому к выражению (1.84) можно применить необходимое условие экстремума функции г) по параметрам ср0 н kt. Приравнивая нулю частные производные функции т| по ср0 и /г,., получаем уравнения

ср0 =	М [ с р ^ , . . ., Х„)1;	(1.85)
£	т [Х?Х?] = М [срХу]	(1.86)

(/ = 1, • • ., п).

Разрешая систему уравнений (1.86) относительно кр получим

П

(1.87)

/=1

(i = 1, • ■ п),

где А — определитель системы уравнений (1.86); А) — алгебраиче­ ское дополнение элемента г'-го столбца, /-й строки определителя А.

В частном случае для несвязанных случайных переменных, вхо­ дящих в зависимость (1.81), формулы (1.87) принимают вид

	М [у*?]
ki	( 1.88)
	м [xf]

При вычислении статистической характеристики ср0 и коэффи­ циентов k( по вышеприведенным формулам необходимо знать закон распределения совокупности переменных f (хъ . . ., хп) для каждого текущего момента времени. В замкнутых автоматических системах истинный закон распределения переменных на входе в нелинейный

32

элемент неизвестен. При выполнении статистической линеаризации

ивычислении функций cp0, kt принимают некоторый нормальный эк­ вивалентный закон распределения, имеющий параметры — первые

ивторые вероятностные моменты, совпадающие с фактическими. Это основное допущение метода статистической линеаризации бази­ руется на свойстве сложных систем, включающих инерционные ли­ нейные цепи, нормализовывать законы распределения случайных переменных.

Втаком случае величины ф0 и /г,- оказываются функциями мате­ матических ожиданий тх. и корреляционных моментов связи

Qt i (t) = M [*?(/) Х° (/)].

Итак, предположим, что в общем случае сигнал на входе в нели­ нейный элемент имеет закон распределения, заданный в следующей форме:

/(*1.		ехр	ГД*]	(1.89)
			2Д.
где А* — окаймленный определитель вида
ец ...	01*	Xi — тх,
Ош* ■■	0/т	хп —тк		(1.90)
		пгх	хп
1 —	"Хп —		0
		Ал

При нормальной плотности вероятности (1.89) для коэффициентов статистической линеаризации k£ имеет место также другая формула, которая удобна для получения их в'случае сложных нелинейностей. Эта формула получается путем дифференцирования выражения ср0 частным образом по тХ£:

	дфр	J ••• (« )• • •	J ф (хь • • х п)	X
	дтх.
		X дтхд . f (*i. ■	х„) dxl. . . dxn.	(1.91)

Имея в виду формулы (1.89) и (1.90), получим

дтх. = f(xIf	(1.92)
Л1

Подставляя выражение (1.92) в уравнение (1.91), получим

дфр	(1.93)
дтХ£	/= i

3 в. С. Пугачев

33

Сравнивая правые части формул (1.87) и (1.93), находим, что

	и _	дфо	(1.94)
	~	дтх.'

(t = 1, . . ., п)

Легко показать, что необходимые условия экстремума (1.85) и (1.86) функционала (1.84) определяют в данном случае минимум выражения гр Для этого будем считать, что искомые коэффициенты в выражении (1.84) равны ср0 + к0, ki + иг Подставляя их в выраже­ ние (1.84), получим

			т) =	М				32
					Ф — фо — S			q
								k-iX ~Ь U -(-
						i=1
			+	М Е	и Х	+	2«0[ фо — 44ср] -\-
				L i—l
			+ 2 Е щ м [ Фх?] -				Е fyM [хи°			(1.95)
				i=l	l		/=1
Если фо и kc определяются из уравнений (1.85),										(1.86), то выра­
жение	(1.95)	принимает вид
								Г	п	Д 2
	11 = М		ф — фо — Е ь Х					-|- Ко + М	Е
Так	как величина				i—l				1=1
				«6+ м		S		о
						1=1
при любых и 0		и к,-, то г) принимает минимальное значение только при
и о = 0, ис =		0,	т. е. при фо и kt, определяемых уравнениями (1.85),

(1.86). Рассмотрим примеры нелинейностей и их статистические линеа­

ризованные эквиваленты	[35].
Пример 1.6. Определить статистические характеристики нелинейности типа
идеального реле (рис. 1.7, а)	У =	/ sign X.
Линеаризованная зависимость имеет вид
У =	Фо +	Фо = ь0тх.

Для вычисления функции ср0 применим формулу (1.78) при нормальном законе распределения X с параметрами тх, Dx:

о

	Фо	I	Г	(	(х —тх)"- \
		V2nD x J		I	20*	)
			-— 00
		У ш		(	(X— тх)-\	dx.
			~х .)ехр Г		2D x
			о

34

У=ср(х)

а)			б)
Рис. 1.7. Нелилейная характеристика			релейного типа
После замены переменных	х — тх = / V Dх		получим
			т.
I	СО	,2	V Dx		____tj_
	J		1	е	- dt
Фо — V 2 nDx

Ydx

=2/Ф

V~DX Г

где

11

Ф (г) = j J . " 9 dt

У^2п о

является функцией Крампа.

Для определения коэффициента к1 применим формулы (1.79) и (1.80). В резуль­

	тате получим		I
	*<>> =			I — 4Ф2		тх	\T /i
		fD~x				г а	:
	/f> = .			21	exp	2Dx
			V 2nDx

Пример 1.7. Определить статистические характеристики неоднозначной нели­ нейности (рис. 1.7, б). Эту зависимость можно представить в однозначной форме, если в число входных переменных ввести производную;

X > d ,

l — d < X < d , - d < X < d ,

1 V X т

X S 0 ,

х <	0,
х >	0,

х ^ о .

3*

35

Обозначив переменную X — X v а X = Х 2, линеаризованную зависимость запишем в виде

У = Фо + >hx °i -I- k 2X l

Для вычисления

функции

(р0 применим формулу

(1.85):

/

( со

— d

ФоI

=

f (Ai) dxx —

|

/ (Ai) d-Ч +

:=

М J

d

г

о

[d

—го

CD

0

~r j

J

/

(A'i>

x 2) dx2

J / (.Vj,

-V2)

dx2

dx.

где

/ (*i,

x2) =

2"]/XD*s“О*.*,■exp x

|

(A1 - mx, )2 D

X .

+ (X2 - mx, f D.v, -

2012 (A'l - "!.v, ) (x2- mx, )1 .

X I

2(°аЛ - 0 1 2)

(x l ~ mx, )a

f

(Vi) =

V 2Л°Л-,

e

2D*.

°I2

=

M [(-Yl - mx t ) ( X

2 -

mx, )] •

После

выполнения операции

интегрирования

получаем

d -j- т г

[d — т

П

(x -"'xt )2

21

2 D

Фо = I Ф

’

х1

•Ф r J.u-

*1

X

\'D~x

V 2n Dx

V dx

—d

X Ф I

Dxtmx, + 012 (Ai

9

x,)

) dxv

"

4 *

Г "

\

dXi {dx dXi - ^

J

Статистические коэффициенты усиления

kv

k2 определяют по формулам

_

дфо .

_

5ф0

к' ~ дт•,Ч ’ 2“ дт„

Пример 1.8. Нелинейность типа идеального реле со случайным уровнем выход­ ного сигнала

У = Х х sign Х 2.

Статистически линеаризованная зависимость имеет вид

У — Фо + ^lX l + ^2/Y2-

Применяя формулу (1.85), определяем ср0, в этом случае

о	Jdx2 j	СО	СО
Фо = —		x j (xlt x2) dx2+ J dx2	J x j (Xj, x 2) dx,.
— CO	— CD	0	— CO

36

Если принять / ( л-j , х 2) за нормальную функцию плотности вероятности и выпол­ нить необходимые преобразования, то получим

2'Ид.,			,	2012	х,
	(т..	o')			2
Фо = ........■■■Ф			------------ г
V cDx>	(	'	}	Dx t V 2nDx ,°
где
			;	b = D x Dx	■ от,
					1 2 -
	Dx д
		X i
Коэффициенты кг н k2 определяют				по формулам
				дфц .
				dmXi ’

к Офо

дтхг '

В приложении 2 приведены формулы для статистических характеристик и ста диетических коэффициентов усиления типовых нелинейностей.

Г л а в а 2	МЕТОДЫ АНАЛИЗА
	ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

2.1. Постановка задачи анализа

Как известно, любая автоматическая система в реальных условиях работы находится под действием полезных управляющих сигналов и помех, причем случайные помехи накладываются на полезные сиг­ налы. В результате этого входные и выходные переменные динами­ ческой системы представляют собой случайные функции времени. Кроме того, параметры автоматических систем являются случайными, что обусловлено допусками при производстве элементов, а также изме­ нением их свойств в процессе работы. Следовательно, реальные дина­ мические системы являются стохастическими, т. е. характеристики систем и процессы в них являются случайными.

Чтобы полностью охарактеризовать случайный процесс, необ­ ходимо на множестве его реализаций задать вероятностную меру. В качестве такой вероятностной меры служит /i-мерный закон распре­ деления векторной случайной функции для всех п произвольно взя­ тых значений ilt . . ., tn аргумента при любом п. Более общей харак­ теристикой непрерывной векторной случайной функции являются функционалы распределения. В практических расчетах полными вероятностными характеристиками случайных процессов — законами распределения — пользоваться неудобно из-за сложности их вычис­ ления. Поэтому применяют менее полные, но зато более простые вероятностные характеристики — начальные и центральные моменты

.случайных функций и величин, характеризующих поведение динами­ ческих систем. Наиболее широко применяют начальный вероят­ ностный момент первого порядка, представляющий собой математи­ ческое ожидание случайной функции mx (i) = М [АТ (01. второй центральный вероятностный момент одной случайной функции

Кх &, t2) = M \ (X (tx) - тх (tx)] [X (t.J - mx(f8)]},

представляющий собой корреляционную функцию, и второй централь­ ный смешанный вероятностный момент пары случайных функций

Кху (/ь t2) = M\ [X (Ч) - тх( Щ Г (to) — т„ (/2)1},

представляющий собой взаимную корреляционную функцию. Здесь чертой сверху обозначены комплексно сопряженные значения функ­ ций. При равных значениях аргументов t2 — tx = t корреляционная функция совпадает с дисперсией Dx (t) = Кх (t, i), а взаимная кор-

38

реляционная функция превращается в корреляционный момент связи для данного момента Kxy{t, t) = 0Л.у (t).

Задача статистического исследования системы управления или любой динамической системы заключается в оценке вероятностных моментов случайных функций, характеризующих поведение системы, в оценке точности воспроизведения или преобразования заданных или случайных полезных сигналов в присутствии помех, в оценке ка­ чества процессов управления при действии случайных возмущений, а также при случайном изменении ее параметров.

Качество процессов управления оценивается по статистическим критериям. К ним относятся критерии, оценивающие точность или вероятность выполнения задачи, возлагаемой на систему. Выбор кри­ терия зависит от вида системы и ее назначения. Критерий качества должен отражать качество работы системы с необходимой для прак­ тики полнотой и в то же время он должен быть такой величиной, ко­ торую можно достаточно просто вычислить или измерить сущест­ вующими практическими способами.

Одним из важных и распространенных критериев оценки качества управления является критерий точности работы динамической си­ стемы при случайных возмущениях. При этом полезные сигналы рас­ сматриваются как неслучайные заданные функции времени. При таком подходе математические ожидания входных случайных функ­ ций представляют собой полезные входные сигналы, если измери­ тельные элементы и другие устройства свободны от систематических ошибок, которые легко устраняются регулировкой приборов. Слу­ чайные колебания входных переменных около их математических ожиданий представляют собой внешние помехи, нарушающие нор­ мальную работу системы и приводящие к случайным ошибкам в вы­ ходных переменных. Кроме того, в системе могут возникать внутрен­ ние случайные помехи и случайные отклонения ее параметров, также вызывающие случайный характер изменения входных переменных.

Разности между фактическими выходными сигналами и требуе­ мыми выходными полезными сигналами представляют собой ошибки

многомерной системы, имеющей п выходных переменных:
Ei (t) =	Yi ( t ) - y iT(t).	(2-1)
(; =	к • •., п)

Математические ожидания ошибок являются систематическими ошибками и представляют собой разности между полезными и тре­ буемыми выходными сигналами, т. е.

tnEi(t) = my.(t) — ylr(t).		(2.2)
(i	1, . . ., п)

Случайные колебания (флуктуации) выходных переменных отно­ сительно математических ожиданий представляют собой случайные ошибки системы

Е?(0 = К?(0,

(t = 1, . . ., п)

39