Теоретическая физика. Механика (практический курс)	7

Раздел 1. Кинематика материальной точки

Минимальные теоретические сведения по кинематике

Приведем основные понятия и формулы кинематики, основываясь на порядке производной (nd = 0, 1, 2), определяющей кинематическую величину.

Величины, соответствующие nd = 0.

Положение материальной точки в пространстве задается радиус-век- тором r, который в каждый момент времени направлен из начала некоторой произвольной системы координат (СК) на данную материальную точку. Зависимость от времени радиус-вектора r(t) (или координат) определяет закон движения материальной точки. Траектория материальной точки – это геометрическое место точек концов радиус-вектора r(t).

Декартовая система координат (ДСК):

Переменные x, y, z.

Пределы изменения переменных: – ∞ < x < ∞, – ∞ < y < ∞; – ∞ < z < ∞.

Закон движения в ДСК определяется в трехмерном случае тремя скалярными функциями (координатами) x(t), y(t), z(t), зависящими от времени t, и выражается равенством

r(t) = x(t)ex + y(t)ey + z(t)ez.

(1.1)

Примеры:

•уравнение пространственной эллиптической спирали r(t) = Asin(ωt)ex + Bcos(ωt)ey + tez.

•плоское движение тела, брошенного с высоты H с начальной скоростью v0 и под начальным углом θ к горизонту,

r(t) = (v0 cosθ)tex + H + (v0 sin θ)t − gt2 / 2 ey .

Закон движения тела может быть задан также в цилиндрической и сферической системах координат.

Кинематика материальной точки	8

Цилиндрическая система координат (ЦСК).

Переменные ρ, ϕ, z.

Связь переменных ДСК с переменными ЦСК: x = ρcosϕ, y = ρsin ϕ, z = z .

Пределы изменения переменных: 0 ≤ ρ < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π. Связь между ортами:

eρ = ex cosϕ+ey sin ϕ, eϕ = −ex sin ϕ+ey cosϕ, ez = ez .

В отличие от ортов ДСК орты ЦСK eρ и eϕ зависят от времени t, и их производные по времени не равны нулю.

Радиус-вектор r(t) = ρeρ + zez .

Сферическая система координат (ССК).

Переменные r, θ, ϕ.

Связь переменных ДСК с переменными CСК: x = r cos ϕsin θ, y = r sin ϕsin θ, z = r cos θ.

Пределы изменения переменных: 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ ϕ < 2π, 0 ≤ θ ≤ π. Связь между ортами:

er = ex cosϕsin θ+ ey sin ϕsin θ +ez cosθ, eθ = ex cosϕcosθ+ ey sin ϕcosθ −ez sin θ, eϕ = −ex sin ϕ+ ey cosϕ.

Все орты ССK зависят от времени.

Радиус-вектор r(t) = rer.

Перемещение материальной точки есть вектор между двумя точками траектории, т.е.

r12 = r(t2) – r(t1).

(1.2а)

Вектор бесконечно малого поворота dϕ имеет длину, равную беско-

r(t+dt)	dr	нечно малому углу поворота радиус-вектора матери-
		альной точки, и направление, совпадающее с направ-
dϕ	r(t)	лением перемещения правого винта, вращаемого
		вместе с радиус-вектором. Например, на приведен-
dϕ		ном рисунке поворот r(t) происходит в плоскости ри-
		сунка против часовой стрелки, поэтому вектор dϕ на-

правлен на нас перпендикулярно плоскости, в которой происходит пово-

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	9

рот. Связь между элементарным перемещением dr с dϕ определяется ниже выражением

dr =[dϕ r].

(1.2б)

Путь, пройденный материальной точкой к моменту времени t, определяется как длина участка траектории и выражается через интеграл от

модуля скорости v

t
s(t) = ∫v(τ)dτ.	(1.3)
0

Следует особо отметить, что в этой формуле и ниже величина пути s(t) является функцией верхнего предела интегрирования t. Переменная внутри интеграла может обозначаться, строго говоря, произвольной буквой.

Величины, соответствующие nd = 1.

Мгновенная линейная скорость материальной точки в момент времени t

	&		dr		(1.4)
	v(t) = r = dt
определяется выражениями					(1.5а)
v(t) = xex + yey + zez (ДСК),
&	&	&
v(t) =ρeρ +ρϕeϕ + zez (ЦСК),					(1.5б)
&	&	&
	&				(1.5в)
v(t) = rer + rθeθ + rϕsin θeϕ (ССК),
&		&

соответственно в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат. Напомним, что точкой сверху, для краткости, обозначается полная производная по времени, т.е. ρ& = dρ/ dt и т.д.

Средняя скорость за время τ от начала движения определяется выражением

v(τ) = 1	τ
	∫v(t)dt =r(τ) −r(0)				,	(1.6)
τ	0		τ
а средняя величина модуля скорости за этот же интервал времени τ –
	1	τ	s(τ)
v(τ) =		∫v(t)dt =		.		(1.7)
	τ
		0	τ

Кинематика материальной точки	10

При выводе последнего выражения использовалась формула для модуля скорости, которая получается из (1.3) дифференцированием по времени,

ds = v(t) .	(1.8)
dt
Секторная скорость определяется соотношением
σ = 12 [r v].	(1.9)

Последнее выражение используется, в основном, при описании движения материальной точки в поле центральных сил.

Вектор угловой скорости определяется как отношение вектора бесконечно малого поворота к промежутку времени, за который этот поворот произошел

ω = ddtϕ .

Связь угловой скорости с линейной скоростью: v =[ω r].

Величины, соответствующие nd = 2.

Мгновенное линейное ускорение материальной точки

	w = r = v = dt
	&&	&		dv
можно записать в виде:
		+ zez			(ДСК).
w(t) = xex + yey
	&& &&		&&
&& &2	&&		& &		&&	(ЦСК).
w(t) = (ρ −ρϕ	)eρ + (ρϕ+ 2ρϕ)eϕ + zez

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13а)

(1.13б)

В самом общем случае, для произвольной ортогональной криволинейной системы координат, задаваемой тремя произвольными координатами qi (i = 1,2,3), справедливо следующее выражение

wi =

1

d ∂v2

∂v2

& −

∂qi

.

(1.14)

2hi dt ∂qi

Здесь hi =

∂r / ∂qi

– набор коэффициентов Ламэ, v

2

2 &2

2 &2

2

&2

= h1 q1

+ h2 q2

+ h3 q3 .