Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	188

а закон изменения обобщенной энергии системы записывается так

dH	=	∂H (q1,...,qn , p1,..., pn ,t)	+ N d ,	(9.8)
dt		∂t

n

где N d = ∑Qdj q&j – мощность диссипативных сил.

j=1

Примеры решения задач

Задача 1. Найти функцию Гамильтона и провести анализ движения системы в гамильтоновом формализме для простейших механических систем: a) свободной частицы; б) гармонического осциллятора;

в) частицы в центральном поле. Решение. Действуем по алгоритму:

9сначала находим функцию Лагранжа L(q,q• ,t) = T(q,q• ,t) − U(q,t) (для данных систем функция Лагранжа найдена в задаче 5 из раздела 5),

9затем выражаем с помощью (9.4) обобщенные скорости через координаты и импульсы,

9эти выражения подставляем в определение (9.3).

а) Функция Лагранжа свободной частицы в декартовых координатах имеет вид L = (m / 2)(x&2 + y&2 + z&2 ) (число степеней свободы n = 3 и q1 = x, q2 = y, q3 = z). Находим соответствующие обобщенные импульсы

px = ∂∂Lx& = mx&, py = ∂∂Ly& = my&, pz = ∂∂Lz& = mz&,

(обобщенные импульсы совпадают с обычными, кинематическими импульсами1!), следовательно, x• = px/m, y• = py/m, z• = pz/m. Подставляем полученные скорости в определение функции Гамильтона (9.3)

&

&

&

&

2

&

2

&2

) =

H (x, y, z, px , py , pz ) = xpx + ypy + zpz −

(m / 2)(x

+ y

+ z

2

2

2

2

2

2

px2

+ p2y

+ pz2

p2 .

= ( px

+ py

+ pz )/ m − ( px

+ py

+ pz ) /(2m) =

=

2m

2m

1В общем случае размерность обобщенных импульсов может не совпадать с размерностью кинематических импульсов (см., например, ниже pϕ ниже в пункте в данной задачи).

Теоретическая физика. Механика (практический курс)	189

Допустима векторная запись:

L= mv2/2 = m(vv)/2 = m(r• r• )/2 → p = ∂L/∂r• = mr• → r• = p/m →

→H(r,p) = (pr• ) − mr• 2/2 = p2/m − p2/2m = p2/2m.

Поскольку в гамильтониан координаты вообще не входят, то все компоненты импульса – интегралы движения. Уравнения Гамильтона (9.2) приобретают вид p• = −∂H/∂r = 0 и r• = ∂H/∂p = p/m. Решения – p = p0, r = p0t/m + r0.

б) Функция Лагранжа одномерного линейного гармонического осциллятора L(x,x• ) = mx• 2/2 − mω20 x2/2. Следовательно, p = ∂L/∂x• = mx• и x• = p/m. Тогда функция Гамильтона

H(x,p) = px• (p) − L(x,x• (p)) = p2/2m + mω20 x2/2

и она совпадает с полной энергией гармонического осциллятора E. Запись уравнений движения в гамильтоновом формализме также элементарно

p• = −∂H/∂x = −mω02 x, x• = ∂H/∂p = p/m.

После дифференцирования по времени второго уравнения и подстановки p• в первое, мы имеем стандартное уравнение гармонического осциллятора

••	2
x	+ ω0 x = 0

с известным решением (см., например, раздел 8).

в) Лагранжиан частицы в центральном поле (две степени свободы: q1 = ρ, q2 = ϕ – полярная система координат): L(ρ,ϕ,ρ• ,ϕ• ) = mρ• 2/2 + mρ2ϕ• 2/2−U(ρ). Попутно замечаем, что ϕ является циклической координатой в лагранжевом формализме, поскольку не входит в явном виде в функцию Лагранжа. Обобщенные импульсы, сопряженные координатам ρ и ϕ соответственно:

pρ = ∂∂ρL& = mρ&, pϕ = ∂ϕ∂L& = mρ2ϕ& .

Выражаем обобщенные скорости через импульсы и координаты

&	pρ	,	&	pϕ
	m
ρ =			ϕ = mρ2 .

Уравнения Гамильтона. Скобки Пуассона	190

Эти выражения подставляем в определение функции Гамильтона (9.3) и решаем задачу, находя H = H(ρ,ϕ,pρ,pϕ),

H = p

pρ

+ p

pϕ

m pρ 2

mρ2

pϕ

2

+U (ρ) =

pρ2

pϕ2

+U (ρ).

−

−

+

2

2

2

ρ

m

ϕ

mρ

2

2

2m

2mρ

m

mρ

Подчеркнем, что ϕ является циклической координатой и в гамильтоновом формализме1. Это означает, что соответствующий обобщенный импульс pϕ (физический смысл: z-компонента момента импульса Mz!) является интегралом движения, что напрямую следует из уравнений Гамильтона и заметно упрощает их решение

&

∂H

= 0 → pϕ = pϕ0 = const;

&

∂H

=

pϕ2

−

∂U

pϕ = −

∂ϕ

pρ = −

∂ρ

mρ3

∂ρ

.

∂H

pϕ

pϕ0

∂H

pρ

&

;

&

∂p

=

ρ2

=

ρ2

∂p

=

m

ϕ =

ρ =

ϕ

m

m

ρ

Во всех рассмотренных выше случаях (а-в) циклической переменной является также и время, что приводит к сохранению обобщенной энергии1 (функции Гамильтона) H(q,p) = E = const, что в данном случае (в отличие от случаев а, б) действительно упрощает решение уравнений движения. После подстановок получаем известное уравнение, используемое для анализа движения частицы в центральном поле (см. раздел 3),

			2		p2
	&2			E −U (ρ) −	ϕ0	.
		= m			2mρ2
	ρ

Задача 2. Найти функцию Гамильтона и написать канонические уравнения движения системы, функция Лагранжа которой имеет следующий вид

L = 12 (q&12 + q12q&22 )+ q&1q&3 − 12 (q12 + q22 )+ q3 (q1 + q2 ).

Решение. Система имеет три степени свободы. Сначала используем опре-

деление обобщенных импульсов (9.4) и найдем q• j = q• j(q,p,t) = q• j(q,p) (j = 1,2,3)

1 См. замечание на странице 91.

Теоретическая физика. Механика (практический курс)

191

∂L

&

&

p1 =

&

&

= q1

+ q3

= p3

∂q1

q1

∂L

p2

2

p2 =

= q1 q2

→

q2

=

.

&

2

∂q2

&

&

q1

∂L

&

= p1 − p3

p3 =

= q1

q3

&

∂q3

&

Подставляем их в определение функции Гамильтона (9.3)

H (q,p,t) = p p + p

p

+ p

(p − p

)−

1

p

2

p2

− p

(p − p

)+

2

+

2

1 3

2

q2

3

1

3

2

3

q2

3

1

3

1

1

.

1

p2

p

1

2

2

2

2

+

(q1

+ q2 )− q3

(q1

+ q2 )=

2

+ p3 p1

−

3

+

(q1

+ q2 )− q3

(q1 + q2 )

2

2

2

2q1

2

Канонические уравнения Гамильтона тогда запишутся как

p2

2

p1 =

− q1 + q3;

p2 = −q2

+ q3;

p3 = q1 + q2

q3

&

&

&

1

.

p2

q1 = p3;

q2 =

;

q3 = p1 − p3

q2

&

&

&

1

Задача 3. Найти функцию Лагранжа, если функция Гамильтона системы имеет следующий вид

H = p1 p3 +	p2		p2		1	2	2	(q1	+ q2 ).
	2q2 +		2 +		2	(q1	+ q2 )− q3
	2		3
	1

Решение. По смыслу задача является обратной по отношению к предыдущей, а функция Гамильтона очень похожа на ответ предыдущей задачи. Отличие в одном знаке. Нам нужно исключить "лишние" импульсы, после чего воспользоваться соотношением (9.5).

С помощью уравнений Гамильтона, а именно, q• j = ∂H/∂pj составим уравнения на неизвестные pj и найдем их